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Hallo liebe Forum-Freunde
Leider kann ich folgende Frage nicht beantworten,deshalb bitte ich euch um eure Hilfe:
Aufgabe:
Wieso ist es sinnvoll (wieso ergibt das Sinn),dass bei der Leslie-Matrix nach dem man sie quadriert hat,an den Stellen wo 0 stand nun wirklich andere Zahlen (halt außer 0) stehen?
Vielen Dank im Voraus
MfG
Hasan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Do 26.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
das quadrieren der Matrix bedeutet ja, dass man das Ergbnis nach zweimaliger Iteration (also zweimal nacheinander anwenden) bekommt.
Wenn du dir die "normale" Leslie-Matrix anschaust, sieht die ja so aus:
[mm] $A:=\pmat{f_1&f_2&f_3&f_4 \\ s_1 & 0&0&0 \\ 0 &s_2&0&0\\ 0&0&s_3&0}$
[/mm]
Hierbei sind die $f$ die Geburtenrate, s der Anteil der Leute, die von einer Altersklasse in die nächst höhere Übergehen.
Dabei ist es also klar, dass in der oberen Zeile die $f$ stehen, weil alle Leute, die geboren werden, in der 1. Altersklasse, bspw. die Altersklasse 0-10 Jahre reinkommen.
Die zweite Reihe hat nur an der ersten Stelle einen [mm] $s_1$-Eintrag, [/mm] weil natürlich nach einem Zeitschritt nur die Leute bspw. in die zweite Alterklasse, bspw. zwischen 10 und 20 Jahren kommen können, die vorher in der ersten Altersklasse gewesen sind. Ebenso erklären sich die letzten beiden Zeilen.
Wenn man jetzt das Quadrat deiner Matrix anschaut, dann tauchen da, wo vorher eine 0 sinnvollerweise stand, andere Zahlen, beispielsweise, wie du sagtest eine $0.3$.
Das macht folgenden Sinn:
Wenn die Matrix $A$ den Übergang sagen wir von 2000 auf 2001 beschreibt, dann schaut die Matrix A so aus wie oben.
Wenn die Matrix $B$ den Übergang von 2001 auf 2002 beschreibt, dann hat ihre Form genau die selbe wie Matrix A, vlt. nur mit anderen Zahlen.
Um jetzt auszurechnen, wie die Population von 2000 nach 2002 auscchaut, kann man entweder den Populations-Vektor [mm] $\vec{p}$, [/mm] der die verschiedenen Alterklassen beinhaltet, sofort mit A multiplizieren, also [mm] $\vec{q}=A\vec{p}$ [/mm] rechnen, und dann den Popuationsvektor, der die Zahlen für das Jahr 2001 beinhaltet, mit der MAtrix B multiplizieren. Also [mm] $\vec{t}=B\vec{q}$ [/mm]
Wenn man jetzt aber nochmal die Definition von [mm] $\vec{q}=A\vec{p}$ [/mm] einsetzt, dann sieht man, dass für den Populationsvektor [mm] $\vec{t}$ [/mm] im Jahre 2002 folgendes gilt:
[mm] $\vec{t}=B\vec{q}=BA\vec{p}$ [/mm] .
Weil das ganze jetzt dem Assozitativgesetz folgt, kann man die Rechnung auch so auffassen, indem man erst $BA$ ausrechnet, und darauf den Vektor [mm] $\vec{p}$ [/mm] anwendet, wo wir beim Sinn und der Bedeutung von [mm] $A^2$ [/mm] wären:
Wenn die Übergangsmatrix von 2001 auf 2002 genau so ausschaut, wie die von 2000 nach 2001, ist also $B=A$ und damit [mm] $BA=A^2$.
[/mm]
Wenn wir uns jetzt zB die zweite Zeile ansehen, dann bekommt man dort, wo vorher Nullen waren, andere Zahlen.
Das schaut dann so aus:
[mm] $\left[ \begin{array}{cccc} {f_{{1}}}^{2}+f_{{2}}s_{{1}}&f_{{1}}f_{{2
}}+f_{{3}}s_{{2}}&f_{{1}}f_{{3}}+f_{{4}}s_{{3}}&f_{{1}}f_{{4}}
\\\noalign{\medskip}s_{{1}}f_{{1}}&f_{{2}}s_{{1}}&s_{{1}}f_{{3}}&s_{{1
}}f_{{4}}\\\noalign{\medskip}s_{{2}}s_{{1}}&0&0&0\\\noalign{\medskip}0
&s_{{3}}s_{{2}}&0&0\end{array} \right]$
[/mm]
Jetzt überlegen wir uns, warum zB in der zweiten Zeile keine Nuller mehr stehen:
Jedes Jahr ist es nur möglich, von einer Klasse in die darübergehende Klasse überzugehen. Wenn man aber zwei Jahre gleichzeitig betrachtet, was die Matrix auch tut, kann man mit Hilfe von [mm] $A^2$ [/mm] direkt von der einen Klasse in die übernächst Klasse springen.
Jetzt bleibt nur noch die Frage offen, warum in [mm] $A^2$ [/mm] die Geburtenraten vorkommen, und warum zB die zweite Alterklasse von der Anzahl der Leute, die in der dritten und vierten Klasse leben, abhängt:
Jede Altersklasse erzeugt neue Kinder. Bspw. werden 100 Kinder im Jahr 2000 von der Alterklasse zwischen 30 und 40 Jahren geboren. Diese erhöhen also die erste "Zahl" im Anzahl-Vektor um 100. D.h. diese Erhöhung macht sich im Jahr 2002 bemerkbar, weil man ja immer nur von "Anteilen" ausgeht, die von einer Altersklasse in die nächst höhere Altersklasse wechseln. Ist also die Anzahl in der ersten Altersklasse von 2000 nach 2001 um 100 gestiegen, wird sich die Anzahl der Leute in der zweiten Altersklasse von 2001 nach 2002 ebenfalls erhöhen, d.h. dort spielen die "neuen" Kinder von 2000 nach 2001 mit rein, und genau das wird in der zweiten Zeile deiner Matrix von [mm] $A^2$ [/mm] ausgedrückt.
Wenn man sich jetzt zB [mm] $A^3$ [/mm] anschaut, sind alle Nuller in der dritten Zeile weggegangen, und man hat dort noch Einträge. Das kann man dann mit dem selben Argument von oben erklären.
Ich hoffe, das Geschrieben hilft dir, um den Sinn hinter den "nicht Nullern" besser zu verstehene.
lG
Kroni
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