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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Fr 04.10.2013 | | Autor: | havoc1 |
| Aufgabe | k [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \limes_{x\downarrow\ 0} x^{k}e^{\bruch{1}{x}}= \limes_{v\rightarrow\infty} ({\bruch{1}{v}})^{k}e^{v}= \infty [/mm] |
Hallo,
ich habe folgende Defintion zum Grenzwert von Funktionen gelesen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ r}f(x) [/mm] = b
Falls für jede Folge [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}=r [/mm] gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})=b
[/mm]
Nun würde ich gerne in obigem Schritt wissen, wieso man einfach eine Folge einsetzen kann und dadurch auf den Grenzwert schließt. Denn eigentlich müsste man ja jede denkbare Nullfolge überprüfen. Wieso ist das nicht notwendig? Warum kann man sich hier einfach eine beliebige Nullfolger herausnehmen?
Ich würde es noch verstehen, wenn man sicher von der Existenz des Grenzwertes wüsste, denn dann wäre er ja für alle Folgen gleich.
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Hallo,
> k [mm]\in \IN[/mm]
> [mm]\limes_{x\downarrow\ 0} x^{k}e^{\bruch{1}{x}}= \limes_{v\rightarrow\infty} ({\bruch{1}{v}})^{k}e^{v}= \infty[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe folgende Defintion zum Grenzwert von Funktionen
> gelesen:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ r}f(x)[/mm] = b
>
> Falls für jede Folge [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}=r[/mm]
> gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})=b[/mm]
>
> Nun würde ich gerne in obigem Schritt wissen, wieso man
> einfach eine Folge einsetzen kann und dadurch auf den
> Grenzwert schließt. Denn eigentlich müsste man ja jede
> denkbare Nullfolge überprüfen.
Das müsstest du für einen Konvergenznachweis
> Wieso ist das nicht
> notwendig? Warum kann man sich hier einfach eine beliebige
> Nullfolger herausnehmen?
Hier wird doch Divergenz gezeigt ...
Und die Negation deiner Definition ist was?
>
> Ich würde es noch verstehen, wenn man sicher von der
> Existenz des Grenzwertes wüsste, denn dann wäre er ja
> für alle Folgen gleich.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Fr 04.10.2013 | | Autor: | havoc1 |
Hallo,
ja stimmt, das ist natürlich divergent. Wäre hier versucht worden mit dieser "Limesvertauschung" eine Konvergenz nachzuweisen, dann wäre das ganze nur notwendig und nicht hinreichend gewesen. Sehe ich das richtig?
Die Negation meiner Aussage, damit tue ich mich gerade schwer. Denn bei meiner Definition steht nicht, ob b nicht auch unendlich sein könnte.
Ich nehme aber mal an b kann nicht unendlich sein?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 Fr 04.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> ja stimmt, das ist natürlich divergent.
Behauptet wird aber nicht nur die nicht-Existenz eines reellen Grenzwertes, sondern die bestimmte Divergenz gegen [mm] $\infty$.
[/mm]
> Wäre hier
> versucht worden mit dieser "Limesvertauschung" eine
> Konvergenz nachzuweisen, dann wäre das ganze nur notwendig
> und nicht hinreichend gewesen. Sehe ich das richtig?
Doch, zusammen mit der Argumentation aus der anderen Antwort könnte man so auch Konvergenz nachweisen.
> Die Negation meiner Aussage, damit tue ich mich gerade
> schwer.
Es ist gar keine Negation zu zeigen.
> Denn bei meiner Definition steht nicht, ob b nicht
> auch unendlich sein könnte.
> Ich nehme aber mal an b kann nicht unendlich sein?
Doch, üblicherweise trifft man die von dir zitierte Definition auch für [mm] $b=\infty$ [/mm] anstelle [mm] $b\in\IR$ [/mm] genauso.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Fr 04.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo havoc1,
> k [mm]\in \IN[/mm]
> [mm]\limes_{x\downarrow\ 0} x^{k}e^{\bruch{1}{x}}= \limes_{v\rightarrow\infty} ({\bruch{1}{v}})^{k}e^{v}= \infty[/mm]
> Nun würde ich gerne in obigem Schritt wissen, wieso man
> einfach eine Folge einsetzen kann und dadurch auf den
> Grenzwert schließt. Denn eigentlich müsste man ja jede
> denkbare Nullfolge überprüfen. Wieso ist das nicht
> notwendig? Warum kann man sich hier einfach eine beliebige
> Nullfolger herausnehmen?
Man setzt gar in obiger Situation gar keine spezielle Folge ein, sondern argumentiert wie folgt:
Man setzt
(*) [mm] $\limes_{v\rightarrow\infty} ({\bruch{1}{v}})^{k}e^{v}= \infty$
[/mm]
als bekannt voraus.
Sei nun [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Folge positiver Zahlen mit [mm] $\lim_{n\to\infty}x_n=0$. [/mm] Zu zeigen ist
[mm] $\lim_{n\to\infty}(x_n)^{k}e^{\bruch{1}{x_n}}=\infty$.
[/mm]
Sei für beliebige [mm] $n\in\IN$ [/mm] die Zahl [mm] $v_n$ [/mm] definiert durch [mm] $v_n:=\bruch1{x_n}$ [/mm] (geht, da [mm] $x_n>0$ [/mm] und somit [mm] $x_n\not=0$).
[/mm]
Dann gilt [mm] $\lim_{n\to\inty}v_n=\infty$, [/mm] da die [mm] $x_n$ [/mm] positiv sind und [mm] $\lim_{n\to\infty}x_n=0$ [/mm] erfüllen.
Also nach (*)
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} ({\bruch{1}{v_n}})^{k}e^{v_n}= \infty$.
[/mm]
Aber es gilt
[mm] $({\bruch{1}{v_n}})^{k}e^{v_n}=(x_n)^ke^{\bruch{1}{x_n}}$
[/mm]
für alle [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
Also wie gewünscht
[mm] $\lim_{n\to\infty}(x_n)^ke^{\bruch{1}{x_n}}=\infty$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Fr 04.10.2013 | | Autor: | havoc1 |
Ah vielen Dank das bringt mir wesentlich mehr klarheit. Zumal ich gelesen habe, das man eben auch für den uneigentlichen Grenzwert unendlich eine beliebige Folge gegen Unendlich wählen muss!
Was mich noch irritiert ist deine Definition eines [mm] v_{n} [/mm]
In meinem Buch wurde das nicht so definiert, sondern lediglich so angegeben wie in der Aufgabenstellung. Wieso darf man dies nun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Fr 04.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Was mich noch irritiert ist deine Definition eines [mm]v_{n}[/mm]
> In meinem Buch wurde das nicht so definiert, sondern
> lediglich so angegeben wie in der Aufgabenstellung. Wieso
> darf man dies nun?
Das Buch präsentiert nur die grobe Idee und überlässt den Nachweis im Einzelnen dem/der Leser(in).
Während man einen Beweis führt, ist es nicht unüblich, Abkürzungen für gewisse Objekte einzuführen. Ich hätte auch immer [mm] $\bruch1{x_n}$ [/mm] anstelle von [mm] $v_n$ [/mm] schreiben können, aber ich hielt es so für übersichtlicher.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Fr 04.10.2013 | | Autor: | havoc1 |
Vielen Dank, es sind nun wirklich keine Fragen mehr offen geblieben. Es erstaunt mich immer wieder, das hinter Dingen die man im ersten Semester ganz intuitiv benutzt oft doch mehr steckt!
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