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Forum "Physik" - Leiterschleife, inhom Magnfeld
Leiterschleife, inhom Magnfeld < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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Leiterschleife, inhom Magnfeld: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:17 Sa 15.06.2019
Autor: nosche

Aufgabe
Eine anfangs ruhende rechteckige Leiterschlaufe S (Masse m , Höhe a , Breite b , Widerstand [mm] R_s [/mm] ) fällt im Gravitationsfeld aufgerichtet zur Erde. Ein Magnetfeld [mm] \vec{B} [/mm] in Richtung der Flächennormale [mm] \vec{n} [/mm] von S nimmt linear mit der Höhe z zu, [mm] B(z)=(B_0 [/mm] + [mm] \beta z)\vec{n} [/mm]
a) Berechnen Sie den in S induzierten Strom I(t) für eine vernachlässigbar kleine Selbstinduktivität L der Schlaufe.
b) Bestimmen Sie die auf S wirkenden Kräfte und stellen Sie die Bewegungsgleichung auf. Leiten Sie daraus die zeitabhängige Geschwindigkeit v(t) der Schlaufe und die konstante Endgeschwindigkeit [mm] v_e [/mm] für t → ∞ ab.







leider in falscher Kategorie sollte zu UPysik
[Dateianhang nicht öffentlich]
a) geratenes Vorgehen
i) Ermitteln des mag Flusses
ii)Ermitteln der induzierten Spannung und daraus: ermitteln des gesuchten Stromes

zu i)
[mm] \Phi=\integral_{A}^{ }{\vec{B} d\vec{A}} [/mm]
[mm] \vec{B}=\vektor{B_0+\beta z \\ 0 \\0} [/mm]

Fläche A parametriesieren:
[mm] \psi [/mm] (u,v) = [mm] \vektor{x_0\\ y_0+u \\z_0-0.5gt^2+v}; 0\le u\le [/mm] b; [mm] 0\le v\le [/mm] a
[mm] \bruch{\delta \psi}{\delta u} [/mm] x [mm] \bruch{\delta \psi}{\delta u}=\vektor{0\\1\\0} [/mm] x [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] = [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm]
[mm] \vec{B}\circ\psi(u,v) [/mm] = [mm] \vektor{B_0+\beta(z_0-0.5gt^2+v)\\ 0 \\0} [/mm]
[mm] \Phi=\integral_{A}^{ }{\vec{B} d\vec{A}}=\integral_{0}^{b}{\integral_{0}^{a}{\vektor{B_0+\beta(z_0-0.5gt^2+v)\\ 0 \\0} \vektor{1\\0\\0} dv} du}=\integral_{0}^{b}{\integral_{0}^{a}{B_0+\beta(z_0-0.5gt^2+v) dv} du} [/mm]
[mm] =\integral_{0}^{b}{\integral_{0}^{a}{B_0+\beta z_0-\beta 0.5gt^2+\beta v) dv} du}=\integral_{0}^{b}{B_0a+\beta z_0a-\beta 0.5gt^2a+0.5\beta a^2 du}=b*a(B_0+\beta z_0-\beta 0.5gt^2+0.5a\beta) [/mm]

[mm] U_{ind}=-\bruch{d \Phi}{dt}=abgt\beta [/mm]

[mm] I=\bruch{U_{ind}}{R_s}=\bruch{abgt\beta}{R_s} [/mm]

Kann man das so machen?

zu b)
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] \vec{F_1}=-m\vec{b}, \vec{F_2}=I(\vec{b}x\vec{B}_{oben}), \vec{F_3}=I(\vec{b}x\vec{B}_{unten}) [/mm]
[mm] \vec{F}=-mg\vektor{0\\0\\1}+I(b\vektor{0\\1\\0}x(\vektor{B_0+z\beta\\0\\0}+\vektor{B_0+\beta(z+a)\\0\\0})=-mg\vektor{0\\0\\1}+Ib\vektor{0\\1\\0} [/mm] x [mm] \vektor{2B_0+2z\beta+a\beta\\0\\0} [/mm]
[mm] =-mg\vektor{0\\0\\1}-Ib(2B_0+2z\beta+a\beta)\vektor{0\\0\\1}=(-mb-(Ib(2B_0+2z\beta+a\beta))\vektor{0\\0\\1}) [/mm]
es gibt nur noch eine z-Komponente (ich habe wegen des inh. B_Feldes ein Drehmoment auf die Schlaufe erwartet)
[mm] F_z= -mb-(Ib2B_0+Ib2z\beta+Iba\beta)=mz'' [/mm]
daraus die LDG
[mm] z''=-b-\bruch{Ib2B_0-Iba\beta-z*Ib2\beta}{m}; [/mm]
[mm] z'=\integral_{0}^{\infty}{-b-\bruch{Ib2B_0-Iba\beta-z*Ib2\beta}{m} dz} [/mm]
da muss was faul sein denn das integral ist nicht endlich


