Leibnizformel Determinanten < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \det [/mm] A = [mm] \sum_{\sigma \in S_n} \left(\operatorname{sgn}(\sigma) a_{1, \sigma(1)}a_{2, \sigma(2)}...a_{n, \sigma(n)}\right) [/mm] |
Hallo,
ich versuche diese etwas sperrig aussehende Formel zu verstehen.
Ich habe die o.g. Formel auch schon so gesehen, dass die Faktoren so aufgebaut sind: [mm] a_{\sigma(1),1}.
[/mm]
Heisst das dann, dass im erstgenannten Fall die Permutationen zwischen Spalten gemacht werden und im gerade genannten Fall [mm] "a_{\sigma(1),1}" [/mm] nach Zeilen?
Macht das unterm Strich für die Determinante einen Unterschied? (Sollte wohl nicht....)
Zu den Faktoren [mm] a_{n, \sigma(n)}:
[/mm]
Was ist denn zB [mm] \sigma(1) [/mm] hier?
Bsp:
[mm] \pmat{ 1 & 2 &3\\ 4 & 5 &6 \\ 7&8&9 }
[/mm]
Vlt kann mir jmd den Aufbau der Formel etwas erläutern.
Bzgl. der Transpositionen, deren Anzahl wichtig für das Signum ist:
Werden hier einfach Transpositionen oder NACHBARtranspositionen gezaehlt?
EDIT:
Wir hatten die Notation von Permutationen in Zweizeilenform. Wie würde das denn hier aussehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Do 16.10.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo geigenzähler,
die Formel von Leibniz [mm]\det(A) =\sum_{\sigma \in S_n} \left(\operatorname{sgn}(\sigma) a_{1, \sigma(1)}a_{2, \sigma(2)}...a_{n, \sigma(n)}\right)[/mm] (siehe Lineare Algebra von Jänich oder Forster) ist gleichwertig zu der Formel mit [mm] a_{\sigma(i),i} [/mm] (siehe z.B. Lineare Algebra, Bosch (2005)). Das hat einfach etwas damit zu tun, dass man über alle [mm] \sigma \in S_n [/mm] aufsummiert.
Am besten ist es, wenn man sich die Formel an 2x2 oder 3x3-Matrizen klar macht für nxn-Matrizen mit [mm] n\ge4 [/mm] lohnt sich die Anwendung der Formel meist nicht mehr, da du n! Permutationen betrachten musst. Warum $n!$?
[mm] S_n:=\{\sigma:\{1,...,n\}\to\{1,...,n\}|\sigma \mbox{ ist bijektiv }\} [/mm] ist die Menge der "Kartenmischfunktionen". Das Bild habe ich bei Permutationen zumindest immer im Kopf  Jetzt bestehen für das Element 1 noch n Mögliche Zuordnungen, für 2 bestehen n-1 Zuordnungen usw.
Ein Beispiel für die Anwendung der Formel:
Machen wir es mal allgemeiner, als in deinem Beispiel.
[mm] A=\pmat{ a_{11} & a_{12} &a_{13}\\ a_{21} & a_{22} &a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} }
[/mm]
Dann gibt es [mm] 3!=1\cdot2\cdot3=6 [/mm] Permutationen [mm] \{1,2,3\}\to\{1,2,3\}.
[/mm]
1.) [mm] $\sigma_1=id=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 }$
[/mm]
2.) [mm] $\sigma_2=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 }$ [/mm]
3.) [mm] $\sigma_3=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 }$
[/mm]
4.) [mm] $\sigma_4=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 }$
[/mm]
5.) [mm] $\sigma_5=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 }$
[/mm]
6.) [mm] $\sigma_3=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 }$
[/mm]
Diese Permutationen kann man durch Bahnen darstellen, deren Anzahl wir [mm] b(\sigma) [/mm] nennen und uns das [mm] sgn(\sigma)=(-1)^{3-b(\sigma)} [/mm] verrät. So erhalten wir [mm] Bahn_{\sigma_1}(1)=\{1\}, Bahn_{\sigma_1}(2)=\{2\}, Bahn_{\sigma_1}(3)=\{3\} $\Rightarrow$ $\sigma_1=(1)(2)(3)$ $\Rightarrow$ sgn(\sigma)=(-1)^{3-b(\sigma_1)}=(-1)^{3-3}=1. [/mm] Die [mm] Bahn_\sigma(1):=\{1, \sigma(1), \sigma^2(1), \sigma^3(1),...,\sigma^n(1)\} [/mm] In ähnlicher Weise folgen die anderen Signi (Mehrzahl von Signum?).
