Limes von (x,y) bestimmen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Kann mir jemand bitte sagen, wie man überprüft ob der Grenzwert existiert? Wir haben sowas nicht erklärt bekommen.
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \bruch{sin(x^{2}*sin(y)}{x^{2}y}
[/mm]
Ich hatte nun gedacht, man überprüft
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \limes_{y\rightarrow\0} \bruch{sin(x^{2}*sin(y)}{x^{2}y} [/mm] = 1
und
[mm] \limes_{y\rightarrow\0} \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{sin(x^{2}*sin(y)}{x^{2}y} [/mm] = 1
Da somit die Grenzwerte gleich sind, existiert der Grenzwert !
Über partielles Ableiten hab ich mich schon informiert, da betrachtet man ja die übrigen immer als Konstante, eigentlich denk ich ja, das müßte was damit zu tun haben, aber ich hab halt keine Ahnung. Finds nirgendswo erklärt...
Danke
Faenôl
|
|
| |
|
Hallo,
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \bruch{sin(x^{2}*sin(y)}{x^{2}y}[/mm]
>
> Ich hatte nun gedacht, man überprüft
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \limes_{y\rightarrow\0} \bruch{sin(x^{2}*sin(y)}{x^{2}y}[/mm]
> = 1
>
> und
> [mm]\limes_{y\rightarrow\0} \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{sin(x^{2}*sin(y)}{x^{2}y}[/mm]
> = 1
dieses Vorgehen ist genau richtig.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:00 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Faenol |
Na, dann bin ich erfreut !
Danke !!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:22 Mi 25.05.2005 | | Autor: | SEcki |
> dieses Vorgehen ist genau richtig.
-v bitte - ich denke eher, das sit falsch: man betrachte die Funktion von [mm]\IR^2[/mm] nach [mm]\IR[/mm], die auf der Winkelhalbierende ohne Null konstant 1 ist, sonst konstant 0. Wenn ich da erst einen der beiden Werte gegen Null laufen lasse, erhalte ich unabhängig von dem anderen jeweils die 0 als Ergebnis - die Funktion ist aber sicher unstetig in 0. Das Kriterium ist andersrum: sind die Werte nicht gleich, so existiert der Grenzwert offenbar nicht.
Warum die Funktion wohl trotzdem stetig ist: [mm]sin(a)/a[/mm] kann stetig fortgesetzt werden. Da auch die Projektionen stetig sind, steht oben das Produkt zweier stetiger Funktionen - das ist wieder stetig.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Do 26.05.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Hmm......... Meinst du ?
Also könnte ich nur dann eine Aussage machen, wenn die beiden Grenzwerte nicht gleich sind... Wenn jedoch wie bei der Aufgabe zum Beispiel 1=1 ist, dann könnte ich ja laut dir, Secki, keine Aussage machen !
Hier wüsste ich jetzt nicht, ob der Grenzwert existiert oder nicht ?
Bin verwirrt...
Und wie macht man das bei (x,y,z), muss man dann alle [mm] 2_{3}=8 [/mm] Möglichkeiten (Kombinationen) durchgehen ?
Faenôl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 Do 26.05.2005 | | Autor: | SEcki |
> Hmm......... Meinst du ?
Bin mittlerweiel felsenfest überzeugt davon. Eiegntlich ist das auch klar - wenn man nach einander die Komponenten laufen lässt, schränkt man den Bewegungsspielraum jeweils auf achsen-parallele Geraden ein - man erhält viel weniger Freiheit als vorher.
> Also könnte ich nur dann eine Aussage machen, wenn die
> beiden Grenzwerte nicht gleich sind...
Ja, weil Folgenstetigkeit sagt, daß für alle olgen der gleiche Grnzwert herauskommen soll - dann hättest du ja Gegenbeispiele.
> Wenn jedoch wie bei
> der Aufgabe zum Beispiel 1=1 ist, dann könnte ich ja laut
> dir, Secki, keine Aussage machen !
Genau, a priori nicht, kannst ja mal mein Beispiel aufzeichnen - da sind der Funktionswert und die beiden Grenzwerte 0, aber die Funktion trotzdem nicht stetig in (0,0).
> Hier wüsste ich jetzt nicht, ob der Grenzwert existiert
> oder nicht ?
Mit deiner Methode nicht. Aber das ist die Multiplikation zweier stetiger Funktionen, also stetig - du könntest das auch direkt machen, dann musst du aber mit beliebigen Folgen die gegen (0,0) konvergieren anfangen, und dann kannst den Betrag der Funktion wieder geschickt abschätzen.
> Und wie macht man das bei (x,y,z), muss man dann alle
> [mm]2_{3}=8[/mm] Möglichkeiten (Kombinationen) durchgehen ?
Was? So findest du maximal Gegenbeispiele, aber hinreichend tut das auch nicht..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Do 26.05.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Naja, diese Methode hier hab ich auch net irgendwo gelesen, sondern hab gegoogelt und da stand irgendwie sowas.
