Lie Algebra allgemeine Frage < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Fr 23.09.2005 | | Autor: | MAOAM |
Hallo Board,
der Hilbert-Raum [mm] \cal{H} [/mm] zusammen mit dem Kommutator [a,b]:=ab-ba bildet eine Lie Algebra.
Welche Gesetzmässigkeiten muss ich beachten, wozu braucht man diesen Ansatz?
Eine Antwort, vor allem im Zusammenhang mit der Quantenmechanik, wäre nett.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:47 Sa 24.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Zunächst einmal zur Definition:
Eine [mm] $\IK$-Lie-Algebra [/mm] ist ein [mm] $\IK$-Vektorraum [/mm] $L$ zusammen mit einer bilinearen Abbildung $[ [mm] \cdot [/mm] , [mm] \cdot] [/mm] : L [mm] \times [/mm] L [mm] \to [/mm] L$ mit
(1) $[X,Y] = - [Y,X]$ für alle [mm] $X,\, [/mm] Y [mm] \in [/mm] L$
(2) $[X,[Y,Z]] =  X,Y],Z] + [Y,[X,Z$ für alle [mm] $X,\, Y,\, [/mm] Z [mm] \in [/mm] L$ (Jacobi-Identität).
Einfaches Beispiel:
[mm] $M(n,\IK)$ [/mm] ist mit dem Kommutator $[X,Y] = XY-YX$ eine Lie-Algebra.
Wozu braucht man Lie-Algebren?
Nun, in der Mathematik ist man am Studium linearer Gruppen interessiert. Das Prinzip der Lie-Theorie besteht darin, den Gruppen gewisse Vektorräume (die Lie-Algebren) zuzuordnen und die geometrisch-analytischen Probleme der Gruppentheorie auf Probleme der linearen Algebra zu transformieren. Als Transformator dient dabei eine Exponentialfunktion, und die Beziehung wird durch die sogenannte Campell-Hausdorff-Formel gegeben. Die Rücktransfomation zurück in die Gruppentheorie ist weit schwieriger und benötigt Methoden der Algebraischen Topologie.
In der Physik interessant ist etwa die zur Lorentzgruppe $O(3,1)$ (die zugehörigen Gramsche Matrizen der Sesquilinearformen bestehen aus drei positiven und einem negativen Eigenwert) gehörige Lie-Algebra $o(3,1)$, die aus den elektromagnetischen Feldstärketensoren besteht.
Vielleicht kann ja ein Physiker das Ganze noch mehr in die von dir gewünschte Richtung schieben.  Aber es würde sich auch empfehlen eine solche Frage eher ins Physik-Forum (siehe www.vorhilfe.de) zu stellen. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:53 Sa 24.09.2005 | | Autor: | MAOAM |
Hallo Stefan,
vielen Dank für Deine ausführliche Antwort. Sehr interessant finde ich den Zusammenhang mit der Lorentzgruppe...da werde ich mich weiter informieren,
Gruss, Sergej.
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