Limes, Sup. und Inf. bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 So 02.09.2012 | | Autor: | Hellfrog |
| Aufgabe | a) Für welche $a [mm] \in \IR_{>0}$ [/mm] besitzt die Menge [mm] \{a^{n} | n \in \IN\} \subseteq \IR [/mm] ein Infimum, Supremum, Minimum bzw. Maximum? Bestimmen Sie diese im Falle der Existenz als Ausdruck in Abhängigkeit von a.
b) Berechnen Sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+(-1)^{n}}{n}.
[/mm]
c) Bestimmen Sie [mm] \underline{lim}_{n \to \infty} exp((-1)^{n} \wurzel{n}). [/mm] |
hallo
fände es gut, wenn jemand mal die aufgaben durchschauen könnte (formfehler bzw falls etwas genauer beschrieben werden soll) und mir dann noch bei a) und c) ein paar tipps geben könnte.
zu a):
sei [mm] M:=\{a^{n} | n \in \IN\}, [/mm] dann ist:
inf(M) = 0 (weil inf und sup ja nicht in der menge liegen müssen)
sup(M) = [mm] \infty [/mm] (also kein sup vorhanden)
min(M) und max(M) existieren nicht, weil inf(M) und sup(M) nicht in der menge liegen
bin mir mit der aufgabe sehr unsicher, da ich noch nicht soviel übung mit inf, sup, min und max habe. außerdem versteh ich den 2. teil der aufgabe nicht, weil die menge doch schon von a abhängt.
zu b):
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+(-1)^{n}}{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 1 + [mm] \bruch{(-1)^{n}}{n} [/mm] = 1$
kann man das so stehen lassen oder sollte ich noch dazu schreiben das [mm] $\bruch{(-1)^{n}}{n} \to [/mm] 0$ geht für [mm] $n\to\infty$?
[/mm]
zu c):
ich betrachte hier zuerst mal die teilfolgen:
n gerade: [mm] $a_{2n} [/mm] = [mm] exp(1*\wurzel{n})$
[/mm]
n ungerade: [mm] $a_{2n-1} [/mm] = exp((-1) * [mm] \wurzel{n})$
[/mm]
[mm] \Rightarrow $\limes_{n\rightarrow\infty} a_{2n} [/mm] = [mm] \infty [/mm] $ und [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} a_{2n-1} [/mm] = 0$
kann ich danach jetzt direkt behaupt das [mm] $\underline{lim}_{n \to \infty} exp((-1)^{n} \wurzel{n}) [/mm] = 0 $ ist?
danke schonmal im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 So 02.09.2012 | | Autor: | abakus |
> a) Für welche [mm]a \in \IR_{>0}[/mm] besitzt die Menge [mm]\{a^{n} | n \in \IN\} \subseteq \IR[/mm]
> ein Infimum, Supremum, Minimum bzw. Maximum? Bestimmen Sie
> diese im Falle der Existenz als Ausdruck in Abhängigkeit
> von a.
>
> b) Berechnen Sie [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+(-1)^{n}}{n}.[/mm]
>
> c) Bestimmen Sie [mm]\underline{lim}_{n \to \infty} exp((-1)^{n} \wurzel{n}).[/mm]
>
> hallo
>
> fände es gut, wenn jemand mal die aufgaben durchschauen
> könnte (formfehler bzw falls etwas genauer beschrieben
> werden soll) und mir dann noch bei a) und c) ein paar tipps
> geben könnte.
>
>
> zu a):
> sei [mm]M:=\{a^{n} | n \in \IN\},[/mm] dann ist:
>
> inf(M) = 0 (weil inf und sup ja nicht in der menge liegen
> müssen)
> sup(M) = [mm]\infty[/mm] (also kein sup vorhanden)
> min(M) und max(M) existieren nicht, weil inf(M) und sup(M)
> nicht in der menge liegen
>
> bin mir mit der aufgabe sehr unsicher, da ich noch nicht
> soviel übung mit inf, sup, min und max habe. außerdem
> versteh ich den 2. teil der aufgabe nicht, weil die menge
> doch schon von a abhängt.
