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| Aufgabe | | Reicht es für die Aussage [mm] $\lim_{x\to\infty}f(x) [/mm] = a$ zu zeigen, dass die Aussage [mm] $\lim_{n\to\infty}f(x_n) [/mm] = a$ für alle monoton wachsenden Folgen [mm] $(x_n)$ [/mm] wahr ist? |
Hallo!
Ich frage mich gerade, ob die Aufgabe mit "ja" beantwortet werden kann.
Wenn man eine beliebige Folge [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] $x_n \to \infty$ [/mm] auswählt, gibt es ja monotone Teilfolgen davon....
Könnt ihr mir helfen  ?
Grüße,
Stefan
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Hallo Stefan,
das wichtige ist eben: auch so eine Teilfolge muss gegen unendlich streben, die Forderung nach Monotonie ist dafür zu schwach.
Gruß, Diophant
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Hallo Diophant,
danke für deine Antwort.
Ich meine ja auch alle monoton wachsenden Teilfolgen, die gegen unendlich streben.
D.h. ich möchte aus der Gültigkeit von [mm] $\lim_{n\to\infty}f(n) [/mm] = a, [mm] \lim_{n\to\infty}f(n^2) [/mm] = a$ usw. (alle anderen monoton wachsenden Folgen gegen unendlich) die Gültigkeit von [mm] \lim_{x\to\infty}f(x) [/mm] = a folgern.
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:52 Do 09.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Diophant,
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> danke für deine Antwort.
> Ich meine ja auch alle monoton wachsenden Teilfolgen, die
> gegen unendlich streben.
>
> D.h. ich möchte aus der Gültigkeit von
> [mm]\lim_{n\to\infty}f(n) = a, \lim_{n\to\infty}f(n^2) = a[/mm] usw.
> (alle anderen monoton wachsenden Folgen gegen unendlich)
> die Gültigkeit von [mm]\lim_{x\to\infty}f(x)[/mm] = a folgern.
>
> Grüße,
> Stefan
>
>
$ [mm] \lim_{x\to\infty}f(x) [/mm] $ = a bedeutet doch:
zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt es ein c>0 mit : $|f(x)-a|< [mm] \varepsilon$ [/mm] für jedes x>c.
Nun nimm mal an, die sei nicht so. Dann gibt es ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] mit folgender Eigenschaft:
zu jedem c>0 gibt es ein [mm] x_c>c [/mm] mit $|f(x)-a| [mm] \ge \varepsilon$
[/mm]
Zu c:=1 gibt es also ein [mm] x_1>1 [/mm] mit: [mm] $|f(x_1)-a| \ge \varepsilon$
[/mm]
Zu [mm] c:=x_1 [/mm] gibt es ein [mm] x_2>x_1 [/mm] mit: [mm] $|f(x_2)-a| \ge \varepsilon$
[/mm]
Zu [mm] c:=x_2 [/mm] gibt es ein [mm] x_3>x_2 [/mm] mit: [mm] $|f(x_3)-a| \ge \varepsilon$
[/mm]
etc....
So erhältst Du eine wachsende Folge [mm] (x_n) [/mm] mit: [mm] $|f(x_n)-a| \ge \varepsilon$ [/mm] für jedes n.
Hilft das ?
FRED
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Hallo Fred,
danke für deine Antwort!
Also reicht es mit den monotonen Folgen, das ist gut für meinen Beweis
Grüße,
Stefan
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