Limes-Berechnung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Berechnen Sie: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}{\sqrt{(a+x)(b+x)}-x} [/mm] |
Hallo liebes Forum,
Habe ein kleines Problem mit dieser Berechnung. Vielleicht könnt ihr mir ja die Augen öffnen.
begonnen habe ich mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}{\sqrt{(a+x)(b+x)}-x}=\limes_{n\rightarrow\infty}{\frac{ab+ax+bx}{\sqrt{(a+x)(b+x)}+x}}
[/mm]
weiters habe ich die regel von de l'hopital angewendet und es folgt:
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}{\frac{a+b}{\frac{a+b+2x}{2*\sqrt{(a+x)(b+x)}}+1}}
[/mm]
nochmalige anwendung von d.l.h.:
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}{\frac{a+b}{\frac{2*\sqrt{(a+x)(b+x)}}{(a+b+2x)}}}
[/mm]
3. mal d.l.h.: [mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}{\frac{a+b}{\frac{(a+b+2x)}{\sqrt{(a+x)(b+x)}}}}
[/mm]
4. mal:
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}{\frac{a+b}{\frac{4*\sqrt{(a+x)(b+x)}}{(a+b+2x)}}}
[/mm]
5. mal:
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}{\frac{a+b}{\frac{(a+b+2x)}{\sqrt{(a+x)(b+x)}}}}
[/mm]
usw... Anscheindend bringt mich der Satz von de l'Hopital doch nicht weiter. Auch wenn sich ein nettes Muster abzeichnet, von dem ich ausgehe dass es mir zeigt, dass der Grenzwert bei [mm] \frac{a+b}{2} [/mm] liegt. Jedoch bin ich im Moment nicht in der Lage dies zu zeigen, da sich immer wieder [mm] \frac{\infty}{\infty} [/mm] von neuem bildet.
Könnt ihr mir vielleicht einen Tipp geben, wie ich zu meinem Ziel komme?
Liebe Grüße, Scherzkrapferl
|
|
| |
|
Hallo scherzkrapferl,
> Berechnen Sie:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}{\sqrt{(a+x)(b+x)}-x}[/mm]
> Hallo liebes Forum,
>
> Habe ein kleines Problem mit dieser Berechnung. Vielleicht
> könnt ihr mir ja die Augen öffnen.
>
> begonnen habe ich mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}{\sqrt{(a+x)(b+x)}-x}=\limes_{n\rightarrow\infty}{\frac{ab+ax+bx+x^2}{\sqrt{(a+x)(b+x)}+x}}[/mm]
>
> weiters habe ich die regel von de l'hopital angewendet und
> es folgt:
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}{\frac{a+b}{\frac{a+b+2x}{2*\sqrt{(a+x)(b+x)}}+1}}[/mm]
>
> nochmalige anwendung von d.l.h.:
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}{\frac{a+b}{\frac{2*\sqrt{(a+x)(b+x)}}{(a+b+2x)}}}[/mm]
>
>
> 3. mal d.l.h.:
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}{\frac{a+b}{\frac{(a+b+2x)}{\sqrt{(a+x)(b+x)}}}}[/mm]
>
> 4. mal:
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}{\frac{a+b}{\frac{4*\sqrt{(a+x)(b+x)}}{(a+b+2x)}}}[/mm]
>
> 5. mal:
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}{\frac{a+b}{\frac{(a+b+2x)}{\sqrt{(a+x)(b+x)}}}}[/mm]
>
> usw... Anscheindend bringt mich der Satz von de l'Hopital
> doch nicht weiter. Auch wenn sich ein nettes Muster
> abzeichnet, von dem ich ausgehe dass es mir zeigt, dass der
> Grenzwert bei [mm]\frac{a+b}{2}[/mm] liegt. Jedoch bin ich im Moment
> nicht in der Lage dies zu zeigen, da sich immer wieder
> [mm]\frac{\infty}{\infty}[/mm] von neuem bildet.
>
> Könnt ihr mir vielleicht einen Tipp geben, wie ich zu
> meinem Ziel komme?
