www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Maßtheorie" - Limes Superior/Inferior
Limes Superior/Inferior < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Limes Superior/Inferior: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:38 Do 19.12.2013
Autor: HugATree

Guten Abend,

ich habe eine Frage zum limsup/inf von Folgen von Mengen.

Wenn ich die Mengenfolge [mm] $A_n:=[0,\frac{1}{n}]$ [/mm]  auf der Grundmenge [mm] $\Omega [/mm] :=[0,1]$ betrachte, dann gilt doch:
[mm] $\limes_{n\to \infty} \sup A_n=\{0\}$, [/mm] da 0 das einzige Element, das in unendlich vielen [mm] $A_n$ [/mm] vorkommt.
Und [mm] $\limes_{n\to \infty} \inf A_n [/mm] = [mm] \{0\}$, [/mm] da nur die Null in fast allen [mm] $A_n$ [/mm] enthalten ist.
Ich habe als Limsup auf einer Seite gefunden, dass anscheinend gilt [mm] $\limes_{n\to \infty} \inf A_n [/mm] = [mm] \Omega$ [/mm]
Aber z.B. das Element $x=1$ ist doch nur in [mm] $A_1$ [/mm] enthalten und für alle [mm] $n\geq [/mm] 2$ nicht mehr, also in unendlich vielen [mm] $A_n$ [/mm] NICHT enthalten.
Habe ich hier nun etwas falsch verstanden?

Vielen Dank
HugATree

        
Bezug
Limes Superior/Inferior: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:05 Do 19.12.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Guten Abend,
>  
> ich habe eine Frage zum limsup/inf von Folgen von Mengen.
>  
> Wenn ich die Mengenfolge [mm]A_n:=[0,\frac{1}{n}][/mm]  auf der
> Grundmenge [mm]\Omega :=[0,1][/mm] betrachte, dann gilt doch:
>  [mm]\limes_{n\to \infty} \sup A_n=\{0\}[/mm], da 0 das einzige
> Element, das in unendlich vielen [mm]A_n[/mm] vorkommt.
>  Und [mm]\limes_{n\to \infty} \inf A_n = \{0\}[/mm], da nur die Null
> in fast allen [mm]A_n[/mm] enthalten ist.
>  Ich habe als Limsup auf einer Seite gefunden, dass
> anscheinend gilt [mm]\limes_{n\to \infty} \inf A_n = \Omega[/mm]
>  
> Aber z.B. das Element [mm]x=1[/mm] ist doch nur in [mm]A_1[/mm] enthalten und
> für alle [mm]n\geq 2[/mm] nicht mehr, also in unendlich vielen [mm]A_n[/mm]
> NICHT enthalten.
>  Habe ich hier nun etwas falsch verstanden?

schau mal

    []hier (klick!):

Demnach ist hier

    [mm] $\liminf_{n \to \infty} A_n=\bigcup_{n=1}^\infty \underbrace{\bigcap_{m=n}^\infty A_m}_{=\{0\} \text{ --- wieso?}}=\bigcup_{n=1}^\infty \{0\}=\{0\}$ [/mm]

und

    [mm] $\limsup_{n \to \infty} A_n=\bigcap_{n=1}^\infty \underbrace{\bigcup_{m=n}^\infty A_m}_{=A_n \text{ --- wieso?}}=\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\{0\}\,.$ [/mm]

Deine Überlegung ist demnach richtig, und [mm] $0\,$ [/mm] ist auch das einzige Element,
dass sowohl in unendlich vielen als auch in allen bis auf endlich viele [mm] $A_n$ [/mm]
liegt.

(Der Beweis ist einfach: [mm] $0\,$ [/mm] liegt sowieso in allen [mm] $A_n.$ [/mm] Ist nun $0 < x [mm] \le 1\,,$ [/mm] so betrachte

    [mm] ${\ell_{0}}_x:=\lfloor \tfrac{1}{x} \rfloor +1\,.$ [/mm]

Dann gilt sicher $x [mm] \notin A_\ell$ [/mm] für alle [mm] $\ell \ge {\ell_{0}}_x,$ [/mm] denn:

Dies folgt aus

    [mm] $\left(\lfloor \tfrac{1}{x} \rfloor \le\right)$ $\tfrac{1}{x} [/mm] < [mm] \lfloor \tfrac{1}{x} \rfloor +1={\ell_0}_x.$) [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Limes Superior/Inferior: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:38 Do 19.12.2013
Autor: HugATree


> Hallo,
>  
> > Guten Abend,
>  >  
> > ich habe eine Frage zum limsup/inf von Folgen von Mengen.
>  >  
> > Wenn ich die Mengenfolge [mm]A_n:=[0,\frac{1}{n}][/mm]  auf der
> > Grundmenge [mm]\Omega :=[0,1][/mm] betrachte, dann gilt doch:
>  >  [mm]\limes_{n\to \infty} \sup A_n=\{0\}[/mm], da 0 das einzige
> > Element, das in unendlich vielen [mm]A_n[/mm] vorkommt.
>  >  Und [mm]\limes_{n\to \infty} \inf A_n = \{0\}[/mm], da nur die
> Null
> > in fast allen [mm]A_n[/mm] enthalten ist.
>  >  Ich habe als Limsup auf einer Seite gefunden, dass
> > anscheinend gilt [mm]\limes_{n\to \infty} \inf A_n = \Omega[/mm]
>  
> >  