Jetzt nur noch in Leibniz einsetzen:
[mm] \det(A) =\sum_{\sigma \in S_n} \left(\operatorname{sgn}(\sigma) a_{1, \sigma(1)}a_{2, \sigma(2)}...a_{n, \sigma(n)}\right)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}
[/mm]
Das entspricht gerade der Regel von Sarrus. Und jetzt überleg mal wie sich in diesem Fall das Ergebnis ändern würde, wenn du die Formel mit [mm] a_{\sigma(i),i} [/mm] nutzen würdest Du musst nur die [mm] a_{ij} [/mm] in obigen Ergebnis vertauschen. Als Übung kannst du dir eine 2x2-Matrix ansehen.
MfG
Ladon
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> Hallo geigenzähler,
Hallo, danke f d Antwort.
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> die Formel von Leibniz [mm]\det(A) =\sum_{\sigma \in S_n} \left(\operatorname{sgn}(\sigma) a_{1, \sigma(1)}a_{2, \sigma(2)}...a_{n, \sigma(n)}\right)[/mm]
> (siehe Lineare Algebra von Jänich oder Forster) ist
> gleichwertig zu der Formel mit [mm]a_{\sigma(i),i}[/mm] (siehe z.B.
> Lineare Algebra, Bosch (2005)). Das hat einfach etwas damit
> zu tun, dass man über alle [mm]\sigma \in S_n[/mm] aufsummiert.
> Am besten ist es, wenn man sich die Formel an 2x2 oder
> 3x3-Matrizen klar macht für nxn-Matrizen mit [mm]n\ge4[/mm] lohnt
> sich die Anwendung der Formel meist nicht mehr, da du n!
> Permutationen betrachten musst. Warum [mm]n![/mm]?
> [mm]S_n:=\{\sigma:\{1,...,n\}\to\{1,...,n\}|\sigma \mbox{ ist bijektiv }\}[/mm]
> ist die Menge der "Kartenmischfunktionen". Das Bild habe
> ich bei Permutationen zumindest immer im Kopf Jetzt
> bestehen für das Element 1 noch n Mögliche Zuordnungen,
> für 2 bestehen n-1 Zuordnungen usw.
> Ein Beispiel für die Anwendung der Formel:
> Machen wir es mal allgemeiner, als in deinem Beispiel.
> [mm]A=\pmat{ a_{11} & a_{12} &a_{13}\\ a_{21} & a_{22} &a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} }[/mm]
>
> Dann gibt es [mm]3!=1\cdot2\cdot3=6[/mm] Permutationen
> [mm]\{1,2,3\}\to\{1,2,3\}.[/mm]
Stellen die Permutationen [mm] \{1,2,3\}\to\{1,2,3\} [/mm] dar, auf welche unterschiedlichen Formen man die ZEILEN der vorliegenden Matrix anordnen kann?
Eine 3x3-Matrix hat ja 9 Elemente. Wenn ich diese auf alle möglichen Arten anordnen will, hat das nichts mit der Determinante zu tun, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Sa 18.10.2014 | | Autor: | Ladon |
> Stellen die Permutationen [mm]\{1,2,3\}\to\{1,2,3\}[/mm] dar, auf
> welche unterschiedlichen Formen man die ZEILEN der
> vorliegenden Matrix anordnen kann?
Wenn ich dich richtig verstehe, dann kann man diese Frage mit einer gewissen Einschränkung bejahen. Anschaulich kannst du dir vorstellen, dass man für das Element [mm] a_{1i} [/mm] mit [mm] i\in\{1,2,3\} [/mm] in den unteren Zeilen 2 und 3 der Matrix
$$ [mm] A=\pmat{ a_{11} & a_{12} &a_{13}\\ a_{21} & a_{22} &a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} } [/mm] $$ nach möglichen Elementen [mm] a_{2j} [/mm] und [mm] a_{3k} [/mm] sucht mit [mm] j,k\in\{1,2,3\}. [/mm] Allerdings muss für diese Elemente [mm] a_{2j} [/mm] und [mm] a_{3k} [/mm] zusätzlich gelten, dass [mm] j\in\{1,2,3\}\setminus\{i\} [/mm] und [mm] k\in\{1,2,3\}\setminus\{i,j\} [/mm] sind, damit die Bijektivität von [mm] \sigma [/mm] gewährleistet ist.
> Eine 3x3-Matrix hat ja 9 Elemente. Wenn ich diese auf alle
> möglichen Arten anordnen will, hat das nichts mit der
> Determinante zu tun, oder?
Ja. 9 Elemente kannst du im Zuge der ![[]](/images/popup.gif) Kombination ohne Wiederholung (ohne Beachtung der Reihenfolge, da die Multiplikation kommutativ ist und ohne Wiederholung der ausgewählten Elemente (also ohne Zurücklegen)) auf [mm] \vektor{9\\3}=84 [/mm] Möglichkeiten in 3er Einheiten anordnen. Das sind offensichtlich sehr viel mehr Möglichkeiten als wir oben berechnet haben.
MfG
Ladon
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