Leitfrage zum Thema Konstanten < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Umfrage) Beendete Umfrage  | | Datum: | 22:34 So 20.03.2011 | | Autor: | Marius_S |
Hallo!
Ich habe dieses Forum bei der Vorbereitung auf einen Vortrag gefunden und würde die Forenmitglieder gerne um Ratschläge bitten.
Ich werde eine Präsentation zu dem Thema "Mathematische Konstanten" halten, jedoch fehlt mir eine Leitidee oder Leitfrage mit der ich dieses Thema untersuchen kann.
Zwei meiner Beispiele, die mir aber bis jetzt irgendwie noch keine ausreichende Grundlage bieten, wären:
Ist eine genaue Bestimmung von Konstanten sinnvoll? Berechnungen benötigen meist für ausreichende Genauigkeit nur wenige Dezimalstellen.
oder
Wie berechnet man Konstanten? Warum berechnet man Konstanten?
Ich bräuchte also eine Fragestellung, mit der man mathematische Konstanten wie zb pi und e untersuchen und eine 20 minütige Präsentation halten kann. Die Anforderung an diese Präsentation ist, dass sie etwas über den Unterrichtsinhalt der Oberstufe hinaus geht und neue Aspekte beinhaltet.
Ich danke für die Aufmerksamkeit
gruß Marius
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Marius,
wenn es um eine Präsentation von (nur) 20 Minuten geht,
ist es wichtig, dass du dir einen genügend interessanten
Aspekt herausgreifst. Wenn du über verschiedene Konstanten
referieren willst, befürchte ich, dass es dann nur zu einer
ganz oberflächlichen Übersicht reicht.
Falls dich besonders die Berechnung der Zahlenwerte von
Konstanten interessiert, könntest du zum Beispiel zeigen,
dass es
a) sehr leicht ist, e auf z.B. 6 Nachkommastellen genau
zu berechnen
b) erheblichen Aufwand erfordert, π auf dieselbe Genauig-
keit zu berechnen
Dazu müsstest du, von den Definitionen von e und π aus-
gehend, je einen Algorithmus erklären, nach dem man
schrittweise bessere Annäherungen berechnet. Für die
konkrete Berechnung könntest du dann z.B. Tabellen-
kalkulation benützen.
Ich könnte mir aber auch vorstellen, dass du dich auf
eine einzige interessante Konstante beschränkst und
anhand von Beispielen zeigst, in welch unterschiedlichen
Zusammenhängen diese Konstante auftritt. Dazu würde
sich z.B. die Konstante [mm] \Phi [/mm] des Goldenen Schnittes sehr
gut eignen.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:09 Do 24.03.2011 | | Autor: | Marius_S |
Vielen dank für die Vorschläge. Ich werde mich etwas mit dem goldenen Schnitt beschäftigen und in Betracht ziehen den Vortrag um diese Konstante aufzubauen. Auch den Fokus auf die Berechnung von pi und e zu legen finde ich eine gute Idee und füllt den Zeitraum von 20 Minuten recht gut aus denke ich, wenn ich zusätzlich noch die historische Entwicklung mit behandle.
Ich mache mich erstmal wieder weiter ans recherchieren :)
Gruß Marius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Do 24.03.2011 | | Autor: | sally99 |
Hi Marius!
Ich habe da eine Fächerübergreifende Idee: Du könntest die Vor- und Nachteile von Konstanten für verschiedene Bereiche wie Physik, Technik, Computerprogrammierung bzw. -sprachen, etc. diskutieren.
z.B.: bei Computerprogrammen ist es mit Konstanten einfacher nachträglich den Wert zu ändern, da dies nur an der Stelle, wo die Konstante definiert wird nötig ist. Ansonsten müsste man überall, wo die Konstante auftaucht den neuen Wert hinschreiben.
Nachteil kann bei größeren Programmen sein, dass irgendwann die Übersicht verloren geht und es manchmal doch besser ist, direkt zu sehen, was in der Rechnung gerade passiert.
Im Großen und Ganzen sind die Nachteile allerdings sehr schwammig oder gar nicht vorhanden. deshalb führt man Konstanten ja ein.
Vielleicht hilft dir das ein bisschen weiter...
Gruß von sally
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> Hi Marius!
