Limes und Summe vertauschen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Di 30.10.2012 | | Autor: | DesterX |
Hallo zusammen,
ich bin mir nicht ganz sicher unter welchen Voraussetzungen Limes und Summe vertauscht werden dürfen. Dabei interessiert mich besonders ein ganz einfacher Fall:
[mm] $\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{\infty} a_{i,n}.$
[/mm]
Darf hier bereits getauscht werden, falls [mm] $a_{i,n} \geq [/mm] 0$ für alle i,n? Oder braucht man bereits eine summierbare Majorante? Unter welchen Voraussetzungen wäre das denn ansonsten noch richtig?
Vielen Dank für Eure Hilfe, Dester
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Hiho,
> Darf hier bereits getauscht werden, falls [mm]a_{i,n} \geq 0[/mm]
Nein, wähle bspw. [mm] $a_{i,n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}$ [/mm]
> Oder braucht man bereits eine summierbare Majorante?
Ja.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Di 30.10.2012 | | Autor: | DesterX |
Danke für die schnelle Antwort. Auf dieses einfache Gegenbeispiel bin ich nicht gekommen.
Welche Kriterien gibt es denn neben einer Majorante noch?
Für endliche Summen sollte man es aber dürfen?
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Hallo DesterX,
> Welche Kriterien gibt es denn neben einer Majorante noch?
> Für endliche Summen sollte man es aber dürfen?
Welchen Sinn sollte das für endliche Summen machen?
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 Di 30.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo DesterX,
> Für endliche Summen sollte man es aber dürfen?
Du betrachtest also einen Ausdruck der Form
(*) [mm] $\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{k} a_{i,n}$
[/mm]
für ein [mm] $k\in\IN$?
[/mm]
Falls für alle [mm] $i=1,\ldots,k$ [/mm] die Folgen [mm] $(a_{i,n})_{n\in\IN}$ [/mm] konvergieren, existiert der obige Limes (*) und ist gleich
[mm] $\sum_{i=1}^k\lim_{n\rightarrow\infty}a_{i,n}$.
[/mm]
Dies kann man durch eine einfache Induktion zeigen.
Weißt du dagegen nur, dass der Limes (*) existiert, müssen noch lange nicht die Folgen [mm] $(a_{i,n})_{n\in\IN}$ [/mm] konvergieren. Also lässt sich der Limes nicht in die Summe ziehen.
Gegenbeispiel: k=2, [mm] $a_{1,n}:=(-1)^n$ [/mm] und [mm] $a_{2,n}:=(-1)^{n+1}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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