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Forum "Funktionalanalysis" - Lemma Riesz, Norm Lip.-stetig
Lemma Riesz, Norm Lip.-stetig < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Lemma Riesz, Norm Lip.-stetig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:08 Fr 04.05.2018
Autor: Noya

Aufgabe
Sei X ein normierter Vektorraum und A [mm] \subseteq [/mm] X abgeschlossen mit A [mm] \not= \emptyset. [/mm] Für x [mm] \in [/mm] X sei d(x,A) = [mm] inf_{a\in A}\parallel x-a\parallel [/mm]  
Zeige:
a.) Die Abbildung x [mm] \mapsto [/mm] d(x,A) ist Lipschitz-stetig und [mm] A=\{x \in X : d(x,A) = 0\}. [/mm]
b.) Ist dim X < [mm] \infty, [/mm] so darf im Lemma von Riesz auch [mm] \delta [/mm] = 0 zugelassen werden


Hallo ihr Lieben,

zur a)
sehe ich das richtig, dass die Abb. x [mm] \mapsto [/mm] d(x,A) eine Abbildung von X [mm] \to [/mm] X ist?
so  meine überlegung dazu:
d(x,A)-d(y,A) [mm] \le| d(x,A)-d(y,A)|=|inf_{a\in A} \parallel x-a\parallel-inf_{a\in A}\parallel y-a\parallel |\le |inf_{a \in A}(\parallel x-a\parallel-\parallel y-a\parallel) [/mm] | [mm] \le inf_{a \in A}|\parallel x-a\parallel-\parallel y-a\parallel| \le inf_{a \in A}(\parallel x-a-y+a\parallel [/mm] ) = [mm] inf_{a \in A}(\parallel x-y\parallel [/mm] ) =d(x,y)
Ginge das so?

zur b)
Lemma von Riesz:
[mm] (X,\parallel \cdot \parallel) [/mm] normierter Vektorraum, U abgeschlossener Untervektorraum von X ( U echte Teilmenge von X), Dann gilt:
[mm] \forall 0<\delta<1, \exists x_1 \in S_x=\{x \in X: \parallel x \parallel=1\}, [/mm] so dass [mm] d(x_1,U)\le1-\delta [/mm]
Da weiß ich gart nicht wie ich vorgehen soll. Hat da jemand einen Tipp für mich?

Vielen Dank und einen schönen Tag noch

Noya :-)

        
Bezug
Lemma Riesz, Norm Lip.-stetig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:44 Sa 05.05.2018
Autor: fred97


> Sei X ein normierter Vektorraum und A [mm]\subseteq[/mm] X
> abgeschlossen mit A [mm]\not= \emptyset.[/mm] Für x [mm]\in[/mm] X sei
> d(x,A) = [mm]inf_{a\in A}\parallel x-a\parallel[/mm]  
> Zeige:
>   a.) Die Abbildung x [mm]\mapsto[/mm] d(x,A) ist Lipschitz-stetig
> und [mm]A=\{x \in X : d(x,A) = 0\}.[/mm]
> b.) Ist dim X < [mm]\infty,[/mm] so darf im Lemma von Riesz auch
> [mm]\delta[/mm] = 0 zugelassen werden
>  
> Hallo ihr Lieben,
>  
> zur a)
>  sehe ich das richtig, dass die Abb. x [mm]\mapsto[/mm] d(x,A) eine
> Abbildung von X [mm]\to[/mm] X ist?
>  so  meine überlegung dazu:
>  d(x,A)-d(y,A) [mm]\le| d(x,A)-d(y,A)|=|inf_{a\in A} \parallel x-a\parallel-inf_{a\in A}\parallel y-a\parallel |\le |inf_{a \in A}(\parallel x-a\parallel-\parallel y-a\parallel)[/mm]
> | [mm]\le inf_{a \in A}|\parallel x-a\parallel-\parallel y-a\parallel| \le inf_{a \in A}(\parallel x-a-y+a\parallel[/mm]
> ) = [mm]inf_{a \in A}(\parallel x-y\parallel[/mm] ) =d(x,y)
>  Ginge das so?