Eben!
Untersuche doch mal (beispielsweise) die Folgen
[mm](2^n)[/mm], [mm](1^n)[/mm], [mm](0,5^n)[/mm], [mm]((-0,1)^n)[/mm] und einige weitere (meine Beispiele möglicher Fälle erfassen immer noch nicht alle Möglichkeiten).
Für fast jeden dieser Fälle [mm](a^n)[/mm] sieht die Geschichte mit min, max, inf, sup nämlich anders aus.
Gruß Abakus
>
>
> zu b):
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+(-1)^{n}}{n} = \limes_{n\rightarrow\infty} 1 + \bruch{(-1)^{n}}{n} = 1[/mm]
>
> kann man das so stehen lassen oder sollte ich noch dazu
> schreiben das [mm]\bruch{(-1)^{n}}{n} \to 0[/mm] geht für
> [mm]n\to\infty[/mm]?
>
>
> zu c):
> ich betrachte hier zuerst mal die teilfolgen:
>
> n gerade: [mm]a_{2n} = exp(1*\wurzel{n})[/mm]
> n ungerade: [mm]a_{2n-1} = exp((-1) * \wurzel{n})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{2n} = \infty[/mm]
> und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{2n-1} = 0[/mm]
>
> kann ich danach jetzt direkt behaupt das [mm]\underline{lim}_{n \to \infty} exp((-1)^{n} \wurzel{n}) = 0[/mm]
> ist?
>
>
> danke schonmal im voraus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 So 02.09.2012 | | Autor: | Hellfrog |
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> > a) Für welche [mm]a \in \IR_{>0}[/mm] besitzt die Menge [mm]\{a^{n} | n \in \IN\} \subseteq \IR[/mm]
> > ein Infimum, Supremum, Minimum bzw. Maximum? Bestimmen Sie
> > diese im Falle der Existenz als Ausdruck in Abhängigkeit
> > von a.
> >
> > b) Berechnen Sie [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+(-1)^{n}}{n}.[/mm]
>
> >
> > c) Bestimmen Sie [mm]\underline{lim}_{n \to \infty} exp((-1)^{n} \wurzel{n}).[/mm]
>
> >
> > hallo
> >
> > fände es gut, wenn jemand mal die aufgaben durchschauen
> > könnte (formfehler bzw falls etwas genauer beschrieben
> > werden soll) und mir dann noch bei a) und c) ein paar tipps
> > geben könnte.
> >
> >
> > zu a):
> > sei [mm]M:=\{a^{n} | n \in \IN\},[/mm] dann ist:
> >
> > inf(M) = 0 (weil inf und sup ja nicht in der menge liegen
> > müssen)
> > sup(M) = [mm]\infty[/mm] (also kein sup vorhanden)
> > min(M) und max(M) existieren nicht, weil inf(M) und
> sup(M)
> > nicht in der menge liegen
> >
> > bin mir mit der aufgabe sehr unsicher, da ich noch nicht
> > soviel übung mit inf, sup, min und max habe. außerdem
> > versteh ich den 2. teil der aufgabe nicht, weil die menge
> > doch schon von a abhängt.
> Eben!
> Untersuche doch mal (beispielsweise) die Folgen
> [mm](2^n)[/mm], [mm](1^n)[/mm], [mm](0,5^n)[/mm], [mm]((-0,1)^n)[/mm] und einige weitere
> (meine Beispiele möglicher Fälle erfassen immer noch
> nicht alle Möglichkeiten).
> Für fast jeden dieser Fälle [mm](a^n)[/mm] sieht die Geschichte
> mit min, max, inf, sup nämlich anders aus.
> Gruß Abakus
für [mm] 2^n [/mm] wäre das $ inf=min=2 $, aber das maximum würde doch immernoch nicht existieren, oder? (supremum ist unendlich und existiert damit nicht)
bei [mm] 1^n [/mm] dann $ inf=sup=max=min=1 $
also wäre für [mm] (0,5^n) [/mm] $inf=min=0$ und $sup=max=0,5$, weil 0,5 die kleinste untere schranke ist und da es noch in der menge liegt auch gleichzeitig das maximum
dh in meiner aufgabe müsst ich dann noch eine fallunterscheidung machen, ob $a < 1, a = 1$ und $a > 1$ ist.