Hab jetzt noch ne andere Sache gefunden: (ist aus einer offiziellen Lösung von Übungen ) (also richtig! *g*)
Existieren [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(a,b)} [/mm] f(x,y) und [mm] \lambda(x)= \limes_{y\rightarrow b}f(x,y) [/mm] sowie [mm] p(y)=\limes_{x\rightarrow a}f(x,y), [/mm] so gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow a} \lambda(x)= \limes_{y\rightarrow b}p(y)
[/mm]
In einer Übungsaufgabe wurde dann dort gezeigt, dass bei einer Funktion, die deiner im Prinzip entspricht:
nämlich
g(x)= [mm] \bruch{x^{2}y^{2}}{x^{2}y^{2}+(x-y)^{2}} [/mm] für [mm] (x,y)\not=(0,0)
[/mm]
g(x)=0 für x=y=0
Dort gilt [mm] \lambda(x)= \limes_{y\rightarrow b} [/mm] f(x,y)=0 und [mm] p(y)=\limes_{x\rightarrow a} [/mm] f(x,y)=0, also auch [mm] \limes_{x\rightarrow a} \lambda(x)= \limes_{y\rightarrow b}p(y).
[/mm]
Dennoch existiert der Grenzwert nicht, da für x=y: f(x,y)=1 gilt, aber auf dem Achsenkreu g(x)=0 gilt !
Daher ist g(x) sicher nicht stetig !
Wie kann ich nun aber ohne Wenn und aber zeigen, ob ein Grenzwert existiert oder nicht ? Egal wie ! Folgen sind auch o.k.
Faenôl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Do 26.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Faenol!
Wie lautet der Grenzwert genau:
So:
[mm] $\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \bruch{sin(x^{2})*sin(y)}{x^{2}y}$
[/mm]
oder so:
[mm] $\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \bruch{sin(x^{2}*sin(y))}{x^{2}y}$ [/mm] ?
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 Do 26.05.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi Stefan !
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \bruch{sin(x^{2}*sin(y))}{x^{2}y}
[/mm]
Hatte die letzte Klammer vergessen.....
Mein Problem ist einfach, ich hab überhaupt keine Aufzeichnungen oder so über dieses Thema (wie man sowas löst, bestimmt), von daher würds auch nicht direkt was bringen, wenn man jetzt speziell für diesen Ausdruck beweisen würde, dass der Grenzwert existiert...
Hab da noch 2 andere......
Faenôl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:00 Do 26.05.2005 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \bruch{sin(x^{2}*sin(y))}{x^{2}y}[/mm]
Dachte, das wär anders geklammert - jedenfalls kannst du in eienr Umgebung hinreichend klein um (0,0) das ganz so schreiben:
[mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \bruch{sin(x^{2}*sin(y))}{x^{2}\sin(y)} \frac{sin(y)}{y}[/mm].
Damit kannst du dann argumentieren, wenn du zeigst, das beide Brüche überall auf [mm]\IR^2[/mm] eine stetige Fortsetzung haben, der Grenzwert existieren muss.
Es gibt (leider?) kein Verfahren, miz dem man imemr bestimmen kann, ob etwas konvergiert. Da gehöhrt Training und Gefühl dazu.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Fr 27.05.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Was ist, wenn ich y=s*x setze ?
x und y sind ja jeweils Zahlen, also wird es sicherlich ein s geben !
O.K, dann wird wohl nur in [mm] \IR [/mm] klappen und nicht im komplexen Bereich, aber das wäre egal...
Dann "ganz normal" x gegen null laufen lassen, würd das dann gehen ?
Faenôl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Fr 27.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo auch das würde nicht reichen,
da du dich auch auf einer Parabelbahn [mm] $y=x^2$ [/mm] dem Ursprung nähern könntest - auch dann muss der Grenzwertt gleich sein.
Max
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:21 Sa 28.05.2005 | | Autor: | SEcki |
> O.K, dann wird wohl nur in [mm]\IR[/mm] klappen und nicht im
> komplexen Bereich, aber das wäre egal...
Soso ... du bist da eh ime 2 Dimensionalen, also quasi im Komplexen.
> Dann "ganz normal" x gegen null laufen lassen, würd das
> dann gehen ?
Wie jemand anders schon sagte nein - aber so langsam fühl ich mich so, als ob ich gegen Mühlen kämpfe: warum willst du das überhaupt direkt zeigen? Ich habe da schon mehrfach Hinweise gegeben, wie man das machen kann. Der Jänich sagt zwar oft viel Unsinn in seinen Büchern, aber es gibt da eine schöne Stelle im Vektoranalysis-Buch (frei zitiert, also lediglich Sinn): für die Identiät und die konstanten Funktionen rechnet man mit Epsilon-Delta nach, ob die stetig sind. Für [mm]\sqrt{\frac{x^2*\exp{x^5}}{x^3+5*x^4}}*\sin(\cos(\pi x))[/mm] benutzt man die Theorie - das Summe, Produkt, Inverses, Bruch und glm. konv. Reihe wieder stetig sind.
SEcki
|
|
|
|
