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Forum "Folgen und Grenzwerte" - Limes zwei konvergenter Folgen
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Limes zwei konvergenter Folgen: Hilfe beim Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:51 Mi 18.11.2015
Autor: XxGoliathusxX

Aufgabe
Seien [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] zwei konvergente Folgen in [mm] \IR. [/mm]
Es gelte [mm] a_n\le b_n [/mm] für alle n.
Zeigen Sie:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] ≤ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_n [/mm]

Zeigen Sie außerdem anhand eines Beispiels, dass die folgende Aussage im Allgemeinen falsch ist.
[mm] a_n


Hallo liebe Forumsmitglieder.
Ich sitze seit mehreren Stunden an dieser Aufgabe fest.
Meine Idee:
Für 2 konv. Folgen gilt: (Notation: an = a mit Indize n)
[mm] a_n-b_n=a-b [/mm] und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_n-b_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n-\limes_{n\rightarrow\infty}b_n [/mm]
Daraus folgt:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)=b-a>=0 [/mm]

Ich will also zeigen, dass die Aussage links immer größer als 0 ist.
Aber ich komme einfach nicht weiter.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Limes zwei konvergenter Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:08 Mi 18.11.2015
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Seien [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] zwei konvergente Folgen in [mm]\IR.[/mm]
> Es gelte [mm]a_n\le b_n[/mm] für alle n.
> Zeigen Sie:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n[/mm] ≤ [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_n[/mm]

>

> Zeigen Sie außerdem anhand eines Beispiels, dass die
> folgende Aussage im Allgemeinen falsch ist.
> [mm]a_n

>

> Hallo liebe Forumsmitglieder.
> Ich sitze seit mehreren Stunden an dieser Aufgabe fest.
> Meine Idee:
> Für 2 konv. Folgen gilt: (Notation: an = a mit Indize n)

?? Was soll das heißen? Du bezeichnest die Grenzwerte mit a und b?!

> [mm]a_n-b_n=a-b[/mm] und

>

> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n-b_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n-\limes_{n\rightarrow\infty}b_n[/mm]
> Daraus folgt:

>

> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)=b-a>=0[/mm]

>

> Ich will also zeigen, dass die Aussage links immer größer
> als 0 ist.
> Aber ich komme einfach nicht weiter.

Es bietet sich hier ein indirekter Beweis an.

Nimm an, es gilt [mm]a>b[/mm]

Konstruiere damit einen Widerspruch zur Voraussetzung, folgere also [mm]b_n
>

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

>

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Limes zwei konvergenter Folgen: Idee
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:36 Mi 18.11.2015
Autor: X3nion

Guten Abend zusammen,

für b) habe ich einen Vorschlag. Man betrachte zum einen die Nullfolge bestehend aus nur positiven Gliedern und zum anderen jene bestehend aus ausschließlich negativen Gliedern und setze beide in Vergleich.

Falls ich falsch liege, dürft ihr mich gerne korrigieren :-)

Viele Grüße,
X³nion

Bezug
                        
Bezug
Limes zwei konvergenter Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:42 Mi 18.11.2015
Autor: reverend

Hallo X3nion,

> Guten Abend zusammen,
>  
> für b) habe ich einen Vorschlag. Man betrachte zum einen
> die Nullfolge bestehend aus nur positiven Gliedern und zum
> anderen jene bestehend aus ausschließlich negativen
> Gliedern und setze beide in Vergleich.

"die" Nullfolge? Welche soll das sein?
Hier genügt jede rein positive, verglichen mit der entsprechenden (also mit -1 multiplizierten) rein negativen.

> Falls ich falsch liege, dürft ihr mich gerne korrigieren
> :-)

Nee, schon gut. Ein Vergleich von [mm] c_n=\br{1}{n+1} [/mm] und [mm] d_n=\br{1}{n+2)} [/mm] hätte aber auch genügt, wie auch unendlich viele andere Beispiele.

Grüße
reverend

> Viele Grüße,
>  X³nion


Bezug
                                
Bezug
Limes zwei konvergenter Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:46 Mi 18.11.2015
Autor: X3nion

Hallo reverend,

ich wollte mich nicht so konkret ausdrücken und dem Fragesteller das Gegenbeispiel überlassen :-)
Ja das stimmt, aber [mm] a_{n} [/mm] = - [mm] \frac{1}{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{n} [/mm] ist weniger Schreibarbeit [grins]

Gruß X³nion

Bezug
                                        
Bezug
Limes zwei konvergenter Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 05:06 Do 19.11.2015
Autor: fred97


> Hallo reverend,
>  
> ich wollte mich nicht so konkret ausdrücken und dem
> Fragesteller das Gegenbeispiel überlassen :-)
>  Ja das stimmt, aber [mm]a_{n}[/mm] = - [mm]\frac{1}{n}[/mm] und [mm]b_{n}[/mm] =
> [mm]\frac{1}{n}[/mm] ist weniger Schreibarbeit [grins]
>  
> Gruß X³nion


Noch weniger Schreibarbeit hätte man mit

  [mm] a_n=0 [/mm] und [mm] b_n=1/n [/mm] .......

FRED

Bezug
                                                
Bezug
Limes zwei konvergenter Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:27 Sa 21.11.2015
Autor: X3nion

Hallo,

> Noch weniger Schreibarbeit hätte man mit
>  [mm] a_n=0 [/mm]  und  [mm] b_n=1/n [/mm]  .......

Da hast du natürlich vollkommen Recht!

Gruß X³nion

Bezug
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