>
> >
> >
> > zu b):
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+(-1)^{n}}{n} = \limes_{n\rightarrow\infty} 1 + \bruch{(-1)^{n}}{n} = 1[/mm]
>
> >
> > kann man das so stehen lassen oder sollte ich noch dazu
> > schreiben das [mm]\bruch{(-1)^{n}}{n} \to 0[/mm] geht für
> > [mm]n\to\infty[/mm]?
> >
> >
> > zu c):
> > ich betrachte hier zuerst mal die teilfolgen:
> >
> > n gerade: [mm]a_{2n} = exp(1*\wurzel{n})[/mm]
> > n ungerade:
> [mm]a_{2n-1} = exp((-1) * \wurzel{n})[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{2n} = \infty[/mm]
> > und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{2n-1} = 0[/mm]
> >
> > kann ich danach jetzt direkt behaupt das [mm]\underline{lim}_{n \to \infty} exp((-1)^{n} \wurzel{n}) = 0[/mm]
> > ist?
> >
> >
> > danke schonmal im voraus
>
waren teil b) und c) denn soweit ok?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 So 02.09.2012 | | Autor: | abakus |
> >
> > > a) Für welche [mm]a \in \IR_{>0}[/mm] besitzt die Menge [mm]\{a^{n} | n \in \IN\} \subseteq \IR[/mm]
> > > ein Infimum, Supremum, Minimum bzw. Maximum? Bestimmen Sie
> > > diese im Falle der Existenz als Ausdruck in Abhängigkeit
> > > von a.
> > >
> > > b) Berechnen Sie [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+(-1)^{n}}{n}.[/mm]
>
> >
> > >
> > > c) Bestimmen Sie [mm]\underline{lim}_{n \to \infty} exp((-1)^{n} \wurzel{n}).[/mm]
>
> >
> > >
> > > hallo
> > >
> > > fände es gut, wenn jemand mal die aufgaben durchschauen
> > > könnte (formfehler bzw falls etwas genauer beschrieben
> > > werden soll) und mir dann noch bei a) und c) ein paar tipps
> > > geben könnte.
> > >
> > >
> > > zu a):
> > > sei [mm]M:=\{a^{n} | n \in \IN\},[/mm] dann ist:
> > >
> > > inf(M) = 0 (weil inf und sup ja nicht in der menge liegen
> > > müssen)
> > > sup(M) = [mm]\infty[/mm] (also kein sup vorhanden)
> > > min(M) und max(M) existieren nicht, weil inf(M) und
> > sup(M)
> > > nicht in der menge liegen
> > >
> > > bin mir mit der aufgabe sehr unsicher, da ich noch nicht
> > > soviel übung mit inf, sup, min und max habe. außerdem
> > > versteh ich den 2. teil der aufgabe nicht, weil die menge
> > > doch schon von a abhängt.
> > Eben!
> > Untersuche doch mal (beispielsweise) die Folgen
> > [mm](2^n)[/mm], [mm](1^n)[/mm], [mm](0,5^n)[/mm], [mm]((-0,1)^n)[/mm] und einige weitere
> > (meine Beispiele möglicher Fälle erfassen immer noch
> > nicht alle Möglichkeiten).
> > Für fast jeden dieser Fälle [mm](a^n)[/mm] sieht die
> Geschichte
> > mit min, max, inf, sup nämlich anders aus.
> > Gruß Abakus
>
> für [mm]2^n[/mm] wäre das [mm]inf=min=2 [/mm], aber das maximum würde doch
> immernoch nicht existieren, oder? (supremum ist unendlich
> und existiert damit nicht)
> bei [mm]1^n[/mm] dann [mm]inf=sup=max=min=1[/mm]
> also wäre für [mm](0,5^n)[/mm] [mm]inf=min=0[/mm] und [mm]sup=max=0,5[/mm], weil
Falsch. Der Wert 0 wird von keinem Glied der Folge angenommen. Deshalb ist 0 kein Minimum, sondern nur Supremum.
