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Leibniz Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:14 Sa 23.04.2011
Autor: kushkush

Aufgabe
Sei [mm] $\sum_{}^{} (-1)^{k}a_{k}$ [/mm] eine Reihe mit [mm] $(a_{k})_{k\in \IN}$ [/mm] monoton fallend und [mm] $\limes_{k \rightarrow \infty} a_{k}=0$ [/mm] . Beweise:

Dann konvergiert [mm] $\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}a_{k}$ [/mm]


Hallo,

Cauchy Kriterium muss erfüllt werden:
[mm] $\forall \epsilon>0 [/mm] ~ [mm] \exists n_{0}~ \forall [/mm] m [mm] \ge [/mm] n [mm] \ge n_{0}: |\sum_{k=n}^{m} (-1)^{k}a_{k}| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm]

Also sucht man eine Abschätzung:

Es gilt die fallende Monotonie für [mm] $a_{k}$: $a_{k}-a_{k+1}>0 [/mm] ~ [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN$ [/mm]

Damit muss für den Wert der Reihe gelten:
[mm] $|\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}| [/mm] = [mm] |(-1)^{n}a_{n}+(-1)^{n+1}a_{n+1}+(-1)^{n+2}a_{n+2}...|$ [/mm]
[mm] $=|(-1)^{n}(a_{n}-a_{n+1}+a_{n+2}-a_{n+3}...)| [/mm] $
[mm] $=(a_{n}-a_{n+1})+(a_{n+2}-a_{n+3})...$ [/mm]
[mm] $=a_{n}-(a_{n+1}-a_{n+2})-(a_{n+3}-a_{n+4})$ [/mm]
[mm] $\le a_{n} [/mm] = [mm] |a_{n}|$ [/mm]

Die gefundene Abschätzung in das Cauchy Kriterium einsetzen:
[mm] $\forall m\ge [/mm] n [mm] \ge n_{0}: |\sum_{k=n}^{m}(-1)^{k}a_{k}| \le |a_{n}| \le \epsilon$ [/mm]


Ist das so OK?



Ich habe diese Frage in keinem anderen Fourm gestellt.


Danke und Gruss
kushkush

        
Bezug
Leibniz Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:25 So 24.04.2011
Autor: Marcel

Hallo,

> Sei [mm]\sum_{}^{} (-1)^{k}a_{k}[/mm] eine Reihe mit [mm](a_{k})_{k\in \IN}[/mm]
> monoton fallend und [mm]\limes_{k \rightarrow \infty} a_{k}=0[/mm] .
> Beweise:
>  
> Dann konvergiert [mm]\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}a_{k}[/mm]
>  Hallo,
>  
>
> [mm]\forall \epsilon>0 ~ \exists n_{0}~ \forall m \ge n \ge n_{0}: |\sum_{k=n}^{m} (-1)^{k}a_{k}| < \epsilon[/mm]
>  
> Es gilt: [mm]a_{k}-a_{k+1}>0 ~ \forall k \in \IN[/mm]
>  
> Damit:
> [mm]|\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}| = |(-1)^{k}a_{k}+(-1)^{k+1}a_{k+1}+(-1)^{k+2}a_{k+2}...|[/mm]
>  
> [mm]=|(-1)^{k}(a_{k}-a_{k+1}+a_{k+2}-a_{k+3}...)|[/mm]
>  [mm]=(a_{k}-a_{k+1})+(a_{k+2}-a_{k+3})...[/mm]
>  [mm]=a_{k}-(a_{k+1}-a_{k+2})-(a_{k+3}-a_{k+4})[/mm]
>  [mm]\le a_{n} = |a_{n}|[/mm]
>  
> [mm]\forall m\ge n \ge n_{0}: |\sum_{k=n}^{m}(-1)^{k}a_{k}| \le |a_{n}| \le \epsilon[/mm]
>  
>
> Ist das so OK?

kommentiere das bitte, denn ich verstehe gar nicht, was Du da machst.

Ich will Dir den Beweis nicht ganz schenken, deshalb hast Du ein wenig "Stöberarbeit": Du findest ihn []in diesem Skript.

Es ist zu beachten, dass man dabei insbesondere die Monotonie der Folge der Summanden benutzt und bei der Reihe mit Teilfolgen konvergiert. (Eine Reihe ist die Folge ihrer Teilsummen, und eine Folge konvergiert genau dann, wenn die Teilfolge mit den geraden Indizes und die Teilfolge mit den ungeraden Indizes gegen den selben Grenzwert streben.)