>
> Ich habe da eine Fächerübergreifende Idee: Du könntest
> die Vor- und Nachteile von Konstanten für verschiedene
> Bereiche wie Physik, Technik, Computerprogrammierung bzw.
> -sprachen, etc. diskutieren.
>
> z.B.: bei Computerprogrammen ist es mit Konstanten
> einfacher nachträglich den Wert zu ändern, da dies nur an
> der Stelle, wo die Konstante definiert wird nötig ist.
> Ansonsten müsste man überall, wo die Konstante auftaucht
> den neuen Wert hinschreiben.
> Nachteil kann bei größeren Programmen sein, dass
> irgendwann die Übersicht verloren geht und es manchmal
> doch besser ist, direkt zu sehen, was in der Rechnung
> gerade passiert.
>
> Im Großen und Ganzen sind die Nachteile allerdings sehr
> schwammig oder gar nicht vorhanden. deshalb führt man
> Konstanten ja ein.
>
> Vielleicht hilft dir das ein bisschen weiter...
> Gruß von sally
Hallo sally,
ich denke, dass du da einen Aspekt des Begriffs "Konstante"
in der Mathematik ansprichst, der natürlich in Berechnungen,
längst nicht nur mittels Computer, sondern auch in simplen
algebraischen Umformungen ganz zentral ist. Überhaupt
schon die Einführung von Variablen in die Mathematik,
wie z.B. für Formeln wie
[mm] (a+b)^2=a^2+2\,a\,b+b^2 [/mm]
war natürlich ein gewaltiger Fortschritt.
Da Marius aber zum Begriff "Mathematische Konstanten" die
Beispiele π und $\ e$ nannte, interpretierte ich seine Frage
anders. Es handelt sich ja bei π und $\ e$ um "wirkliche"
mathematische Konstanten, welchen man nicht beliebige
Zahlenwerte zuordnen kann. Außer diesen beiden gibt es
davon eine ganze Menge weiterer:
![[]](/images/popup.gif) Einige wichtige mathematische Konstanten
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:13 Do 24.03.2011 | | Autor: | Marius_S |
Hallo sally,
ich beschäftige mich ausschießlich mit den mathematischen Konstanten wie [mm] \pi [/mm] und e. Zusätzlich muss ich noch ein wenig auf die historische Entwicklung dieser eingehen.
Danke für die Mühe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Do 24.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ch würde das thema historisch angehen:
1. jede Zahl, bzw. der zahlenwert ist eine mathematische Konstante.einige wie die 0 und die 1 haben dabei eine besondere stellung, als neutrales Element der Addition bzw. Subtraktion. dabei tritt die 0 als Zahl historisch erst spät auf.
Die rationalen Zahlen waren interessant als verhältnisse von Seitenlängen von ebenen und räumlichen Körpern mit geradlinigen Begrenzung. da tritt [mm] \wurzel{2} [/mm] als Verhältnis von Diagonale und Seite eines Quadrates auf. ebenso wie die [mm] \wurzel{5} [/mm] beim goldenen Schnitt oder im Fünfeck. Die Griechen weigerten sich lange das eine "Zahl" oder Konstante zu akzeptieren.
Noch schlimmer dann das Verhältnis von Kreisumfang und Durchmesser [mm] \pi, [/mm] nicht mehr als Verhältnis ganzer Zahlen, ja noch nicht mal als Wurzel auszudrücken.
Weiter in der geschichte kommt man an die Zahl e, wohl über die Differentialrechnung, um die einfach Differentialgleichung f'(x)=f(x) zu lösen, was auch gleich näherungsverfahren für e liefert.
Aber auch die "normalen" Zahlen sind ja konstanten in der Mathematik.
da es an denen aber nicht so viel zu untersuchen gibt, beschäftigt man sich mehr mit e und [mm] \pi. [/mm] Beweise dass die nicht rational, auch nicht algebraisch sind übersteigen wohl Schulwissen.
aber wenn es anspruchsvoller als Schulwissen sein soll, musst du wohl daran gehen.
[mm] i=\wurzel{-1} [/mm] wird heute selbverständlich verwendet, wurde aber noch vor 400 Jahren nicht "anerkannt" als Zahl, bzw Konstante es wurde nur als eine Art "illegales" Hilfsmittel benutzt um Gl. dritten Grades zu lösen.