>
Erweitere mit [mm]\bruch{\wurzel{\left(a+x\right)\left(b+x\right)}+x}{\wurzel{\left(a+x\right)\left(b+x\right)+x}[/mm]
> Liebe Grüße, Scherzkrapferl
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo MathePower,
>
> Erweitere mit
> [mm]\bruch{\wurzel{\left(a+x\right)\left(b+x\right)}+x}{\wurzel{\left(a+x\right)\left(b+x\right)+x}[/mm]
>
Danke für die Antwort. Genau mit diesem Term habe ich Anfangs erweitert. Oder an von welchen Term sprichst du?
>
>
> Gruss
> MathePower
Liebe Grüße, Scherzkrapferl
|
|
|
| |
|
Hallo scherzkrapferl,
> Hallo MathePower,
>
> >
> > Erweitere mit
> >
> [mm]\bruch{\wurzel{\left(a+x\right)\left(b+x\right)}+x}{\wurzel{\left(a+x\right)\left(b+x\right)+x}[/mm]
> >
>
> Danke für die Antwort. Genau mit diesem Term habe ich
> Anfangs erweitert. Oder an von welchen Term sprichst du?
>
Erweitere [mm]\wurzel{\left(a+x\right)*\left(b+x\right)}-x[/mm] mit [mm]\bruch{\wurzel{\left(a+x\right)\left(b+x\right)}+x}{\wurzel{\left(a+x\right)\left(b+x\right)+x}[/mm]
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Liebe Grüße, Scherzkrapferl
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo MathePower,
>
>
> Erweitere [mm]\wurzel{\left(a+x\right)*\left(b+x\right)}-x[/mm] mit
> [mm]\bruch{\wurzel{\left(a+x\right)\left(b+x\right)}+x}{\wurzel{\left(a+x\right)\left(b+x\right)+x}[/mm]
>
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") danke. wie schon in der anderen frage erwähnt habe ich mich schon beim ersten term verrechnet. diese erweiterung habe ich jedoch schon durchgeführt :)
> Gruss
> MathePower
Liebe Grüße Scherzkrapferl
|
|
|
| |
|
Es soll wohl [mm]x \to \infty[/mm] heißen. Schon die erste Umformung stimmt nicht ganz. Den Limes sollte man auch erst einmal nicht hinschreiben, denn seine Existenz oder Nichtexistenz stellt sich ja erst noch heraus:
[mm]\sqrt{(x+a)(x+b)} - x = \frac{(a+b)x + ab}{\sqrt{(x+a)(x+b)} + x}[/mm]
Halten wir zunächst fest, daß der Ausdrück für alle genügend großen [mm]x[/mm] definiert ist, so daß die Frage nach dem Grenzwert für [mm]x \to \infty[/mm] sinnvoll ist. Jetzt schauen wir uns den Nenner an. Unter der Wurzel steht etwas Quadratisches, nach dem Wurzelziehen also etwas quasi vom Grad 1. Die Addition von [mm]x[/mm] ändert daran nichts. Damit wächst der Nenner für [mm]x \to \infty[/mm] wie ein Polynom vom Grad 1. Und dann der Zähler: Er ist für [mm]a+b=0[/mm] konstant und für [mm]a+b \neq 0[/mm] vom Grad 1. Kürzen des Bruches durch [mm]x[/mm] führt zum Ergebnis.
|
|
|
| |
|
> Es soll wohl [mm]x \to \infty[/mm] heißen. Schon die erste
> Umformung stimmt nicht ganz.
das ist mir tatsächlich ein fehler unterlaufen. allerdings hat sich der nicht durch die weiteren berechnungen geschlichen.
