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| Aufgabe | Gegeben ein faktorieller Ring R und ein irreduzibles Element p [mm] \in [/mm] R und Polynome A, B [mm] \in [/mm] (Quot R)[X] gilt [mm] v_p(AB)=v_p(A)+v_p(B). [/mm]
[mm] (v_p(A) [/mm] ist dabei die Bewertung/value vom Polynom A). |
Hallo!
Ich verstehe den Beweis hierzu nicht vollständig. Er beginnt folgender Maßen:
Ist eines unserer Polynome konstant, so gilt die Gleichung offensichtlich.
Mit dieser Erkenntnis können wir uns auf den Fall zurückziehen, dass A und B Koeffizienten in R haben und dass gilt: [mm] v_p(A)=v_p(B)=0. [/mm] Es bleibt zu zeigen, dass mit diesen Annahmen [mm] v_p(AB)=0.
[/mm]
Den ersten Satz habe ich mir klar gemacht, aber beim zweiten hänge ich. Warum können wir uns darauf zurückziehen? Was folgt ist wieder klar, aber mir fehlt gerade noch der Zusammenhang, warum es reicht dies zu zeigen.
Kann mir jemand helfen? Das wäre toll!
Liebe Grüße, Lily
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 Mo 22.08.2016 | | Autor: | hippias |
> Gegeben ein faktorieller Ring R und ein irreduzibles
> Element p [mm]\in[/mm] R und Polynome A, B [mm]\in[/mm] (Quot R)[X] gilt
> [mm]v_p(AB)=v_p(A)+v_p(B).[/mm]
> [mm](v_p(A)[/mm] ist dabei die Bewertung/value vom Polynom A).
> Hallo!
>
> Ich verstehe den Beweis hierzu nicht vollständig. Er
> beginnt folgender Maßen:
>
> Ist eines unserer Polynome konstant, so gilt die Gleichung
> offensichtlich.
> Mit dieser Erkenntnis können wir uns auf den Fall
> zurückziehen, dass A und B Koeffizienten in R haben und
> dass gilt: [mm]v_p(A)=v_p(B)=0.[/mm] Es bleibt zu zeigen, dass mit
> diesen Annahmen [mm]v_p(AB)=0.[/mm]
>
> Den ersten Satz habe ich mir klar gemacht, aber beim
> zweiten hänge ich. Warum können wir uns darauf
> zurückziehen? Was folgt ist wieder klar, aber mir fehlt
> gerade noch der Zusammenhang, warum es reicht dies zu
> zeigen.
Es ist [mm] $\nu_{p}(\alpha [/mm] Q)= [mm] \nu_{p}(\alpha)+ \nu_{p}(Q)$ [/mm] für alle Polynome $Q$ und [mm] $\alpha\in [/mm] Quot(R)$; dies, sagst Du, ist richtig. Damit kann ich sagen: wenn die Behauptung für irgendwelche Vielfachen [mm] $\alpha [/mm] A$ und [mm] $\beta [/mm] B$ von $A$ und $B$ gilt, wenn also [mm] $\nu_{p}(\alpha [/mm] A [mm] \beta [/mm] B)= [mm] \nu_{p}(\alpha [/mm] A) [mm] +\nu_{p}( \beta [/mm] B)$ gilt, dann gilt auch [mm] $\nu_{p}(A [/mm] B)= [mm] \nu_{p}( [/mm] A) [mm] +\nu_{p}(B)$. [/mm]
Dies ist nicht schwer einzusehen, weil Du die einzelnen Terme in Summen aufspalten kannst, da [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] konstant sind und Du weisst, dass man das bei Konstanten machen darf.
In diesem Sinne genügt es die Behauptung für "irgendwelche" Vielfachen von $A$ und $B$ zu zeigen.
Indem Du mit dem Produkt aller Nenner multiplizierst erhälst Du [mm] $\alpha [/mm] A, [mm] \beta B\in [/mm] R[X]$.
Nun zum zweiten Teil: Kannst Du mir sagen, was es für die Koeffizienten von [mm] $A\in [/mm] R[X]$ bedeutet, wenn [mm] $\nu_{p}(A)=0$ [/mm] ist?
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> Kann mir jemand helfen? Das wäre toll!
>
> Liebe Grüße, Lily
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:45 Di 23.08.2016 | | Autor: | Mathe-Lily |
Hallo!
Vielen Dank für deine Antwort!
Das habe ich jetzt verstanden! 
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> Nun zum zweiten Teil: Kannst Du mir sagen, was es für die
> Koeffizienten von [mm]A\in R[X][/mm] bedeutet, wenn [mm]\nu_{p}(A)=0[/mm]
> ist?
Ja, das bedeutet, dass die Koeffizienten teilerfremd sind.
Aber den Teil hatte ich schon verstanden, denke ich, das habe ich missverständlich geschrieben. Mit deiner Hilfe ist mir der Beweis klar.
Danke!
Liebe Grüße, Lily
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:45 Mi 24.08.2016 | | Autor: | hippias |
> Hallo!
> Vielen Dank für deine Antwort!
