Lemma von Zorn < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 So 15.11.2009 | | Autor: | PromHH |
| Aufgabe | Zeigen Sie, mit Hilfe des Lemmas von Zorn, daß für zwei Mengen A,B stets |A| ≥ |B| oder |B| ≥ |A| gilt.
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Guten Abend! Leider fehlt mir für diese Aufgabe ein richtiger Ansatz, da ich das Lemma von Zorn (Jede total-geordnete Menge hat ein maximales Element) nicht in Zusammenhang mit der Aufgabe bringen kann.
Das man zwei elemente mtieinander vergleicht aus zwei verschiedenen Mengen scheint mir zu einfach.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:13 Mo 16.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zeigen Sie, mit Hilfe des Lemmas von Zorn, daß für zwei
> Mengen A,B stets |A| ≥ |B| oder |B| ≥ |A| gilt.
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> Guten Abend! Leider fehlt mir für diese Aufgabe ein
> richtiger Ansatz, da ich das Lemma von Zorn (Jede
> total-geordnete Menge hat ein maximales Element) nicht in
> Zusammenhang mit der Aufgabe bringen kann.
> Das man zwei elemente mtieinander vergleicht aus zwei
> verschiedenen Mengen scheint mir zu einfach.
Du musst ja zeigen, dass es entweder eine injektive Abbildung $A [mm] \to [/mm] B$ oder eine injektive Abbildung $B [mm] \to [/mm] A$ gibt.
Solche injektiven Abbildungen entsprechen passenden Teilmengen von $A [mm] \times [/mm] B$. Ueberleg dir welche Teilmengen dieses sind, und ob du diese Beziehung verallgemeinern kannst um eine partielle Ordnung auf solche (allgemeineren) Teilmengen von $A [mm] \times [/mm] B$ zu finden, die per Teilmenge geordnet sind und wo jede aufsteigende Kette eine obere Schranke hat (sprich: die Vereinigung einer aufsteigenden Kette ist auch wieder eine Menge mit dieser Eigenschaft).
Eine maximale Menge mit dieser Eigenschaft liefert dann entweder eine Injektiv $A [mm] \to [/mm] B$ oder eine Injektion $B [mm] \to [/mm] A$.
LG Felix
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