Pythagoräische ganze Zahlen sind interessante Kombinationen math. Konstanten.
usw.
gruss leduart
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:55 Do 24.03.2011 | | Autor: | Marius_S |
Hallo leduart,
danke für die Anregung. Was ich vergessen habe in meinem Ausgangsartikel zu erwähnen, war, dass die Präsentation einen historischen Aspekt haben MUSS, du hast also sehr gut erfasst wie mein Vortrag aussehen soll :)
Ich habe auch in etwa die gleiche Vorstellung vom Aufbau der Präsentation wie du ihn beschrieben hast, 0 und 1 dienen als Einstieg in die Thematik als "die ersten Konstanten", wobei [mm] \wurzel{2} [/mm] dann als nächstes erwähnt wird. Da ich nur 20 Minuten habe, würde ich dann direkt zu [mm] \pi [/mm] und e übergehen. Um dem Thema die nötige Komplexität zu verleihen muss ich denke ich in jedem Fall die Irrationalität dieser Zahlen beweisen und am besten auch die Transzendenz, wobei ich mir nicht sicher bin ob ich letzteres mit meinem Wissenstand in der begrenzten Zeit ganz verstehen und glaubwürdig vortragen kann.
Imaginäre Zahlen, bzw komplexe Zahlen, also zb [mm] \wurzel{-1} [/mm] soll ich in diesem Vortrag nicht behandeln, höchstens kurz erwähnen um den Transzendenzbeweis durchzuführen, da dies den Rahmen auf jeden Fall sprengen würde laut meiner Lehrerin.
Wenn ich aber so vorgehen würde hätte ich sozusagen nur abgehandelt, wie die historische Entwicklung aussah und damit hätte ich nur recherchiert, ich bräuchte aber einen interessanten Aspekt unter dem ich das Thema selbstständig untersuchen kann.
Al-Chwarizmi schlug vor die Berechenbarkeit von [mm] \pi [/mm] und e und die Unterschiede hierbei zu untersuchen und die Unterschiede aufzuzeigen. Außerdem schlug er vor zb den goldenen Schnitt in den Mittelpunkt zu stellen und diese Konstante und ihr Vorkommen in unterschiedlichen Zusammenhängen in der Natur und Technik zu untersuchen. Vielleicht hast du ja noch einen anderen Vorschlag für mich den ich in Betracht ziehen kann.
Ich danke nochmal
gruß Marius
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Hallo Marius,
Beweise der Irrationalität und sogar Transzendenz von
π und $\ e$ solltest du im Zusammenhang mit deiner
Präsentation schlicht vergessen !
LG
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:31 Do 24.03.2011 | | Autor: | Marius_S |
Sind diese Beweise denn so zeitaufwendig und schwer zu verstehen als Grundkursschüler der 13. Klasse? Zumindest der Irrationalitätsbeweis schien mir im Bereich des Möglichen.
Das Problem ist, dass ich natürlich einen Weg finden muss die Präsentation ausreichend mathematisch zu gestalten, das heißt Live-Berechnungen und/oder Beweise sollten auf jeden Fall enthalten sein. Hast du einen Vorschlag für mich wie ich dies erreichen kann ohne die Irrationalitäts- und Transzendenzbeweise durchzuführen? Die Anforderung "höhreres Niveau als der reguläre Unterrichtsinhalt" muss auch erfüllt werden :(
gruß Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Do 24.03.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sind diese Beweise denn so zeitaufwendig und schwer zu
> verstehen als Grundkursschüler der 13. Klasse? Zumindest
> der Irrationalitätsbeweis schien mir im Bereich des
> Möglichen.
Irrationalitätsbeweise, die mir bekannt sind, bedürfen Kenntnisse der Mahematik eines Studenten, der wenigstens im ersten oder zweiten Semester ist und schon vieles aus dem Bereich der Differentialrechnung gelernt hat (mehr, als man in der Schule macht; etwa sowas wie Taylorreihenentwicklung!).