Ehrlich gesagt nicht. Da oben sind einige nicht begründete Abschätungen !

Sei a [mm] \in [/mm] A. Mit der umgekehrten Dreiecksungleichung bekommen wir:

d(x,a)-d(y,a) [mm] \le [/mm] d(x,y), also d(x,a) [mm] \le [/mm] d(y,a) +d(x,y). Gehen wir links zum Infimum über, so liefert dies:

d(x,A) [mm] \le [/mm] d(y,a) +d(x,y),

also

d(x,A)-d(x,y) [mm] \le [/mm] d(y,a).

Gehen wir nun rechts zum Infimum über, so ergibt das d(x,A)-d(x,y) [mm] \le [/mm] d(y,A), also

d(x,A)-d(y,A) [mm] \le [/mm] d(x,y).

Vertauscht man die Rollen von x und y , so ergubt sich analog

d(y,A)-d(x,A) [mm] \le [/mm] d(x,y).

Fazit: |d(x,A)-d(y,A)| [mm] \le [/mm] d(x,y).




>
> zur b)
>  Lemma von Riesz:
>  [mm](X,\parallel \cdot \parallel)[/mm] normierter Vektorraum, U
> abgeschlossener Untervektorraum von X ( U echte Teilmenge
> von X), Dann gilt:
>  [mm]\forall 0<\delta<1, \exists x_1 \in S_x=\{x \in X: \parallel x \parallel=1\},[/mm]


Was soll [mm] S_x [/mm] sein, Du meinst vielleicht [mm] S_1 [/mm] ??


> so dass [mm]d(x_1,U)\le1-\delta[/mm]


So lautet das Lemma aber nicht !!  Sondern:

..........   so dass [mm]d(x_1,U)\ge1-\delta[/mm]


(Mit [mm] \le [/mm] wärs doch eine Trivialität !  Man müsste nur ein x [mm] \in [/mm] U mit ||x||=1 wählen !)


>  Da weiß ich gart nicht wie ich vorgehen soll. Hat da
> jemand einen Tipp für mich?

Hab ich. Zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] gibt es nach Riesz ein [mm] x_n [/mm] mit [mm] ||x_n||=1 [/mm] und

   (*)   [mm] d(x_n,U) \ge [/mm] 1 - [mm] \frac{1}{n}. [/mm]

Da  [mm] \dim [/mm] X < [mm] \infty [/mm] ist die abgeschlossene Einheitskugel in X kompakt, also enthält [mm] (x_n) [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] (x_{n_k}). [/mm] Sei [mm] x_0 [/mm] ihr Limes. Dann ist [mm] ||x_0||=1 [/mm] und, wegen (*) , haben wir


[mm] d(x_{n_k},U) \ge [/mm] 1 - [mm] \frac{1}{n_k} [/mm] für alle k.

Nun lassen wir k [mm] \to \infty [/mm] gehen, beachten Aufgabenteil a) und Bingo !


      [mm] d(x_{0},U) \ge [/mm] 1 .




>  
> Vielen Dank und einen schönen Tag noch
>  
> Noya :-)


Bezug
                
Bezug
Lemma Riesz, Norm Lip.-stetig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:06 Sa 05.05.2018
Autor: Noya

zz. habe ich doch [mm] |f(x)-f(y)|\le [/mm] L*|x-y| mit einer Konstante L [mm] \ge [/mm] 0

wobei [mm] f(x)=d(x,A)=inf_{a\in A} \parallel x-a\parallel, f(y)=d(y,A)=inf_{a\in A} \parallel y-a\parallel [/mm] und x,y [mm] \in [/mm] X
Möchte deins gerne irgendwie als Ungleichungskette schreiben und auch alles wirklich verstehen.