> > Aber z.B. das Element [mm]x=1[/mm] ist doch nur in [mm]A_1[/mm] enthalten und
> > für alle [mm]n\geq 2[/mm] nicht mehr, also in unendlich vielen [mm]A_n[/mm]
> > NICHT enthalten.
>  >  Habe ich hier nun etwas falsch verstanden?
>  
> schau mal
>  
> []hier (klick!):
>  
> Demnach ist hier
>  
> [mm]\liminf_{n \to \infty} A_n=\bigcup_{n=1}^\infty \underbrace{\bigcap_{m=n}^\infty A_m}_{=\{0\} \text{ --- wieso?}}=\bigcup_{n=1}^\infty \{0\}=\{0\}[/mm]

Ah, natürlich, Null als einziges Element in allen An also Schnitt natürlich Menge mit 0.

>  
> und
>
> [mm]\limsup_{n \to \infty} A_n=\bigcap_{n=1}^\infty \underbrace{\bigcup_{m=n}^\infty A_m}_{=A_n \text{ --- wieso?}}=\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\{0\}\,.[/mm]
>  

Hier , wegen [mm] $A_{n+1}\subset A_{n}$, [/mm] ist die Vereinigung die Menge mit kleinstem Index, also hier natürlich [mm] $A_n$. [/mm]

Ich war verunsichert, weil ich
hier
eine andere Lösung gefunden habe (vorletzer Post).

Dann wäre ein Beispiel für Mengenfolgen, bei denen der limsup ungleich dem liminf ist z.B.:

[mm] $B_n:=\{(-1)^n\}\cup\{2\}$ [/mm]

Mit:
[mm] $\limes_{n\to\infty}\sup B_n =\{-1,1,2\}$ [/mm]
und
[mm] $\limes_{n\to\infty}\inf B_n =\{ 2\}$ [/mm]
richtig?

> Deine Überlegung ist demnach richtig, und [mm]0\,[/mm] ist auch das
> einzige Element,
>  dass sowohl in unendlich vielen als auch in allen bis auf
> endlich viele [mm]A_n[/mm]
>  liegt.
>  
> (Der Beweis ist einfach: [mm]0\,[/mm] liegt sowieso in allen [mm]A_n.[/mm]
> Ist nun [mm]0 < x \le 1\,,[/mm] so betrachte
>  
> [mm]{\ell_{0}}_x:=\lfloor \tfrac{1}{x} \rfloor +1\,.[/mm]
>  
> Dann gilt sicher [mm]x \notin A_\ell[/mm] für alle [mm]\ell \ge {\ell_{0}}_x,[/mm]
> denn:
>  
> Dies folgt aus
>
> [mm]\left(\lfloor \tfrac{1}{x} \rfloor \le\right)[/mm]    
> [mm]\tfrac{1}{x} < \lfloor \tfrac{1}{x} \rfloor +1={\ell_0}_x.[/mm])
>  
> Gruß,
>    Marcel

Vielen Vielen Dank für die schnelle, super Antwort :)

Liebe Grüße
HugATree

Bezug
                        
Bezug
Limes Superior/Inferior: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:00 Do 19.12.2013
Autor: Gonozal_IX

Hiho,


> Ich war verunsichert, weil ich hier eine andere Lösung gefunden habe (vorletzer Post).

Jop, der Post von luis ist falsch. Kannst ihm ja eine PN schicken, damit er es korrigiert :-)

  

> Dann wäre ein Beispiel für Mengenfolgen, bei denen der
> limsup ungleich dem liminf ist z.B.:
>  
> [mm]B_n:=\{(-1)^n\}\cup\{2\}[/mm]
>  
> Mit:
> [mm]\limes_{n\to\infty}\sup B_n =\{-1,1,2\}[/mm]
>  und
> [mm]\limes_{n\to\infty}\inf B_n =\{ 2\}[/mm]
>  richtig?

Ja.
Und wenn du in Zukunft noch \limsup  statt \lim\sup verwendest, steht es auch richtig da ;-)


Gruß,
Gono.

Bezug
                                
Bezug
Limes Superior/Inferior: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:07 Do 19.12.2013
Autor: HugATree

Vielen Dank :)

Bezug
        
Bezug
Limes Superior/Inferior: P.S.
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:25 Do 19.12.2013
Autor: Marcel

Wenn Du in dem Link den Teil bzgl. der monotonen Konvergenz liest, so
bestätigt das auch nochmal die Überlegungen:
Deine Folge der [mm] $A_n$ [/mm] ist monoton fallend und strebt daher gegen

    [mm] $\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\{0\}.$ [/mm]

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de