> 0,5 die kleinste untere schranke ist und da es noch in der
> menge liegt auch gleichzeitig das maximum
>
> dh in meiner aufgabe müsst ich dann noch eine
> fallunterscheidung machen, ob [mm]a < 1, a = 1[/mm] und [mm]a > 1[/mm] ist.
Die Aussage "Fallunterscheidung ... a<1..." ist oberflächlich.
Da stecken mehrere Fälle (mit unterschiedlichem Verhalten) drin:
0<a<1
a=0
-1<a<0
a=-1
a<-1
Gruß Abakus
EDIT: Sorry, ich habe überlesen, dass a nur den positiven Zahlen entstammen soll. Da müssen wirklich nur deine drei Fälle betrachtet werden.
> >
> > >
> > >
> > > zu b):
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+(-1)^{n}}{n} = \limes_{n\rightarrow\infty} 1 + \bruch{(-1)^{n}}{n} = 1[/mm]
>
> >
> > >
> > > kann man das so stehen lassen oder sollte ich noch dazu
> > > schreiben das [mm]\bruch{(-1)^{n}}{n} \to 0[/mm] geht für
> > > [mm]n\to\infty[/mm]?
> > >
> > >
> > > zu c):
> > > ich betrachte hier zuerst mal die teilfolgen:
> > >
> > > n gerade: [mm]a_{2n} = exp(1*\wurzel{n})[/mm]
> > > n ungerade:
> > [mm]a_{2n-1} = exp((-1) * \wurzel{n})[/mm]
> > >
> > > [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{2n} = \infty[/mm]
> > > und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{2n-1} = 0[/mm]
> > >
> > > kann ich danach jetzt direkt behaupt das [mm]\underline{lim}_{n \to \infty} exp((-1)^{n} \wurzel{n}) = 0[/mm]
> > > ist?
> > >
> > >
> > > danke schonmal im voraus
> >
> waren teil b) und c) denn soweit ok?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 So 02.09.2012 | | Autor: | Hellfrog |
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> > >
> > > > a) Für welche [mm]a \in \IR_{>0}[/mm] besitzt die Menge [mm]\{a^{n} | n \in \IN\} \subseteq \IR[/mm]
> > > > ein Infimum, Supremum, Minimum bzw. Maximum? Bestimmen Sie
> > > > diese im Falle der Existenz als Ausdruck in Abhängigkeit
> > > > von a.
> > > >
> > > > b) Berechnen Sie [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+(-1)^{n}}{n}.[/mm]
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> > > >
> > > > c) Bestimmen Sie [mm]\underline{lim}_{n \to \infty} exp((-1)^{n} \wurzel{n}).[/mm]
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> > > > hallo
> > > >
> > > > fände es gut, wenn jemand mal die aufgaben durchschauen
> > > > könnte (formfehler bzw falls etwas genauer beschrieben
> > > > werden soll) und mir dann noch bei a) und c) ein paar tipps
> > > > geben könnte.
> > > >
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> > > > zu a):
> > > > sei [mm]M:=\{a^{n} | n \in \IN\},[/mm] dann ist:
> > > >
> > > > inf(M) = 0 (weil inf und sup ja nicht in der menge liegen
> > > > müssen)
> > > > sup(M) = [mm]\infty[/mm] (also kein sup vorhanden)
> > > > min(M) und max(M) existieren nicht, weil inf(M)
> und
> > > sup(M)
> > > > nicht in der menge liegen
> > > >
> > > > bin mir mit der aufgabe sehr unsicher, da ich noch nicht
> > > > soviel übung mit inf, sup, min und max habe. außerdem
> > > > versteh ich den 2. teil der aufgabe nicht, weil die menge
> > > > doch schon von a abhängt.
> > > Eben!
> > > Untersuche doch mal (beispielsweise) die Folgen
> > > [mm](2^n)[/mm], [mm](1^n)[/mm], [mm](0,5^n)[/mm], [mm]((-0,1)^n)[/mm] und einige weitere
> > > (meine Beispiele möglicher Fälle erfassen immer noch
> > > nicht alle Möglichkeiten).
