Lemniskate < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Fr 25.03.2005 | | Autor: | Toxi |
Hallo!!(Viel spass dem der das ließt)!
Ich soll die Punkte der Horizontalen Tangenten berechnen von einer Lemniskate mit der Gleichung [mm] (x^2+y^2)^2- 2(x^2-y^2)=0.
[/mm]
Ich habe die Funktion nach x und y Abgeleitet und dann denn Satz f´(x-Null)= - F(x)/ F(y) verwendet und an dieser Stelle habe ich versucht die Nullstellen zu finden aber es funktioniert nicht weil ich keine Ergebnisse bekomme die logisch sind! Meine Ableitung nach x lautet [mm] F(x)=4x^3+4xy^2-4x [/mm] und meine Ableitung nach y laute [mm] F(y)=4y^3+4yx^2+4y! [/mm] Jetzt habe ich die Gleichungen 0 gesetzt und probiert über ein Lösungssystem y oder x zu bestimmen was aber nicht klappte!
Kann mir jemand helfen und mir sagen wo ich denn Fehler gemacht habe?
Ich habe mir die Funktion zeichnen lassen und da kann man erkennen dass der y-Wert für die Punkte +1/2 und -1/2 sein muss aber die x-Werte kann man nicht ablesen!Ich weiß dass die erste Ableitung denn Anstieg an einem Punkte an einer Differenzierbaren Funktion ist und bei Horizontalen Punkten muss der Anstieg 0 sein!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: www.mathematisch.de
|
|
| |
|
Hallo,
die Bedingung für Extremstellen von unentwickelten Funktionen [mm]f\left( {x,\;y} \right)\; = \;0[/mm] lauten:
[mm]f_{x} \; = \;0,\;f_{y} \; \ne \;0[/mm]
Löse zunächst mal die Gleichung [mm]f_{x} \; = \;0[/mm] auf
Es gilt dann für [mm]f_{x}[/mm]:
[mm]\begin{gathered}
f_{x} \; = \;4\;x\;\left( {x^{2} \; + \;y^{2} \; - \;1} \right)\; = \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \;x\; = \;0\; \vee \;x^{2} \; + \;y^{2} \; = \;1 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Die Bedingungen werden in f(x,y) = 0 eingesetzt. Dies liefert dann eine Gleichung in einer Variablen.
Nun ist noch [mm]f_{y}[/mm] zu untersuchen:
[mm]f_{y} \; = \;4\;y\;\left( {x^2 \; + \;y^2 \; + \;1} \right)[/mm]
Ist [mm]f_{x} \; = \;f_{y} \; = \;0[/mm] so handelt es sich um einen sogenannten kritischen Punkt, der gesondert betrachtet werden muss (Satz von Morse).
Gruß
MathePower
|
|
|
|