[mm] |f(x)-f(y)|=|inf_{a\in A} \parallel x-a\parallel-inf_{a\in A} \parallel y-a\parallel| [/mm]

> Sei a [mm]\in[/mm] A. Mit der umgekehrten Dreiecksungleichung
> bekommen wir:
>  
> d(x,a)-d(y,a) [mm]\le[/mm] d(x,y), also d(x,a) [mm]\le[/mm] d(y,a) +d(x,y).
> Gehen wir links zum Infimum über, so liefert dies:
>  
> d(x,A) [mm]\le[/mm] d(y,a) +d(x,y),
>  
> also
>  
> d(x,A)-d(x,y) [mm]\le[/mm] d(y,a).
>  
> Gehen wir nun rechts zum Infimum über, so ergibt das
> d(x,A)-d(x,y) [mm]\le[/mm] d(y,A), also
>  
> d(x,A)-d(y,A) [mm]\le[/mm] d(x,y).
>  
> Vertauscht man die Rollen von x und y , so ergubt sich
> analog
>  
> d(y,A)-d(x,A) [mm]\le[/mm] d(x,y).
>  
> Fazit: |d(x,A)-d(y,A)| [mm]\le[/mm] d(x,y).

Mit L=1 oder?
Kann den sachritten folgen. Aber man müsste das ja auch irgendwie als Ungleichunsgkette schreiben können + anmerkungen an den Ungleichungen?
Ich verstehe was du da machst mit dem Infimum. aber das sieht aus wie "hin und hergeschubse" :D

>  
>
>

> > zur b)
>  >  Lemma von Riesz:
>  >  [mm](X,\parallel \cdot \parallel)[/mm] normierter Vektorraum, U
> > abgeschlossener Untervektorraum von X ( U echte Teilmenge
> > von X), Dann gilt:
>  >  [mm]\forall 0<\delta<1, \exists x_1 \in S_x=\{x \in X: \parallel x \parallel=1\},[/mm]
>
>
> Was soll [mm]S_x[/mm] sein, Du meinst vielleicht [mm]S_1[/mm] ??

Im Skript steht [mm] S_x... [/mm]

> So lautet das Lemma aber nicht !!  Sondern:
>  
> ..........   so dass [mm]d(x_1,U)\ge1-\delta[/mm]

Stimmt. Tippfehler. Sorry


> Hab ich.

Danke ;-)

>Zu jedem n [mm]\in \IN[/mm] gibt es nach Riesz ein [mm]x_n[/mm] mit

> [mm]||x_n||=1[/mm] und
>  
> (*)   [mm]d(x_n,U) \ge[/mm] 1 - [mm]\frac{1}{n}.[/mm]

Wieso [mm] 1-\bruch{1}{n}? [/mm]

>  
> Da  [mm]\dim[/mm] X < [mm]\infty[/mm] ist die abgeschlossene Einheitskugel in
> X kompakt, also enthält [mm](x_n)[/mm] eine konvergente Teilfolge
> [mm](x_{n_k}).[/mm] Sei [mm]x_0[/mm] ihr Limes. Dann ist [mm]||x_0||=1[/mm] und,

ok.

wegen

> (*) , haben wir
>  
>
> [mm]d(x_{n_k},U) \ge[/mm] 1 - [mm]\frac{1}{n_k}[/mm] für alle k.

okay.

> Nun lassen wir k [mm]\to \infty[/mm] gehen,

[mm] \frac{1}{n_k} \to [/mm] 0
dann  beachten Aufgabenteil a)
Inwieweit benötigt man dann hier die Lipschitzstetigkeit?

> und Bingo !
>  
>
> [mm]d(x_{0},U) \ge[/mm] 1 .