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Leiterschleife, inhom Magnfeld: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:53 Sa 15.06.2019
Autor: HJKweseleit


> Eine anfangs ruhende rechteckige Leiterschlaufe S (Masse m
> , Höhe a , Breite b , Widerstand [mm]R_s[/mm] ) fällt im
> Gravitationsfeld aufgerichtet zur Erde. Ein Magnetfeld
> [mm]\vec{B}[/mm] in Richtung der Flächennormale [mm]\vec{n}[/mm] von S nimmt
> linear mit der Höhe z zu, [mm]B(z)=(B_0[/mm] + [mm]\beta z)\vec{n}[/mm]
>  a)
> Berechnen Sie den in S induzierten Strom I(t) für eine
> vernachlässigbar kleine Selbstinduktivität L der
> Schlaufe.
>  b) Bestimmen Sie die auf S wirkenden Kräfte und stellen
> Sie die Bewegungsgleichung auf. Leiten Sie daraus die
> zeitabhängige Geschwindigkeit v(t) der Schlaufe und die
> konstante Endgeschwindigkeit [mm]v_e[/mm] für t → ∞ ab.
>  
>
>
>
>
>
> leider in falscher Kategorie sollte zu UPysik
>  [Dateianhang nicht öffentlich]
>  a) geratenes Vorgehen
>  i) Ermitteln des mag Flusses
>  ii)Ermitteln der induzierten Spannung und daraus:
> ermitteln des gesuchten Stromes
>  
> zu i)
>  [mm]\Phi=\integral_{A}^{ }{\vec{B} d\vec{A}}[/mm]
>  
> [mm]\vec{B}=\vektor{B_0+\beta z \\ 0 \\0}[/mm]
>  
> Fläche A parametriesieren:
>  [mm]\psi[/mm] (u,v) = [mm]\vektor{x_0\\ y_0+u \\z_0-0.5gt^2+v}; 0\le u\le[/mm]
> b; [mm]0\le v\le[/mm] a
>  [mm]\bruch{\delta \psi}{\delta u}[/mm] x [mm]\bruch{\delta \psi}{\delta u}=\vektor{0\\1\\0}[/mm]
> x [mm]\vektor{0\\0\\1}[/mm] = [mm]\vektor{1\\0\\0}[/mm]
>  [mm]\vec{B}\circ\psi(u,v)[/mm] = [mm]\vektor{B_0+\beta(z_0-0.5gt^2+v)\\ 0 \\0}[/mm]
>  
> [mm]\Phi=\integral_{A}^{ }{\vec{B} d\vec{A}}=\integral_{0}^{b}{\integral_{0}^{a}{\vektor{B_0+\beta(z_0-0.5gt^2+v)\\ 0 \\0} \vektor{1\\0\\0} dv} du}=\integral_{0}^{b}{\integral_{0}^{a}{B_0+\beta(z_0-0.5gt^2+v) dv} du}[/mm]
>  
> [mm]=\integral_{0}^{b}{\integral_{0}^{a}{B_0+\beta z_0-\beta 0.5gt^2+\beta v) dv} du}=\integral_{0}^{b}{B_0a+\beta z_0a-\beta 0.5gt^2a+0.5\beta a^2 du}=b*a(B_0+\beta z_0-\beta 0.5gt^2+0.5a\beta)[/mm]
>  
> [mm]U_{ind}=-\bruch{d \Phi}{dt}=abgt\beta[/mm]
>  
> [mm]I=\bruch{U_{ind}}{R_s}=\bruch{abgt\beta}{R_s}[/mm]
>  
> Kann man das so machen?



