Liegt Punkt in der Ebene? < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 So 20.09.2009 | | Autor: | Peanut. |
| Aufgabe | Gegeben ist die Ebene [mm] E:\vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm] + r * [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 5} [/mm] + s * [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
Überprüfen Sie, ob
a) der Punkt A (7|5|-3), b) der Punkt B (7|1|8) in der Ebene E liegt. |
Hallo ihr lieben,
habe meine letzte Mathearbeit tierisch versaut leider und soll jetzt den anderen ein neues Thema, nämlich "Wie findet man aus 3 Punkte eine Ebene?" beibringen als sozusagen Wiedergutmachung. ^^
Nun habe ich es ja schon rausbekommen, dass man aus 3 Punkten eine Parametergleichung aufstellen kann und jetzt stehe ich vor meiner nächsten Horrorvorstellung, nämlich Gleichungssystemen.
Ich wär euch sehr verbunden, wenn ihr mir vielleicht an meiner gestellten Aufgabe mal zeigen könnt, wie man das genau ausrechnet und wie man letzten Endes die Lösung verwertet?
Vielen vielen Dank im Voraus!
Anika
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben ist die Ebene
[mm]E:\vec{x}=\vektor{2 \\ 0 \\ 1}+ r *\vektor{1 \\ 3 \\ 5}+ s *\vektor{2 \\ -1 \\ 1}[/mm]
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> Überprüfen Sie, ob
> a) der Punkt A (7|5|-3),
> b) der Punkt B (7|1|8)
> in der Ebene E liegt.
> Hallo ihr lieben,
>
> habe meine letzte Mathearbeit tierisch versaut leider und
> soll jetzt den anderen ein neues Thema, nämlich "Wie
> findet man aus 3 Punkte eine Ebene?" beibringen als
> sozusagen Wiedergutmachung. ^^
> Nun habe ich es ja schon rausbekommen, dass man aus 3
> Punkten eine Parametergleichung aufstellen kann und jetzt
> stehe ich vor meiner nächsten Horrorvorstellung, nämlich
> Gleichungssystemen.
> Ich wär euch sehr verbunden, wenn ihr mir vielleicht an
> meiner gestellten Aufgabe mal zeigen könnt, wie man das
> genau ausrechnet und wie man letzten Endes die Lösung
> verwertet?
>
> Vielen vielen Dank im Voraus!
> Anika
Hallo Anika,
die obige Parametergleichung zerlegst du zuerst in ihre
drei Komponentengleichungen:
$\ E:\ [mm] \begin{cases} (1)\quad x=2+r+2\,s \\(2)\quad y=3\,r-s\\(3)\quad z=1+5\,r+s \end{cases}$
[/mm]
Aus den drei Gleichungen musst du nun die Parameter
r und s eliminieren. Fangen wir mit dem Rausschmeißen
z.B. beim s an. In der ersten Gleichung stehen hinten [mm] +2\,s
[/mm]
und in der zweiten -s . Wenn wir also zur Gleichung (1) das
doppelte von (2) addieren, so verschwinden hier die s:
$\ [mm] (1)+2*(2):\quad x+2\,y\ [/mm] =\ [mm] (2+r+2\,s)+2*(3\,r-s)\ [/mm] =\ [mm] 2+r+2\,s+6\,r-2\,s\ [/mm] =\ [mm] 2+7\,r$
[/mm]
Damit haben wir eine Gleichung ohne s. Wir brauchen
noch eine zweite von dieser Sorte. Dazu kannst du zum
Beispiel die Gleichungen (1) und (3) verwenden, indem
du (1)-2*(3) berechnest, also [mm] x-2\,z=\,....... [/mm] oder aber
(2)+(3), d.h. $\ [mm] y+z=\,.......$
[/mm]
Damit hast du zwei Gleichungen ohne s, in denen das r
aber noch vorkommt. Dann überlegst du dir, wie du aus
diesen beiden Gleichungen eine weitere machen kannst,
in der auch das r nicht mehr auftritt.
Das ist dann eine Gleichung in x,y,z ohne die Hilfspara-
meter r und s. Anders gesagt: eine parameterfreie Koor-
dinatengleichung der Ebene E mit folgender Eigenschaft:
Ein Punkt P(x/y/z) liegt dann und nur dann in der Ebene E,
falls seine Koordinaten x,y,z diese Gleichung erfüllen.
Natürlich gibt es eine Ausnahme: Falls die drei Punkte,
von denen man ausgeht, gar keine Ebene aufspannen,
sondern auf einer gemeinsamen Geraden liegen, kommt
am Ende natürlich auch keine Ebenengleichung heraus.
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:51 So 20.09.2009 | | Autor: | Peanut. |
Vielen Dank!!
Hat mir weitergeholfen!
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