Levy's Borell Cantelli < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es seien [mm] (X_{n})_{n \in \IN \ 0} [/mm] unabhaengige, auf dem Einheitsintervall [0, 1] gleichverteilte Zufallsvariablen. Zeigen Sie: Mit Wahrscheinlichkeit 1 gilt [mm] n^2\*X_{n+1} < \summe_{k=1}^{n} X_k [/mm] fuer unendlich viele [mm] n \in N [/mm]. |
Ich versuche es mit Levy's Borell Cantelli, der ja besagt, dass folgendes äquivalent ist:
1) [mm] \summe_{n \in \IN} 1_{A_n} = \infty [/mm]
2) [mm] \summe_{n \in \IN} \mathbb{P}(A_n | F_{n-1})= \infty [/mm]
Bei der Ausührung hakt es allerdings am Ende, da ich dort foglenden Term stehen habe, und der ja nun möglichst unendlich sein sollte:
[mm] \summe_{n \in \IN} \summe_{k=1}^{n-1}\bruch {X_k}{(n-1)^2}[/mm]
Wobei letztere Summe mein Ergebnis für die einzelnen bedingten Wkt ist.
Ich wäre Euch sehr dankbar für Hilfestellungen hierzu!
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Sa 21.10.2006 | | Autor: | DirkG |
Sei [mm] $A_n [/mm] := [mm] \left[ n^2X_{n+1} < \sum_{k=1}^n ~ X_k \right]$. [/mm] Dann kann man abschätzen
[mm] $$P(A_n) \geq P\left(n^2X_{n+1} < \frac{n}{2} \leq \sum_{k=1}^n ~ X_k \right) [/mm] = [mm] P\left(n^2X_{n+1} < \frac{n}{2}\right)\cdot P\left( \frac{n}{2} \leq \sum_{k=1}^n ~ X_k \right) [/mm] = [mm] \frac{1}{2n} \cdot \frac{1}{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{4n}$$
[/mm]
Keine Ahnung, was jetzt [mm] $F_{n-1}$ [/mm] ist (irgendeine Filtration, also [mm] $F_{n-1}=\sigma(X_1,\ldots,X_{n-1})$ [/mm] o.ä.?), "Levy's Borel Cantelli" ist wohl so eine Art "Borel Cantelli" für abhängige Ereignisse - kenne ich halt nicht. Aber vielleicht kannst du obige Abschätzung entsprechend auch für dein [mm] $P(A_n \bigm| F_{n-1})$ [/mm] gebrauchen...
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