> Das habe ich jetzt verstanden!
>
Das freut mich.
> >
> > Nun zum zweiten Teil: Kannst Du mir sagen, was es für die
> > Koeffizienten von [mm]A\in R[X][/mm] bedeutet, wenn [mm]\nu_{p}(A)=0[/mm]
> > ist?
>
> Ja, das bedeutet, dass die Koeffizienten teilerfremd sind.
Vielleicht hast Du Dich nur verschrieben, aber [mm] $\nu_{p}(A)=0$ [/mm] impliziert nicht, dass die Koeffizienten von $A$ teilerfremd sind. Allenfalls könnte man so etwas sagen wie: sie sind bezüglich $p$ teilerfremd.
>
> Aber den Teil hatte ich schon verstanden, denke ich, das
> habe ich missverständlich geschrieben. Mit deiner Hilfe
> ist mir der Beweis klar.
> Danke!
>
> Liebe Grüße, Lily
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:10 Mi 24.08.2016 | | Autor: | Mathe-Lily |
Hallo!
Jetzt bin ich doch etwas verunsichert...
> > > Nun zum zweiten Teil: Kannst Du mir sagen, was es für die
> > > Koeffizienten von [mm]A\in R[X][/mm] bedeutet, wenn [mm]\nu_{p}(A)=0[/mm]
> > > ist?
> >
> > Ja, das bedeutet, dass die Koeffizienten teilerfremd sind.
> Vielleicht hast Du Dich nur verschrieben, aber
> [mm]\nu_{p}(A)=0[/mm] impliziert nicht, dass die Koeffizienten von [mm]A[/mm]
> teilerfremd sind. Allenfalls könnte man so etwas sagen
> wie: sie sind bezüglich [mm]p[/mm] teilerfremd.
>
Ich hatte tatsächlich bisher gedacht, dass [mm] v_p(A)=0 [/mm] bedeutet, dass es kein p gibt, das alle Koeffizienten von A teilt und diese damit teilerfremd sind.
Aber das würde es wohl nur heißen, wenn [mm] v_p(A)=0 \forall p [/mm] gilt?
Das könnte man ja prüfen, indem man sich die Teiler eines Koeffizienten und ob diese die anderen Koeffizienten teilt anschaut, oder?
Zum Beispiel:
Sei [mm] A(x)=3*x^4+26*x^3+85*x^2+500*x+1500
[/mm]
[mm] a_4=3 [/mm] hat die Teiler 1 und 3. Da 1 uninteressant ist um den größten gemeinsamen Teiler der [mm] a_i [/mm] zu finden betrachten wir nur p=3.
3 teilt aber nicht 26 und damit sind alle [mm] a_i [/mm] teilerfremd, dh es gibt kein p, das alle teilt und damit ist [mm] v_p(A)=0 \forall p \in \IZ=R.[/mm]
Kann man das so sagen?
Und noch eine Frage: welchen Unterschied macht es, ob man sich A [mm] \in [/mm] (Quot R)[X] oder A [mm] \in [/mm] R[X] anschaut? Ich dachte, dass man im zweiten Fall eben keine Brüche außer die trivialen Brüche a/1 als Koeffizienten hat und auch p [mm] \in [/mm] R und kein Bruch sein kann, im 1. Fall aber schon. Stimmt das?
Liebe Grüße,
Lily
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:02 Mi 24.08.2016 | | Autor: | hippias |
Zeige doch einfach mal die Definition der Bewertung [mm] $\nu_{p}$ [/mm] auf dem Polynomring. Dann wird sich alles aufklären.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 16:39 Mi 24.08.2016 | | Autor: | Mathe-Lily |
Hallo!
> Zeige doch einfach mal die Definition der Bewertung [mm]\nu_{p}[/mm]
> auf dem Polynomring. Dann wird sich alles aufklären.
Die Definition ist bei [mm] A(X)=a_0+...+a_nX^n: ggT(a_0,...,a_n)=v(A) [/mm] und damit unabhängig von einem p.
Also heißt [mm] v_p(A)=0 [/mm] bei einem A [mm] \in [/mm] R[X], dass die Koeffizienten teilerfremd sind, aber bei einem A [mm] \in [/mm] (Quot R)[X], dass die Koeffizienten bzgl p teilerfremd sind. Ja?
Liebe Grüße, Lily
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:29 Mi 24.08.2016 | | Autor: | hippias |
Worüber sprechen wie jetzt: über $v(A)$, also den auch sogenannten Inhalt von $A$, oder von [mm] $\nu_{p}(A)$, [/mm] der Bewertung von $A$? Das sind ersteinmal unterschiedlich Begriffe. In dem Beweis geht es um [mm] $\nu_{p}$.
[/mm]
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Hallo!
Wir sprechen eigentlich über die Bewertung. Aber ich bin etwas durcheinander gekommen.