> Den Limes sollte man auch erst
> einmal nicht hinschreiben, denn seine Existenz oder
> Nichtexistenz stellt sich ja erst noch heraus:
>
> [mm]\sqrt{(x+a)(x+b)} - x = \frac{(a+b)x + ab}{\sqrt{(x+a)(x+b)} + x}[/mm]
>
> Halten wir zunächst fest, daß der Ausdrück für alle
> genügend großen [mm]x[/mm] definiert ist, so daß die Frage nach
> dem Grenzwert für [mm]x \to \infty[/mm] sinnvoll ist. Jetzt schauen
> wir uns den Nenner an. Unter der Wurzel steht etwas
> Quadratisches, nach dem Wurzelziehen also etwas quasi vom
> Grad 1. Die Addition von [mm]x[/mm] ändert daran nichts. Damit
> wächst der Nenner für [mm]x \to \infty[/mm] wie ein Polynom vom
> Grad 1. Und dann der Zähler: Er ist für [mm]a+b=0[/mm] konstant
> und für [mm]a+b \neq 0[/mm] vom Grad 1. Kürzen des Bruches durch [mm]x[/mm]
> führt zum Ergebnis.
habe ich dich richtig verstanden?
[mm] \frac{(a+b)x + ab}{\sqrt{(x+a)(x+b)} + x}=\frac{(a+b) + \frac{ab}{x}}{\frac{\sqrt{(x+a)(x+b)}}{x} + 1}
[/mm]
das führt mich doch wieder auf einen unbestimmten term [mm] \frac{\sqrt{(x+a)(x+b)}}{x} [/mm] im nenner ? deshalb habe ich ja an de l'hopital gedacht.
Liebe Grüße, Scherzkrapferl
|
|
|
| |
|
Hallo scherzkrapferl,
> > Es soll wohl [mm]x \to \infty[/mm] heißen. Schon die erste
> > Umformung stimmt nicht ganz.
>
> das ist mir tatsächlich ein fehler unterlaufen. allerdings
> hat sich der nicht durch die weiteren berechnungen
> geschlichen.
>
> > Den Limes sollte man auch erst
> > einmal nicht hinschreiben, denn seine Existenz oder
> > Nichtexistenz stellt sich ja erst noch heraus:
> >
> > [mm]\sqrt{(x+a)(x+b)} - x = \frac{(a+b)x + ab}{\sqrt{(x+a)(x+b)} + x}[/mm]
>
> >
> > Halten wir zunächst fest, daß der Ausdrück für alle
> > genügend großen [mm]x[/mm] definiert ist, so daß die Frage nach
> > dem Grenzwert für [mm]x \to \infty[/mm] sinnvoll ist. Jetzt schauen
> > wir uns den Nenner an. Unter der Wurzel steht etwas
> > Quadratisches, nach dem Wurzelziehen also etwas quasi vom
> > Grad 1. Die Addition von [mm]x[/mm] ändert daran nichts. Damit
> > wächst der Nenner für [mm]x \to \infty[/mm] wie ein Polynom vom
> > Grad 1. Und dann der Zähler: Er ist für [mm]a+b=0[/mm] konstant
> > und für [mm]a+b \neq 0[/mm] vom Grad 1. Kürzen des Bruches durch [mm]x[/mm]
> > führt zum Ergebnis.
>
> habe ich dich richtig verstanden?
>
> [mm]\frac{(a+b)x + ab}{\sqrt{(x+a)(x+b)} + x}=\frac{(a+b) + \frac{ab}{x}}{\frac{\sqrt{(x+a)(x+b)}}{x} + 1}[/mm]
Das sieht richtig aus!
Du kannst nun unter der Wurzel mal ausmutiplizieren und [mm] $x^2$ [/mm] ausklammern, das kannst du dann als $x$ rausziehen [mm] ($\sqrt{a\cdot{}b}=\sqrt{a}\cdot{}\sqrt{b}$)
[/mm]
Dann kürzt sich das weg und du kannst gefahrlos zum Grenzprozess übergehen.
Der Zähler geht ja offensichtlich für [mm] $x\to\infty$ [/mm] gegen $a+b+0=a+b$
Was passiert nach der o.e. Umformung im Nenner?
