www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Reihen" - Leibniz-Kriterium Beweisen
Leibniz-Kriterium Beweisen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Leibniz-Kriterium Beweisen: Idee, Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:13 Di 30.11.2010
Autor: lempickitty

Aufgabe
Beweisen Sie das Leibniz-Kriterium: Sei [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_k [/mm] alternierend, d.h. sgn( [mm] a_n a_{n+1} ) = -1 [/mm] für alle [mm] n \in \IN [/mm]. Ist [mm] (|a_n|) [/mm] zusätzlich eine monoton fallende Nullfolge, dann ist  [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_k [/mm] konvergent.
Hinweis: Schätzen Sie  [mm] \summe_{k=n+1}^{m} a_k [/mm] induktiv ab.

Hallo liebe Mathematiker,
bin neu im Forum und hab mir mal die schwierigste Aufgabe aus meiner Wochenzetteln für Analysis I rausgesucht. Leider muss ich sagen das ich überhaupt nicht weiß wo ich anfangen soll, zwar weiß ich was alternierend und konvergent bedeutet aber wie ich überhaupt hier zu einem Nenner komme ist mir nicht klar, leider hab ich auch nirgendwo anders einen Ansatzweise ähnliches Problem gefunden.
Wäre nett wenn einer sich die Zeit nimmt und mir eventuell einen Tipp oder Ansatz geben könnte womit ich eventuell weiter machen könnt.
Vielen dank und Liebe Grüße im Vorraus.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Leibniz-Kriterium Beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:35 Di 30.11.2010
Autor: Pia90

Hallo!

Für die Konvergenz musst du zeigen, dass [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n_0 \forall m>n>n_0 [/mm] : | [mm] \summe_{k=n}^{m} (-1)^k \* a_k [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm]

Da [mm] a_k [/mm] mon. fallens, gilt [mm] a_j [/mm] - [mm] a_{j+1} \ge [/mm] 0 für alle j.
=> | [mm] \summe_{k=n}^{m} (-1)^k \* a_k [/mm] | = [mm] |(-1)^n \* a_n [/mm] + [mm] (-1)^{n+1} \* a_{n+1} [/mm] + ...|
=...
und schließlich
[mm] \le a_n [/mm] = [mm] |a_n [/mm] |

Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 nun beliebig. Wegen [mm] a_n [/mm] -> 0 gibt es ein [mm] n_0, [/mm] sodass [mm] |a_n| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge n_0 [/mm] ist.

Nach obiger Abschätzung folgt:
| [mm] \summe_{k=n}^{m} (-1)^k \* a_k [/mm] | [mm] \le |a_n| \le \varepsilon [/mm] für alle n > [mm] n_0. [/mm]

q.e.d.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de