Bezug
                        
Bezug
Lemma Riesz, Norm Lip.-stetig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:32 Sa 05.05.2018
Autor: fred97


> zz. habe ich doch [mm]|f(x)-f(y)|\le[/mm] L*|x-y| mit einer
> Konstante L [mm]\ge[/mm] 0
>
> wobei [mm]f(x)=d(x,A)=inf_{a\in A} \parallel x-a\parallel, f(y)=d(y,A)=inf_{a\in A} \parallel y-a\parallel[/mm]
> und x,y [mm]\in[/mm] X
>  Möchte deins gerne irgendwie als Ungleichungskette

Meins?  Warum das ?


> schreiben und auch alles wirklich verstehen.
>  
> [mm]|f(x)-f(y)|=|inf_{a\in A} \parallel x-a\parallel-inf_{a\in A} \parallel y-a\parallel|[/mm]
>  
> > Sei a [mm]\in[/mm] A. Mit der umgekehrten Dreiecksungleichung
> > bekommen wir:
>  >  
> > d(x,a)-d(y,a) [mm]\le[/mm] d(x,y), also d(x,a) [mm]\le[/mm] d(y,a) +d(x,y).
> > Gehen wir links zum Infimum über, so liefert dies:
>  >  
> > d(x,A) [mm]\le[/mm] d(y,a) +d(x,y),
>  >  
> > also
>  >  
> > d(x,A)-d(x,y) [mm]\le[/mm] d(y,a).
>  >  
> > Gehen wir nun rechts zum Infimum über, so ergibt das
> > d(x,A)-d(x,y) [mm]\le[/mm] d(y,A), also
>  >  
> > d(x,A)-d(y,A) [mm]\le[/mm] d(x,y).
>  >  
> > Vertauscht man die Rollen von x und y , so ergubt sich
> > analog
>  >  
> > d(y,A)-d(x,A) [mm]\le[/mm] d(x,y).
>  >  
> > Fazit: |d(x,A)-d(y,A)| [mm]\le[/mm] d(x,y).
>  Mit L=1 oder?


Ja.


>  Kann den sachritten folgen. Aber man müsste das ja auch
> irgendwie als Ungleichunsgkette schreiben können +
> anmerkungen an den Ungleichungen?


>  Ich verstehe was du da machst mit dem Infimum. aber das
> sieht aus wie "hin und hergeschubse" :D

Und ? Was ist  daran so schlimm?

Wenn  es dir nicht gefällt, so lass es bleiben.

>  >  
> >
> >
>
> > > zur b)
>  >  >  Lemma von Riesz:
>  >  >  [mm](X,\parallel \cdot \parallel)[/mm] normierter Vektorraum,
> U
> > > abgeschlossener Untervektorraum von X ( U echte Teilmenge
> > > von X), Dann gilt:
>  >  >  [mm]\forall 0<\delta<1, \exists x_1 \in S_x=\{x \in X: \parallel x \parallel=1\},[/mm]
> >
> >
> > Was soll [mm]S_x[/mm] sein, Du meinst vielleicht [mm]S_1[/mm] ??
>  Im Skript steht [mm]S_x...[/mm]
>  
> > So lautet das Lemma aber nicht !!  Sondern:
>  >  
> > ..........   so dass [mm]d(x_1,U)\ge1-\delta[/mm]
>  Stimmt. Tippfehler. Sorry
>  
>
> > Hab ich.
> Danke ;-)
>  
> >Zu jedem n [mm]\in \IN[/mm] gibt es nach Riesz ein [mm]x_n[/mm] mit
> > [mm]||x_n||=1[/mm] und
>  >  
> > (*)   [mm]d(x_n,U) \ge[/mm] 1 - [mm]\frac{1}{n}.[/mm]
>  Wieso [mm]1-\bruch{1}{n}?[/mm]


Ist n [mm] \in \IN, [/mm] so wende ich Riesz auf [mm] \delta=1/n [/mm] an.