Wenn Du manches einfach "postulierst" und sagst, dass man in der Mathematik das schon bewiesen hat, so kannst Du das verwenden und damit etwa die Irrationalität von [mm] $e\,$ [/mm] folgern. Das ganze ist dann aber so erstmal kein Beweis, weil Du die Postulate nicht bewiesen hast und ihr sie in der Schule sicher auch nicht bewiesen habt. Es ist damit also eher ein "Pseudobeweis". Denn mit dem gleichen Argument, wie man die "Postulate" dann akzeptiert (was in Wahrheit dann eigentlich eher schon bewiesene mathematische Sachverhalte sind - aber um das alles dann zu beweisen, muss man schon etwas mehr tun!), kann man dann ja auch sagen, dass man die Irrationalität von [mm] $e\,$ [/mm] einfach behauptet und sagt: "Das ist so, denn das wurde in der Mathematik bereits bewiesen..."
> Das Problem ist, dass ich natürlich einen Weg finden muss
> die Präsentation ausreichend mathematisch zu gestalten,
> das heißt Live-Berechnungen und/oder Beweise sollten auf
> jeden Fall enthalten sein. Hast du einen Vorschlag für
> mich wie ich dies erreichen kann ohne die Irrationalitäts-
> und Transzendenzbeweise durchzuführen? Die Anforderung
> "höhreres Niveau als der reguläre Unterrichtsinhalt" muss
> auch erfüllt werden :(
Du kannst meines Erachtens nach, ohne wenigstens einiges mehr an Analysis zu studieren, was über den Schulstoff hinausgeht, eher so etwas wie den oben angesprochenen "Pseudobeweis" (was er aus Deiner Sicht bzw. aus Sicht Deiner Mitschülerinnen und -schüler ist; in Wahrheit ist das ein mathematisch einwandfreier Beweis) führen. Das ist, wie in der Klammer erwähnt, eigentlich ein richtiger Beweis, aber dazu muss man schon etwas mehr Analysis betrieben und erlebt haben (auch entsprechende Sätze und deren Beweise verstanden haben), um das wirklich als einwandfreien Beweis akzeptieren zu können. Mit anderen Worten:
Du machst dann genau das, was jmd., der schon ein wenig Mathematik studiert hat, machen würde, mit dem Unterschied, dass der entsprechende Mathematiker das Vorwissen erlernt und verstanden hat, und es akzeptieren darf, weil alles bis dahin bewiesen wurde, während Du entsprechende Aussagen erstmal akzeptieren und verstehen solltest.
Es dann aber auch schulgerecht und dennoch wirklich sauber zu präsentieren, das ist dann die eigentliche Herausforderung an Dich!
P.S.:
Einfach zu beweisen ist eigentlich die Irrationalität von [mm] $\sqrt{2}\,.$ [/mm] Mit ein wenig Kreativität zeigst Du halt mal was anderes wie etwa die Irrationalität von [mm] $\sqrt{5}\,.$ [/mm] Wenn Du meinst, schulgerechte Beweise für die Irrationalität von [mm] $e\,$ [/mm] oder [mm] $\pi$ [/mm] gefunden zu haben, dann stelle sie mal hier vor. Würde mich auch interessieren. 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:08 Fr 25.03.2011 | | Autor: | Marius_S |
Ich werde an dieser Stelle einmal meine Feingliederung vorstellen:
Leitfrage:
Wie berechnet man Konstanten? Warum berechnet man Konstanten?
o Unterschiede in der Berechnung von π und e
1. Einleitung
2. Eigenschaften von Mathematischen Konstanten
3. Historische Entwicklung der Konstantenbestimmung
3.1. Sind 0 und 1 konstanten?
3.2. Ist √2 ein Bruch?
3.2.1. Beweis: Reductio ad absurdum
3.2.1.1. Irrationalitätsbeweis durchführen
3.3. Die bekanntesten Vertreter π und e
3.3.1. (Ziel: Aufzeigen, dass π und e mathematische Konstanten sind, sich jedoch sehr in Herkunft und Charakter unterscheiden und die Berechnung sehr unterschiedlichen Aufwand erfordert)
3.3.2. π
3.3.2.1. Geschichte, Bedeutung und Entwicklung von π
3.3.3. e
3.3.3.1. Anschauliche Darstellung am Beispiel Zinsenszins
3.3.3.2. eventuell Leonhard Euler als besonderen Mathematiker vorstellen
3.3.4. (Irrationalitätsbeweise, vorerst entfernt)
3.3.5. Berechnung von π und e in Gegenüberstellung
4. Klärung der Leitfrage, Fazit
Ich denke dies könnte eine solide Grundlage darstellen und durch 3.2.1.1 und 3.3.5 ausreichend mathematischen Charakter annehmen.