>
> das führt mich doch wieder auf einen unbestimmten term
> [mm]\frac{\sqrt{(x+a)(x+b)}}{x}[/mm] im nenner ? deshalb habe ich ja
> an de l'hopital gedacht.
Obige Umformung geht doch schnell!
>
> Liebe Grüße, Scherzkrapferl
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo schachuzipus,
> > [mm]\frac{(a+b)x + ab}{\sqrt{(x+a)(x+b)} + x}=\frac{(a+b) + \frac{ab}{x}}{\frac{\sqrt{(x+a)(x+b)}}{x} + 1}[/mm]
>
> Das sieht richtig aus!
>
> Du kannst nun unter der Wurzel mal ausmutiplizieren und [mm]x^2[/mm]
> ausklammern, das kannst du dann als [mm]x[/mm] rausziehen
> ([mm]\sqrt{a\cdot{}b}=\sqrt{a}\cdot{}\sqrt{b}[/mm])
>
> Dann kürzt sich das weg und du kannst gefahrlos zum
> Grenzprozess übergehen.
>
> Der Zähler geht ja offensichtlich für [mm]x\to\infty[/mm] gegen
> [mm]a+b+0=a+b[/mm]
>
> Was passiert nach der o.e. Umformung im Nenner?
Zunächst mal danke für die nette Antwort.
Also ich hab den term nach deiner Anleitung Umgeformt und bin überrascht, dass ich da nicht von selbst drauf gekommen bin ^^.
[mm] \frac{(a+b) + \frac{ab}{x}}{\frac{\sqrt{(x+a)(x+b)}}{x} + 1}=\frac{(a+b) + \frac{ab}{x}}{\sqrt{(1+\frac{b}{x}+\frac{a}{x}+\frac{ab}{x})} + 1}
[/mm]
was für [mm] x\to\infty [/mm] nun [mm] \frac{a+b}{2} [/mm] ergibt. also war meine vorahnung gut geschätzt ;).
Vielen Dank! Hast mir sehr geholfen.
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
Liebe Grüße, Scherzkrapferl
ps: bitte als mitteilungstext einstufen. habe mich versehentlich bei der auswahl geirrt.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus,
>
> > > [mm]\frac{(a+b)x + ab}{\sqrt{(x+a)(x+b)} + x}=\frac{(a+b) + \frac{ab}{x}}{\frac{\sqrt{(x+a)(x+b)}}{x} + 1}[/mm]
>
> >
> > Das sieht richtig aus!
> >
> > Du kannst nun unter der Wurzel mal ausmutiplizieren und [mm]x^2[/mm]
> > ausklammern, das kannst du dann als [mm]x[/mm] rausziehen
> > ([mm]\sqrt{a\cdot{}b}=\sqrt{a}\cdot{}\sqrt{b}[/mm])
> >
> > Dann kürzt sich das weg und du kannst gefahrlos zum
> > Grenzprozess übergehen.
> >
> > Der Zähler geht ja offensichtlich für [mm]x\to\infty[/mm] gegen
> > [mm]a+b+0=a+b[/mm]
> >
> > Was passiert nach der o.e. Umformung im Nenner?
>
> Zunächst mal danke für die nette Antwort.
> Also ich hab den term nach deiner Anleitung Umgeformt und
> bin überrascht, dass ich da nicht von selbst drauf
> gekommen bin ^^.
Einmal gesehen, nie mehr vergessen 
>
> [mm]\frac{(a+b) + \frac{ab}{x}}{\frac{\sqrt{(x+a)(x+b)}}{x} + 1}=\frac{(a+b) + \frac{ab}{x}}{\sqrt{(1+\frac{b}{x}+\frac{a}{x}+\frac{ab}{x})} + 1}[/mm]
>
> was für [mm]x\to\infty[/mm] nun [mm]\frac{a+b}{2}[/mm] ergibt. also war
> meine vorahnung gut geschätzt ;).
>
> Vielen Dank! Hast mir sehr geholfen.
> >
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
> >
>
> Liebe Grüße, Scherzkrapferl
Dito!
|
|
|
|