> > > Für fast jeden dieser Fälle [mm](a^n)[/mm] sieht die
> > Geschichte
> > > mit min, max, inf, sup nämlich anders aus.
> > > Gruß Abakus
> >
> > für [mm]2^n[/mm] wäre das [mm]inf=min=2 [/mm], aber das maximum würde doch
> > immernoch nicht existieren, oder? (supremum ist unendlich
> > und existiert damit nicht)
> > bei [mm]1^n[/mm] dann [mm]inf=sup=max=min=1[/mm]
> > also wäre für [mm](0,5^n)[/mm] [mm]inf=min=0[/mm] und [mm]sup=max=0,5[/mm],
> weil
> Falsch. Der Wert 0 wird von keinem Glied der Folge
> angenommen. Deshalb ist 0 kein Minimum, sondern nur
> Supremum.
meinst du hier vllt infimum? wenn 0 dann das infimum ist, dann heißt das aber doch das ein minimum garnicht existiert oder?
€dit: habe nochmal nachgelesen "Hat M ein Infimum, das aber nicht in M liegt, dann hat M kein kleinstes Element." (wikipedia artikel "kleinstes element").
und da die 0 garnicht in der angegebenen menge liegt, kann somit auch kein minimum existieren.
> > 0,5 die kleinste untere schranke ist und da es noch in
> der
> > menge liegt auch gleichzeitig das maximum
> >
> > dh in meiner aufgabe müsst ich dann noch eine
> > fallunterscheidung machen, ob [mm]a < 1, a = 1[/mm] und [mm]a > 1[/mm] ist.
> Die Aussage "Fallunterscheidung ... a<1..." ist
> oberflächlich.
> Da stecken mehrere Fälle (mit unterschiedlichem
> Verhalten) drin:
> 0<a<1
> a=0
> -1<a<0
> a=-1
> a<-1
> Gruß Abakus
wieso soll ich hier fälle betrachten in denen a < 0 oder a = 0 ist, wenn doch vorgegeben war das $a [mm] \in \IR_{>0} [/mm] sein soll?
stimmen die aufgaben b) und c) soweit, oder soll ich für die vllt noch einen extra artikel aufmachen?
€dit: hab erst dein edit gelesen als ichs schon abgeschickt hatte 
> > >
> > > >
> > > >
> > > > zu b):
> > > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+(-1)^{n}}{n} = \limes_{n\rightarrow\infty} 1 + \bruch{(-1)^{n}}{n} = 1[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > kann man das so stehen lassen oder sollte ich noch dazu
> > > > schreiben das [mm]\bruch{(-1)^{n}}{n} \to 0[/mm] geht für
> > > > [mm]n\to\infty[/mm]?
> > > >
> > > >
> > > > zu c):
> > > > ich betrachte hier zuerst mal die teilfolgen:
> > > >
> > > > n gerade: [mm]a_{2n} = exp(1*\wurzel{n})[/mm]
> > > > n
> ungerade:
> > > [mm]a_{2n-1} = exp((-1) * \wurzel{n})[/mm]
> > > >
> > > > [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{2n} = \infty[/mm]
> > > > und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{2n-1} = 0[/mm]
> > > >
>
> > > > kann ich danach jetzt direkt behaupt das [mm]\underline{lim}_{n \to \infty} exp((-1)^{n} \wurzel{n}) = 0[/mm]
> > > > ist?
> > > >
> > > >
> > > > danke schonmal im voraus
> > >
> > waren teil b) und c) denn soweit ok?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 So 02.09.2012 | | Autor: | abakus |
> > Falsch. Der Wert 0 wird von keinem Glied der Folge
> > angenommen. Deshalb ist 0 kein Minimum, sondern nur
> > Supremum.
>
> meinst du hier vllt infimum?
Du hast völlig recht.
> wenn 0 dann das infimum ist,
> dann heißt das aber doch das ein minimum garnicht
> existiert oder?
So isses.
>
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