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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Levi Civita Symbol
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Levi Civita Symbol: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:52 Mi 24.10.2012
Autor: helicopter

Aufgabe
z.Z : [mm] \epsilon_{ijk}\epsilon_{imn} [/mm] = [mm] \delta_{jm}\delta_{kn}-\delta_{jn}\delta_{km} [/mm]

Hallo,

die Lösung ist mir (fast) klar, ich habe die Epsilon Tensoren in eine Matrix geschrieben und die Determinante berechnet, da kommt genau das raus was auch sollte.

Wenn ich aber die indizes von einem epsilon tensor zyklisch vertausche, also z.B. [mm] \epsilon_{jki}\epsilon_{imn} [/mm] und von der entsprechenden Matrix die Determinante ausrechne, kommt [mm] \delta_{jn}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kn} [/mm] raus, also mit falschen Vorzeichen. Warum ist das so?

Gruß

        
Bezug
Levi Civita Symbol: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:32 Mi 24.10.2012
Autor: Marcel

Hallo,

Edit: Das war Quatsch!

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Levi Civita Symbol: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:18 Do 25.10.2012
Autor: rainerS

Hallo

> z.Z : [mm]\epsilon_{ijk}\epsilon_{imn}[/mm] =
> [mm]\delta_{jm}\delta_{kn}-\delta_{jn}\delta_{km}[/mm]
>  Hallo,
>  
> die Lösung ist mir (fast) klar, ich habe die Epsilon
> Tensoren in eine Matrix geschrieben und die Determinante
> berechnet, da kommt genau das raus was auch sollte.
>  
> Wenn ich aber die indizes von einem epsilon tensor zyklisch
> vertausche, also z.B. [mm]\epsilon_{jki}\epsilon_{imn}[/mm] und von
> der entsprechenden Matrix die Determinante ausrechne, kommt
> [mm]\delta_{jn}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kn}[/mm] raus, also
> mit falschen Vorzeichen. Warum ist das so?

Vielleicht schreibst du mal auf, was du gerechnet hast.

Ich bekomme

[mm]\epsilon_{jki}\epsilon_{imn} =\left|\begin{matrix} 0 &\delta_{jm} & \delta_{jn} \\ 0 &\delta_{km} & \delta_{kn} \\ 1 &\delta_{im} & \delta_{in} \end{matrix}\right| = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{km}\delta_{jn} [/mm] .

  Viele Grüße
    Rainer

Bezug
                
Bezug
Levi Civita Symbol: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:57 Do 25.10.2012
Autor: helicopter

Habe den Zettel jetzt nicht hier, aber die 1. Spalte war definitiv anders, hatte glaub ich:

[mm] \epsilon_{jki}\epsilon_{imn} =\left|\begin{matrix} \delta_{ji} &\delta_{jm} & \delta_{jn} \\ \delta_{ki} &\delta_{km} & \delta_{kn} \\ \delta_{ii} &\delta_{im} & \delta_{in} \end{matrix}\right| [/mm]

Mir ist auch nicht klar was genau ich da mache, hab die Matrix Darstellung von Wikipedia.

Zu welchem Teilgebiet der Mathematik gehört das ganze, würde gerne in einem Buch nachschauen woher das kommt.
Die Mathematikbücher für Physiker sind da leider keine große Hilfe.

Bezug
                        
Bezug
Levi Civita Symbol: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:05 Do 25.10.2012
Autor: rainerS

Hallo!

> Habe den Zettel jetzt nicht hier, aber die 1. Spalte war
> definitiv anders, hatte glaub ich:
>  
> [mm]\epsilon_{jki}\epsilon_{imn} =\left|\begin{matrix} \delta_{ji} &\delta_{jm} & \delta_{jn} \\ \delta_{ki} &\delta_{km} & \delta_{kn} \\ \delta_{ii} &\delta_{im} & \delta_{in} \end{matrix}\right|[/mm]

Nicht ganz, du musst wegen der Summenkonvention über über i summieren, also

  [mm]\epsilon_{jki}\epsilon_{imn} =\summe_{i=1}^3 \left|\begin{matrix} \delta_{ji} &\delta_{jm} & \delta_{jn} \\ \delta_{ki} &\delta_{km} & \delta_{kn} \\ \delta_{ii} &\delta_{im} & \delta_{in} \end{matrix}\right| [/mm] .

Wenn nun $j=i$ oder $k=i$ ist, ist die Determinante 0, da dann 1. und 3. bzw. 2. und 3. Zeile identisch sind. Es bleibt also nur der eine Summand übrig, für den i,j,k alle verschieden sind, und das ist die genannte Determinante.

> Zu welchem Teilgebiet der Mathematik gehört das ganze,

Tensorrechnung.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                                
Bezug
Levi Civita Symbol: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:21 Do 25.10.2012
Autor: helicopter


>  Nicht ganz, du musst wegen der Summenkonvention über über i
> summieren

Das war mir nicht klar, ich glaub es leuchtet ein,
vielen Dank.

Ich schau es mir Morgen noch mal in Ruhe an.

Gruß

Bezug
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