Lemma von Euklid < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Mo 13.12.2010 | | Autor: | Ferolei |
| Aufgabe | Ist p>1 eine Primzahl und gilt p|a*b, dann folgt p|a oder p|b.
Man kann das Lemma auch ohne die Eindeutigkeit der PFZ beweisen. Wie?
Hinweise: Betrachten Sie die Menge [mm] M=\{x\in\IN|p|a*x\}, [/mm] wobei [mm] a\in\IN [/mm] das a aus dem Lemma ist. Betrachten Sie nun weiter das kleinste Element c dieser Menge und zeigen Sie, dass c alle [mm] x\in [/mm] M teilt. |
Hallo zusammen,
ich habe zwar einen anderen Beweis zu dem Lemma hinbekommen, aber keinen, der mit den Hinweisen gelöst wurde. Mir ist auch nicht ganz klar, wieso ich das so machen soll. Was habe ich davon, wenn ich weiß, dass c alle x teilt?
Kann mir vielleicht jemand einen Ansatz nennen? Viell. komme ich dann weiter.
Viele Grüße
Ferolei
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Mo 13.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Denkanstoss: Wenn p a nicht teilt, was ist dann das kleinste x, wenn p a teilt, was ist dann das kleinste x
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Mo 13.12.2010 | | Autor: | Ferolei |
Hmmm.... also wenn p|a, dann müsste ja x=1 sein, wenn wir das kleinste Element betrachten.... wenn aber p nicht a teilt, dann ist das kleinste Element, das x sein kann, p selbst, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Mo 13.12.2010 | | Autor: | leduart |
Ja
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Mo 13.12.2010 | | Autor: | Ferolei |
Aber wieso muss ich diesen Umweg über diese Menge machen? Wie komme ich dann zu meinem b zurück?
Ich meine, wenn c=1, dann folgt ja direkt c|x, da 1 jede Zahl aus [mm] \IN [/mm] teilt.
Wenn nun c=p, dann gilt also p|a*c bzw. p|a*p also c|x, da c=p=x ?
Ich weiß noch nicht so ganz, wo das hinführen soll....
VG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 Di 14.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist ja nur verlangt, dass du das ohne verwendung der eindeutigen PZZ machst. wenn du das ohne den Hinweis kannst tu es. der sollte dir helfen, du sagst du hast es anders bewiesen, dann kannst du ja das verwenden.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Di 14.12.2010 | | Autor: | Ferolei |
Ja, dann schreibe ich das mal so hin, wie ich mir das überlegt habe. Vielleicht kann mir jemand sagen, ob das überhaupt so geht, oder ob ich einen Fehler gemacht habe:
Also. Sei p>1 prim und es gilt p|a*b.
Behauptund: p|a oder p|b
1. Fall: p|a => Beh.
2.Fall: p teilt nicht a (Finde das Zeichen nicht)
[mm] \Rightarrow p\not\in [/mm] T(a) [mm] \Rightarrow p\not\in T(p)\cap [/mm] T(a) [mm] \Rightarrow [/mm] T(p) [mm] \cap [/mm] T(a) = {1} (da p Primzahl) [mm] \Rightarrow [/mm] ggT(p,a)=1 [mm] \Rightarrow [/mm] 1=xp+ya mit [mm] x,y\in\IZ \Rightarrow [/mm] b=bxp+bya. Da p|a*b existiert ein [mm] t\in\IZ [/mm] mit p*t=a*b [mm] \Rightarrow [/mm] b=bxt+ypt [mm] \Rightarrow [/mm] b=(bx+yt)p [mm] \Rightarrow [/mm] p|a
Ist das so schlüssig, oder habe ich was vergessen, falsch gemacht oder missachtet ?
Viele Grüße Ferolei
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Di 14.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie zeigst du: ggT(p,a)=1 $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ 1=xp+ya ohne eindeutigkeit der primzahlzerlegung?
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:13 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Ferolei |
> Hallo
> wie zeigst du: ggT(p,a)=1 [mm]\Rightarrow[/mm] 1=xp+ya ohne
> eindeutigkeit der primzahlzerlegung?
Hallo Leduart,
den Satz hatten wir vorher bei dem Thema Lineare Diophantische Gleichungen. Also das sich der ggT immer als Linearkombination darstellen lässt. Den hatten wir bewiesen, bevor wir die PFZ hatten.
Darf ich das dann nicht nutzen?
> Gruss leduart
>
Gruß, Ferolei
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 So 19.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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