Limesbestimmung vom Integral < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 Sa 09.04.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo kiwibox,
wie wäre es denn mit folgender Vorgehensweise:
Du stellst den Cosinus als Potenzreihe dar, wodurch unendlich viele Integrale enstehen, für jeden Term ein Integral. Dies lässt sich sogar ausrechnen und bei der Limes-Bildung stellt man dann fest, dass alle Terme bis auf den ersten Term gegen Null laufen mit wachsendem n.
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Sa 09.04.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo...
>
> neues Semester, neue Fragen 
> Ich soll diesmal den Limes eines Integrals bestimmen, habe
> aber keine für mich gescheiten Idee wie ich hier daran
> gehen würde...
>
> Meine Aufgabe lautet: Zeigen Sie das folgende Aussage
> stimmt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{a}^{b}{\cos(x/n)*g(x) dx }=\integral_{a}^{b}{g(x) dx}[/mm]
>
> Meine bisherigen Ideen dazu:
> ich bestimme das Integral,
Wie willst du das tun, wenn du die Funktion $g$ nicht kennst?
> bestimme danach den Limes und
> transformiere es wieder in ein Integral
> oder ich muss beweisen, dass cos(x/n) gegen 1 läuft und
> g(x) eben konstant bleibt (nur geht das im Integral?)
Was weisst du über die Möglichkeit, den Grenzwert und das Integral zu vertauschen?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Sa 09.04.2011 | | Autor: | kiwibox |
> Wie willst du das tun, wenn du die Funktion [mm]g[/mm] nicht
> kennst?
stimmt. ich kann meine Funktion g(x) nicht einfach als konstante betrachten, weil ich "dx" habe....
> Was weißt du über die Möglichkeit, den Grenzwert und das
> Integral zu vertauschen?
wie vertauschen? Wir hatten bisher bei den Integralen, dass wir Zahlen oder Summenzeichen raus ziehen durften...
also werde ich wie in dem Tipp, dass mit der Summenschreibweise oder so probieren müssen....oder hast du einen anderen Tipp auf Lager?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Sa 09.04.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Wie willst du das tun, wenn du die Funktion [mm]g[/mm] nicht
> > kennst?
>
> stimmt. ich kann meine Funktion g(x) nicht einfach als
> konstante betrachten, weil ich "dx" habe....
>
> > Was weißt du über die Möglichkeit, den Grenzwert und das
> > Integral zu vertauschen?
>
> wie vertauschen? Wir hatten bisher bei den Integralen, dass
> wir Zahlen oder Summenzeichen raus ziehen durften...
OK.
> also werde ich wie in dem Tipp, dass mit der
> Summenschreibweise oder so probieren müssen....oder hast
> du einen anderen Tipp auf Lager?
Überlege dir, dass
[mm] \cos y \le 1-\bruch{1}{2}y^2 [/mm]
gilt (folgt aus der Taylorformel durch Abschätzung des Restglieds).
Dann bedenke, dass die gesuchte Aussage auch
[mm] \limes_{n\to \infty} \integral_a^b (1-\cos(x/n)) g(x) dx = 0 [/mm]
geschrieben werden kann.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:22 So 10.04.2011 | | Autor: | kiwibox |
Hallo!
> Überlege dir, dass
>
> [mm]\cos y \le 1-\bruch{1}{2}y^2[/mm]
>
> gilt (folgt aus der Taylorformel durch Abschätzung des
> Restglieds).
mmh. das kann ich leider nicht anwenden. Der Begriff Taylorformel ist mir nicht bekannt. Wir hatten das (noch) nicht in der Vorlesung...schade...
> Dann bedenke, dass die gesuchte Aussage auch
>
> [mm]\limes_{n\to \infty} \integral_a^b (1-\cos(x/n)) g(x) dx = 0[/mm]
>
> geschrieben werden kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:38 So 10.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Zeige mit dem Mittelwertsatz, dass
$|cos(x/n)-1| [mm] \le [/mm] |x/n|$
gilt. Dann konvergiert die Folge [mm] $f_n(x):=cos(x/n)*g(x)$ [/mm] auf kompakten Intervallen gleichmäßig gegen g.
FRED
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