Liegt Vektor in Bildmenge? < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 So 12.12.2010 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Es seien [mm] [latex]\vec{A} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & 1 & 3 & -2\\ 3 & 7 & 6 & -5 \end{pmatrix}[/latex] [/mm] und [mm] [latex]\vec{b} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} [/mm] [/latex]. Es soll nun die lin. Abbildung [mm] [latex]\vec{x} \mapsto A\vec{x}[/latex] [/mm] mit untersucht werden.
Frage: Untersuchen Sie, ob der Vektor [mm] $\vec{b}$ [/mm] in der Bildmenge liegt. |
Meine Rechnung:
[mm] $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & -2 & -6 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ [/mm] $ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \Leftrightarrow$
[/mm]
[mm] $x_1+3x_2+4x_3-3x_4=1$
[/mm]
[mm] $-2x_2-6x_3+4x_4=4$
[/mm]
$0=1 [mm] \Rightarrow \text{Widerspruch!!!} \Rightarrow \vec{b} \text{ ist nicht in Bildmenge!}$
[/mm]
Könnt ihr mir draufhelfen, ob ich da soweit richtig gerechnet habe?
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Hallo bandchef,
> Es seien [mm][latex]\vec{A}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & 1 & 3 & -2\\ 3 & 7 & 6 & -5 \end{pmatrix}[/latex][/mm]
> und [mm][latex]\vec{b}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix}[/mm]
> [/latex]. Es soll nun die lin. Abbildung [mm][latex]\vec{x} \mapsto A\vec{x}[/latex][/mm]
> mit untersucht werden.
>
> Frage: Untersuchen Sie, ob der Vektor [mm]\vec{b}[/mm] in der
> Bildmenge liegt.
> Meine Rechnung:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & -2 & -6 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \Leftrightarrow[/mm]
Bei der letzten Zeile steht nach der Elimination:
[mm]\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & -2 & -6 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm]
Wird die 3. Zeile durch 2 dividiert, so steht Dein Ergebnis da.
>
> [mm]x_1+3x_2+4x_3-3x_4=1[/mm]
> [mm]-2x_2-6x_3+4x_4=4[/mm]
> [mm]0=1 \Rightarrow \text{Widerspruch!!!} \Rightarrow \vec{b} \text{ ist nicht in Bildmenge!}[/mm]
>
>
> Könnt ihr mir draufhelfen, ob ich da soweit richtig
> gerechnet habe?
Alles richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 So 12.12.2010 | | Autor: | bandchef |
Wie kommst du auf:
$ [mm] \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & -2 & -6 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] $
Im vorletzten Schritt hab ich dastehen:
$ [mm] \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & -2 & -6 & 4\\ 0 & 1 & 3 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] $
Wenn ich da nun die "neue" 3. Zeile mit [mm] $III=III-\frac{1}{2}II$ [/mm] berechne, dann komm ich auf $ [mm] \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & -2 & -6 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} [/mm] $ $ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \Leftrightarrow [/mm] $
Ich weiß nicht recht wo ich da falsch gerechnet haben soll... Kannst du es mir sagen?
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Hallo bandchef,
> Wie kommst du auf:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & -2 & -6 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Im vorletzten Schritt hab ich dastehen:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & -2 & -6 & 4\\ 0 & 1 & 3 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
Ok, soweit bin ich mit Dir einig.
>
> Wenn ich da nun die "neue" 3. Zeile mit
> [mm]III=III-\frac{1}{2}II[/mm] berechne, dann komm ich auf
Damit eliminierst Du nicht die "1" in der 3. Zeile.
Die Operation muss so lauten: [mm]III=III+\frac{1}{2}II[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & -2 & -6 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \Leftrightarrow[/mm]
Damit stimmt Dein Ergebnis.
Mein Ergebnis stimmt aber auch,
ich hab nur anders gerechnet: [mm]III=2*III+II[/mm]
>
> Ich weiß nicht recht wo ich da falsch gerechnet haben
> soll... Kannst du es mir sagen?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 So 12.12.2010 | | Autor: | bandchef |
Du hast Recht, die Operation muss so lauten: $ [mm] III=III+\frac{1}{2}II [/mm] $. Das Minus in meiner ersten Antwort ist nur dummerweise reingekommen. Auf meiner Rechnung auf meinem Blatt steht da schon auch ein +. Wie aber kann es sein, dass ich mit der Operation $ [mm] III=III+\frac{1}{2}II [/mm] $ auf 1 in der Ergebnisspalte komme und du mit deiner Operation $III=2*III+II $ auf eine 2 in der Ergebnisspalte kommst? Das Zeil ist doch immer das Gleiche nämlich Spalten zu eliminieren. Wie man das mit welcher Operation macht ist doch eigentlich egal, oder? Genauso wenig kann es doch dann jetzt sein, dass es bei ein und der selben Aufgabe zwei unterschiedliche Ergebnisse (auch wenn das Ergebnis ein Widerspruch ist!) rauskommen...
Kannst du mir sagen wieso?
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Hallo bandchef,
> Du hast Recht, die Operation muss so lauten:
> [mm]III=III+\frac{1}{2}II [/mm]. Das Minus in meiner ersten Antwort
> ist nur dummerweise reingekommen. Auf meiner Rechnung auf
> meinem Blatt steht da schon auch ein +. Wie aber kann es
> sein, dass ich mit der Operation [mm]III=III+\frac{1}{2}II[/mm] auf
> 1 in der Ergebnisspalte komme und du mit deiner Operation
> [mm]III=2*III+II[/mm] auf eine 2 in der Ergebnisspalte kommst? Das
> Zeil ist doch immer das Gleiche nämlich Spalten zu
> eliminieren. Wie man das mit welcher Operation macht ist
> doch eigentlich egal, oder? Genauso wenig kann es doch dann
Sicher ist das egal.
> jetzt sein, dass es bei ein und der selben Aufgabe zwei
> unterschiedliche Ergebnisse (auch wenn das Ergebnis ein
> Widerspruch ist!) rauskommen...
>
> Kannst du mir sagen wieso?
Nun, meine Operation unterscheidet sich von Deiner in folgender Weise:
[mm]2*III+1*II=2*\left(III+\bruch {1}{2}*II\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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