Vermutlich, aber das rechne ich nicht nach. Ich komme zum selben Ergebnis:

[mm] U_{ind.,oben}=B_{oben}*b*v [/mm]

[mm] U_{ind.,unten}=B_{unten}*b*v, [/mm]

beide Spannungen zeigen z.B. von links nach rechts und heben sich teilweise auf, es bleibt als Restspannung

[mm] U_{ind.,oben}-U_{ind.,unten}=\Delta [/mm] B*b*v = aßbv.
Diese Spannung treibt den Strom I = aßbv/R durch die Schleife.

Für v kannst du aber nicht gt einsetzen, da es sich hier wegen der Bremswirkung (s.u.) nicht um einen freien Fall handelt!!!




>  
> zu b)
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  [mm]\vec{F_1}=-m\vec{b}, \vec{F_2}=I(\vec{b}x\vec{B}_{oben}), \vec{F_3}=I(\vec{b}x\vec{B}_{unten})[/mm]
> [mm]\vec{F}=-mg\vektor{0\\0\\1}+I(b\vektor{0\\1\\0}x(\vektor{B_0+z\beta\\0\\0}+\vektor{B_0+\beta(z+a)\\0\\0})=-mg\vektor{0\\0\\1}+Ib\vektor{0\\1\\0}[/mm]
> x [mm]\vektor{2B_0+2z\beta+a\beta\\0\\0}[/mm]
>  
> [mm]=-mg\vektor{0\\0\\1}-Ib(2B_0+2z\beta+a\beta)\vektor{0\\0\\1}=(-mb-(Ib(2B_0+2z\beta+a\beta))\vektor{0\\0\\1})[/mm]
>  es gibt nur noch eine z-Komponente (ich habe wegen des
> inh. B_Feldes ein Drehmoment auf die Schlaufe erwartet)
>  [mm]F_z= -mb-(Ib2B_0+Ib2z\beta+Iba\beta)=mz''[/mm]
>  daraus die LDG
>  [mm]z''=-b-\bruch{Ib2B_0-Iba\beta-z*Ib2\beta}{m};[/mm]
> [mm]z'=\integral_{0}^{\infty}{-b-\bruch{Ib2B_0-Iba\beta-z*Ib2\beta}{m} dz}[/mm]
>  
> da muss was faul sein denn das integral ist nicht endlich
>  



Auch das rechne ich nicht nach. Du addierst wahrscheinlich die Kräfte auf die Leiterstücke, man muss sie aber subtrahieren:

Wenn oben der Strom von links nach rechts fließt, fließt er unten von rechts nach links. Bei gleicher Fallrichtung nach unten gibt das oben eine bremsende und unten eine beschleunigende Kraft, wobei wegen der höheren Feldstärke oben das Bremsen größer als das Beschleunigen ist. Insgesamt wird die Leiterschleife also mit der Differenz beider Kräfte abgebremst:

[mm] F_{oben}=IB_{oben}*b [/mm]

[mm] F_{unten}=IB_{unten}*b [/mm]

[mm] F{brems}=\Delta F=I*\Delta [/mm] B*b=Iaßb

Insgesamt somit [mm] F=(a\beta b)^2 [/mm] v/R




Bis hierher war das Genze nur Schulphysik. Nun wird es interessanter:

Beschleunigende Kraft: [mm] F_G [/mm] - F = [mm] mg-(a\beta b)^2 [/mm] v/R = m*A, wobei jetzt A=Beschleunigung ist (a ist ja schon verbraucht), oder anders geschrieben:

[mm] mg-(a\beta b)^2 [/mm] v/R = [mm] m*\bruch{dv}{dt} [/mm] ist als DGL zu lösen. Viel Spaß!


Zusatzbemerkung: Wäre das Feld unten größer als oben, flösse der Strom anders herum; dann würde das untere Leiterstück nach oben abbremsen und das obere nach unten zusätzlich beschleunigen, so dass sich die Leiterschleife umdrehen und umdrehen und umdrehen... würde.

Bezug
                
Bezug
Leiterschleife, inhom Magnfeld: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:42 So 16.06.2019
Autor: nosche

Danke für die wertvollen Hinweise

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