Gruß,
Marcel

Bezug
                
Bezug
Leibniz Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:50 So 24.04.2011
Autor: kushkush

Hallo,


> kommentiere

Ich habe Kommentare hinzugefügt .

> Skript

Dort steht der gleiche Beweis wie in meinem Buch und ähnlich wie auf Wikipedia. Dein Skript hat auch dieselbe Abschätzung wie ich aber auf anderem Wege.


> GruB

Danke!


Gruss
kushkush

Bezug
                        
Bezug
Leibniz Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:04 So 24.04.2011
Autor: leduart

Hallo
der Fehler in deinem Beweis sind die Pünktchen.....,
du darfst in ner unendlichen Summe nicht ohne Beweis so zusammenfassen, während du es in einer endlichen summe natürlich kannst. es bleibt also nur der beweis über die teilsummen, wie er etwa in wiki steht.
gruss leduart



Bezug
                                
Bezug
Leibniz Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:21 So 24.04.2011
Autor: kushkush

Hallo,

> Pünktchen

Ich habe einige Dinge vergessen. Bleibt der Beweis so falsch:


$ [mm] |\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}a_{k}| [/mm] = [mm] |(-1)^{n}a_{n}+(-1)^{n+1}a_{n+1}+(-1)^{n+2}a_{n+2}+...| [/mm] $

$ [mm] =|(-1)^{n}(a_{n}-a_{n+1}+a_{n+2}-a_{n+3}\pm...)| [/mm] $

$ [mm] =(a_{n}-a_{n+1})+(a_{n+2}-a_{n+3}) [/mm] + ... $

$ [mm] =a_{n}-(a_{n+1}-a_{n+2})-(a_{n+3}-a_{n+4}-...)$ [/mm]

$ [mm] \le a_{n} [/mm] = [mm] |a_{n}| [/mm] $

?


> gruss

Danke


Gruss
kushkush

Bezug
                                        
Bezug
Leibniz Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:35 So 24.04.2011
Autor: kamaleonti

Moin kushkush,
> Hallo,
>  
> > Pünktchen
>  
> Ich habe einige Dinge vergessen. Bleibt der Beweis so
> falsch:
>
>

EDIT: Man muss ein endliches Endstück der Summe betrachten: Siehe leduarts Korrekturmitteilung. Sei etwa 0<n<m :

> [mm]|\sum_{k=\red{n}}^{\red{m}}(-1)^{k}a_{k}| = |(-1)^{n}a_{n}+(-1)^{n+1}a_{n+1}+(-1)^{n+2}a_{n+2}+...|[/mm]
>  
> [mm]=|(-1)^{n}(a_{n}-a_{n+1}+a_{n+2}-a_{n+3}\pm...)|[/mm]
>  
> [mm]=(a_{n}-a_{n+1})+(a_{n+2}-a_{n+3}) + ...[/mm] (wozu diese Zeile?)
>  
> [mm]=a_{n}-(a_{n+1}-a_{n+2})-(a_{n+3}-a_{n+4}\red{)}-...[/mm]
>  
> [mm]\le a_{n} = |a_{n}|[/mm]
>  
> ?

Vom Prinzip her ist das richtig, aber wie leduart andeutete etwas salopp (für die Pünktchen kannst du auch eine Summe schreiben).
Bei dir fließen eine ganze Menge Nebenargumente ein, die du hier nicht gekennzeichnet hast (aber weiter oben):
[mm] a_n\geq0 [/mm] sowie [mm] (a_n-a_{n+1})\geq0 [/mm] für alle n, da [mm] a_n [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist.

Am Ende Cauchy ...

>
>
> > gruss
>  
> Danke
>  
>
> Gruss
>  kushkush

LG



Bezug
                                                
Bezug
Leibniz Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:41 So 24.04.2011
Autor: kushkush

Hallo kamaleonti,

> richtig aber salopp


Ok. Danke.


> LG

Gruss


kushkush




Bezug
                                                
Bezug
Leibniz Beweis: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 21:14 So 24.04.2011
Autor: leduart

Hallo
salopp kann man das nicht mehr nennen, soweit ich sehe ist es einfach falsch.
woraus geht hervor, dass
$ [mm] =a_{n}-(a_{n+1}-a_{n+2})-(a_{n+3}-a_{n+4}-...) [/mm] $
die letzte kllammer nicht negativ ist und größer als die davor.
so "salopp" kann man nicht mit unendlich vielen Summanden umgehen!
Gruss leduart


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