>  >  
> > Da  [mm]\dim[/mm] X < [mm]\infty[/mm] ist die abgeschlossene Einheitskugel in
> > X kompakt, also enthält [mm](x_n)[/mm] eine konvergente Teilfolge
> > [mm](x_{n_k}).[/mm] Sei [mm]x_0[/mm] ihr Limes. Dann ist [mm]||x_0||=1[/mm] und,
>  
> ok.
>  
> wegen
> > (*) , haben wir
>  >  
> >
> > [mm]d(x_{n_k},U) \ge[/mm] 1 - [mm]\frac{1}{n_k}[/mm] für alle k.
> okay.
>  > Nun lassen wir k [mm]\to \infty[/mm] gehen,

>  [mm]\frac{1}{n_k} \to[/mm] 0
>  dann  beachten Aufgabenteil a)
> Inwieweit benötigt man dann hier die Lipschitzstetigkeit?

Eigentlich brauche ich  nur die Stetigkeit :

   $d [mm] (x_{n_k},U) \to [/mm] d [mm] (x_0,U)$ [/mm]


>  > und Bingo !

>  >  
> >
> > [mm]d(x_{0},U) \ge[/mm] 1 .
>  


Danke fürs Danke !

Bezug
                                
Bezug
Lemma Riesz, Norm Lip.-stetig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:05 Sa 05.05.2018
Autor: Noya


> >  Ich verstehe was du da machst mit dem Infimum. aber das

> > sieht aus wie "hin und hergeschubse" :D
>  
> Und ? Was ist  daran so schlimm?
>

Nichts. Wollte im endeffekt nur wissen, ob das auch irgendwie geht
  

> Ist n [mm]\in \IN,[/mm] so wende ich Riesz auf [mm]\delta=1/n[/mm] an.

Und wie kommst du darauf [mm] \delta=1/n [/mm] zu betrachten?

>

>  
> Eigentlich brauche ich  nur die Stetigkeit :
>  
> [mm]d (x_{n_k},U) \to d (x_0,U)[/mm]

dem kann ich nicht folgen.
Wärest du so nett und würdest mir das genauer erklären?
wir wissen [mm] x_{n_k} \to x_0 [/mm] für k [mm] \to \infty. [/mm]
und mit der Stetigkeit folgt dann, dass auch  d [mm] (x_{n_k},U) \to d(x_0,U) [/mm] für k [mm] \to \infty? [/mm]

Vielen Dank und einen schönen Abend noch.


Bezug
                                        
Bezug
Lemma Riesz, Norm Lip.-stetig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:12 Sa 05.05.2018
Autor: fred97


> > >  Ich verstehe was du da machst mit dem Infimum. aber das

> > > sieht aus wie "hin und hergeschubse" :D
>  >  
> > Und ? Was ist  daran so schlimm?
> >
> Nichts. Wollte im endeffekt nur wissen, ob das auch
> irgendwie geht
>    
>
> > Ist n [mm]\in \IN,[/mm] so wende ich Riesz auf [mm]\delta=1/n[/mm] an.
>   Und wie kommst du darauf [mm]\delta=1/n[/mm] zu betrachten?
>  >

Erfahrung, Intuition,  gute Idee. Wie Du siehst funktioniert es.


>
> >  

> > Eigentlich brauche ich  nur die Stetigkeit :
>  >  
> > [mm]d (x_{n_k},U) \to d (x_0,U)[/mm]
>  dem kann ich nicht folgen.
>  Wärest du so nett und würdest mir das genauer
> erklären?
>  wir wissen [mm]x_{n_k} \to x_0[/mm] für k [mm]\to \infty.[/mm]
>  und mit der
> Stetigkeit folgt dann, dass auch  d [mm](x_{n_k},U) \to d(x_0,U)[/mm]
> für k [mm]\to \infty?[/mm]

Ja, das bedeutet doch  gerade Stetigkeit.


>  
> Vielen Dank und einen schönen Abend noch.
>  


Bezug
                                                
Bezug
Lemma Riesz, Norm Lip.-stetig: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:23 So 06.05.2018
Autor: Noya

Super!
Vielen Dank!

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