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| Aufgabe | Es wird angenommen, dass die Lebensdauer eines bestimmten Bauteils durch eine stetig verteilte Zufallsvariable T mit der Dichte
[mm] f(n)=\begin{cases} \bruch{1}{2}\lambda^3t^2e^{-\lambda t}, & \mbox{für } t>0 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm]
mit unbekanntem Parameter [mm] \lambda>0 [/mm] beschrieben werden kann.
Geben Sie die Likelihoodfunktion L an und schätzen Sie den unbekannten Parameter [mm] \lambda [/mm] mittels der Maximum-Likelihood-Methode aus den folgenden 8 Beobachtungen.
10.3, 8.4, 10.5, 12.1, 7.3, 10.4, 11.3, 9.7
Hinweis: Bezeichnen [mm] t_1,...,t_8 [/mm] obige Beobachtungen, so ist [mm] \summe_{i=1}^{8} t_i=80 [/mm] |
Hallo!
Ich habe die Aufgabe bearbeitet und fände es toll, wenn jemand mal drüber schauen kann, weil ich mit Likelihood noch nicht so sicher bin!
Die Likelihoodfunktion ist definiert als
[mm] L(x_1,...,x_n; \lambda)= \produkt_{i=1}^{n} f_{\lambda}(x_k) [/mm]
Hier also:
[mm] L(x_1,...,x_8; \lambda)= \produkt_{i=1}^{8} ( \bruch{1}{2}\lambda^3x_i^2e^{-\lambda x_i} )
= \bruch{1}{2^8} \lambda^{24} e^{-80 \lambda} 10.3^2 * ... * 9.7^2
= \bruch{1}{2^8} \lambda^{24} e^{-80 \lambda} 816.54 [/mm]
Zum Maximieren logarithmiere ich diese Funktion, leite sie nach [mm] \lambda [/mm] ab und setze sie dann = 0:
[mm] log(L(x_1,...,x_n; \lambda))= log(3.798 \lambda^{24} e^{-80 \lambda} )
= log(3.798)+ log( \lambda^{24})+log( e^{-80 \lambda} )
= log(3.798)+ 24 log( \lambda)-80 \lambda} [/mm]
Abgeleitet ist das [mm] = 0 + \bruch{24}{\lambda} - 80 [/mm]
So erhält man: [mm] \bruch{24}{\lambda} - 80 = 0 [/mm]
Das ist erfüllt, wenn [mm] \lambda=0.3
[/mm]
Stimmt das so?
Grüßle, Lily
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> Hier also:
> [mm]L(x_1,...,x_8; \lambda)= \produkt_{i=1}^{8} ( \bruch{1}{2}\lambda^3x_i^2e^{-\lambda x_i} )
= \bruch{1}{2^8} \lambda^{24} e^{-80 \lambda} 10.3^2 * ... * 9.7^2
= \bruch{1}{2^8} \lambda^{24} e^{-80 \lambda} 816.54[/mm]
Nicht 816.54, sondern 8.3674883e+15, aber das spielt in der weiteren Rechnung keine Rolle, der Rest stimmt.
> Zum Maximieren logarithmiere ich diese Funktion, leite sie
> nach [mm]\lambda[/mm] ab und setze sie dann = 0:
> [mm]log(L(x_1,...,x_n; \lambda))= log(3.798 \lambda^{24} e^{-80 \lambda} )
= log(3.798)+ log( \lambda^{24})+log( e^{-80 \lambda} )
= log(3.798)+ 24 log( \lambda)-80 \lambda}[/mm]
>
> Abgeleitet ist das [mm]= 0 + \bruch{24}{\lambda} - 80[/mm]
>
> So erhält man: [mm]\bruch{24}{\lambda} - 80 = 0[/mm]
> Das ist
> erfüllt, wenn [mm]\lambda=0.3[/mm]
>
> Stimmt das so?
Ja, genau so.
Gruss,
Hanspeter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:17 Sa 03.01.2015 | | Autor: | Mathe-Lily |
Hups, da habe ich ausversehen addiert statt multipliziert :-D
Vielen Dank!! 
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