Damit ich es richtig verstehe:
Für den Inhalt gibt es eine allgemeinere Definition für Polynome aus Quotientenkörpern und eine speziellere für Polynome aus Polynomringen. Die erste besagt knapp zusammengefasst, dass ein [mm] a=ep_1^{k_1}...p_l^{k_l} [/mm] bzgl [mm] p_i [/mm] die Ordnung [mm] v_{p_i}(a)=k_i [/mm] hat, das Polynom [mm] f(X)=a_nX^n+...+a_0 [/mm] dann [mm] ord_p(f)=v_p(f)=min_{i=0,...,n}(v_p(a_i)) [/mm] und damit [mm] inhalt_R(f)=\produkt_{p \in P}p^{ord_p(f)} [/mm] hat.
Dafür wurde mit [mm] v_{p_i}(a) [/mm] die Bewertung von einem Element a [mm] \in [/mm] R definiert und mit [mm] v_p(f) [/mm] die Bewertung eines Polynoms [mm] f \in (Quot R) [X] [/mm] definiert. Oder?
Am Bsp.: [mm] A(X)=4X^2+6X: [/mm] Sei p=2, also [mm] v_2(6)=v_2(2^1*3)=1 [/mm] und [mm] v_2(4)=v_2(2^2*1)=2, [/mm] also [mm] v_2(A)=1
[/mm]
Aber v(A)=inhalt(A)=ggT(4,6)=2
Dann zu deiner Frage zurück, wie dann die Bewertung für A [mm] \in [/mm] R[X] definiert ist:
Ist das dann nicht einfach das gleiche wie für [mm] A \in (Quot R)[X] [/mm], nur dass die Koeffizienten von A in R sind statt in Quot R und damit z.B. für den Fall [mm] R=\IZ [/mm] nur ganze Zahlen und keine rationalen Zahlen sein können?
Macht das dann für die Bewertung einen Unterschied?
Liebe Grüße, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Do 25.08.2016 | | Autor: | hippias |
> Hallo!
>
> Wir sprechen eigentlich über die Bewertung. Aber ich bin
> etwas durcheinander gekommen.
> Damit ich es richtig verstehe:
> Für den Inhalt gibt es eine allgemeinere Definition für
> Polynome aus Quotientenkörpern und eine speziellere für
> Polynome aus Polynomringen. Die erste besagt knapp
> zusammengefasst, dass ein [mm]a=ep_1^{k_1}...p_l^{k_l}[/mm] bzgl [mm]p_i[/mm]
> die Ordnung [mm]v_{p_i}(a)=k_i[/mm] hat, das Polynom
> [mm]f(X)=a_nX^n+...+a_0[/mm] dann
> [mm]ord_p(f)=v_p(f)=min_{i=0,...,n}(v_p(a_i))[/mm] und damit
> [mm]inhalt_R(f)=\produkt_{p \in P}p^{ord_p(f)}[/mm] hat.
> Dafür wurde mit [mm]v_{p_i}(a)[/mm] die Bewertung von einem
> Element a [mm]\in[/mm] R definiert und mit [mm]v_p(f)[/mm] die Bewertung
> eines Polynoms [mm]f \in (Quot R) [X][/mm] definiert. Oder?
>
> Am Bsp.: [mm]A(X)=4X^2+6X:[/mm] Sei p=2, also [mm]v_2(6)=v_2(2^1*3)=1[/mm]
> und [mm]v_2(4)=v_2(2^2*1)=2,[/mm] also [mm]v_2(A)=1[/mm]
> Aber v(A)=inhalt(A)=ggT(4,6)=2
>
> Dann zu deiner Frage zurück, wie dann die Bewertung für A
> [mm]\in[/mm] R[X] definiert ist:
> Ist das dann nicht einfach das gleiche wie für [mm]A \in (Quot R)[X] [/mm],
> nur dass die Koeffizienten von A in R sind statt in Quot R
> und damit z.B. für den Fall [mm]R=\IZ[/mm] nur ganze Zahlen und
> keine rationalen Zahlen sein können?
Ja, es ist natürlich nur die Einschränkung auf den Ring. Beim Quoatientenkörper kann die Bewertung auch negative Werte annehmen (bei Deinem Beispiel: [mm] $\nu_{2}\left(\frac{1}{2}\right)= [/mm] -1$).
Dieser Seitenfaden entstand durch Frage, was aus [mm] $\nu_{p}(A)=0$ [/mm] zu folgern sei: es gibt einen Koeffizienten von $A$, der nicht durch $p$ teilbar ist.
>
> Macht das dann für die Bewertung einen Unterschied?
>
> Liebe Grüße, Lily
>
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Achso! Na klar, das macht Sinn (dass im Quotientenkörper die Bewertung auch negativ sein kann), das macht mir (glaube ich) auch folgendes klar:
Ich hab mir ein beliebiges Polynom vorgenommen dessen Bewertung ich berechnen wollte:
A(X)= [mm] \bruch{16}{6}X^2+\bruch{5}{4}X. [/mm] Also ist [mm] v_2(a_1)=-2 [/mm] und [mm] v_2(a_2)=3 [/mm] und damit [mm] v_2(A)=-2. [/mm] Oder?
Liebe Grüße, Lily
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Ja.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:44 Mi 31.08.2016 | | Autor: | Mathe-Lily |
Super, danke!
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