Den Irrationalitätsbeweis von pi oder e habe ich erstmal auf euer Anraten rausgenommen.
Ich würde mich über weitere Anregungen und Verbesserungsvorschläge freuen.
gruß Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Fr 25.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei 3.221
würd ich nicht den üblichen Weg gehen, sondern griechisch, also geometrisch vorgehen, Zeigen, dass es kein gemeinsames Maß für Diagonale und Seite eines quadrats gibt. noch einfacher ist das mit dem goldenen schnitt, und auch nicht so bekannt auf der Schule.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 Sa 02.04.2011 | | Autor: | Marius_S |
danke für den Vorschlag ich werde auf jeden Fall versuchen den Punkt so umzusetzen.
Ich bin nun beim Ausarbeiten meiner Präsentation und würde mich natürlich weiterhin über Anregungen und Verbesserungsvorschläge freuen. Termin ist 10.4.11 :)
Ich danke allen vielmals für die Hilfe und Mühe
gruß Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:43 Do 24.03.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> Hallo Marius,
>
> Beweise der Irrationalität und sogar Transzendenz von
> π und [mm]\ e[/mm] solltest du im Zusammenhang mit deiner
> Präsentation schlicht vergessen !
Transzendenzbeweise würde ich ihm auch nicht zumuten wollen. Einen Irrationalitätsbeweis für [mm] $e\,$ [/mm] findet man aber z.B. im Heuser, Lehrbuch der Analysis. (Genauer: Man findet dies dort als Aufgabenstellung mit "deutlichem" Hinweis, wie man vorgehen kann.)
Es ist mir durchaus klar, dass er ihn als Schüler nicht "vollständig glaubwürdig" präsentieren kann, da er dafür einfach so manches über Taylorreihen erklären müsste - was meines Wissens nach in der Schule nicht behandelt wird.
Nichtsdestotrotz kann man das ganze als Beweisidee "vorführen" und darauf verweisen, wieso das denn dann zu einem Widerspruch führt, wenn man das entsprechende Wissen über Taylorreihen einfach mal "zitiert und akzeptiert".
Es ist also eher so, dass er etwas machen kann:
"Da dies über den Schulstoff hinausgeht, möchte ich folgende Sachverhalte zitieren: ..."
"Unter der Annahme, dass wir dies nun (erstmal) einfach so akzeptieren, zeige ich, wie man damit einen Irrationalitätsbeweis von [mm] $e\,$ [/mm] führen kann..."
Sicher keine mathematisch schöne und saubere Methode, aber meiner Ansicht nach wäre das eine Methode, die ich von einem Schüler durchaus akzeptieren könnte. (Sofern denn seine Zitate auch "vernünftig" sind - er sich da also nichts zusammenreimt, sondern sich an "Wissen" orientiert - mit anderen Worten: Er entnimmt dem Heuser einfach alles notwendige aus dem zugehörigen Kapitel (d.h. nur "Aussagen verstehen", nicht unbedingt alle Beweise durchackern, was er vermutlich eh nicht schaffen würde, da man dafür ja einiges an Vorwissen schon erarbeitet und verstanden haben muss), um den entsprechenden Beweis damit dann zu führen. Im Heuser ist das übrigens eine Übungsaufgabe, d.h. bloßes Abschreiben des Irrationalitätsbeweises ist da jedenfalls nicht möglich. Aber der Hinweis dort hilft, wie man vorgehen sollte, hilft dann doch extrem.)
P.S.:
Natürlich kann er auch nur fragen, wie das denn vonstatten gehen würde, und es erstmal nur für sich verstehen. Aber auch in diesem Fall würde ich hier darum bitten, hier wirklich nur Hinweise zu geben und ihn jedenfalls im Wesentlichen das ganze mal selbst durchdenken zu lassen. Also: Keine Musterlösung zum Beweise der Irrationalität von [mm] $e\,$ [/mm] geben, zumal man solche ja auch mit etwas eigenständiger Recherche eh im Internet finden kann...
Gruß,
Marcel
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