Limesbestimmung von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:22 Do 24.11.2005 | | Autor: | Sinus |
Hallo,
folgende Aufgabe versuche ich zu lösen:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{n^{2}+23}- [/mm] n , für n [mm] \ge
[/mm]
Folgenden Ansatz habe ich:
Auf beiden Seiten habe ich [mm] \wurzel{n^{2}-23}+n [/mm] mulitpliziert und erhalte nach der 3. binomischen Formel:
[mm] a_{n}(\wurzel{n^{2}-23}+n)=(\wurzel{n^{2}+23}-n)(\wurzel{n^{2}-23}+n)
[/mm]
umgeformt erhalte ich [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{23}{\wurzel{n^{2}+23}- n}
[/mm]
Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht und wie fahre ich fort?
Ich brauche Hilfe! Bitte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 Do 24.11.2005 | | Autor: | Jerry77 |
Pass einfach genau auf ;) : es heisst [mm] (a+b)(a-b)=a^2-b^2
[/mm]
dabei ist dein a die ganze Wurzel, also
$ [mm] \wurzel{n^{2}+23} [/mm] $ und dein b gerade n
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 Do 24.11.2005 | | Autor: | Sinus |
Danke für den Hinweis.
Dann habe ich also am Ende stehen:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{23}{ \wurzel{n^{2}+23}+n}
[/mm]
aber wie mache ich weiter??? Ich muss doch irgendwie das n unter der Wurzel wegkriegen, oder?
So etwa?
[mm] \bruch{23}{\wurzel{n^{2}+23}+n}=\bruch{23}{\wurzel{n^{2}}+\wurzel{23}+n} [/mm] = [mm] \bruch{23}{n^{2}+23} [/mm] ???
Mein Limes ist doch dann 0 oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:54 Fr 25.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{23}{ \wurzel{n^{2}+23}+n}[/mm]
[mm]\bruch{23}{\wurzel{n^{2}+23}+n}=\bruch{23}{\wurzel{n^{2}}+\wurzel{23}+n}[/mm]
> = [mm]\bruch{23}{n^{2}+23}[/mm] ???
so viel Fehler in einer Zeile sollte man auf dr Uni nicht mehr machen [mm] \wurzel{a+b}= \wurzel{a}+\wurzel{b} [/mm] ist pfui pfui!
> Mein Limes ist doch 0 oder nicht?
ja, einfach abschätzen !
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:27 Fr 25.11.2005 | | Autor: | Sinus |
Danke leduart,
den Fehler habe ich bewusst gemacht! Weil ich mein N nicht bestimmen kann bei einer Gleichung, in der das n unter der Wurzel steht. Naja, ich komme trotzdem nicht weiter...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:34 Fr 25.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Sinus!
Du bist doch schon so gut wie fertig ... nun die Grenzwertbetrachtung:
[mm] $a_n [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \bruch{23}{\wurzel{n^2+23}+n}$
[/mm]
Was passiert denn mit dem Nenner für sehr große $n_$ ? Und da der Zähler konstant ist, heißt das also für die gesamte Folge?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:38 Fr 25.11.2005 | | Autor: | Sinus |
Danke Loddar,
ich habe breits erwähnt, dass meine Folge gegen 0 konvergiert. Ich habe nur ein Problem mit dem Beweis und der Bestimmung von n in Abhängigkeit von [mm] \varepsilon. [/mm] Wenn du mir da helfen könntest, dann wäre das super.
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:56 Fr 25.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sinus!
In diesem Fall kann man doch direkt nach $n_$ umstellen (und man braucht keine Abschätzungen vornehmen).
[mm] $\bruch{23}{\wurzel{n^2+23}+n} [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$ $\gdw$ $\bruch{23}{\varepsilon}-n [/mm] \ < \ [mm] \wurzel{n^2+23}$
[/mm]
Nun quadrieren und umstellen ...
Kontrollergebnis: $n \ [mm] \ge [/mm] \ N \ = \ [mm] \bruch{23-\varepsilon^2}{2*\varepsilon}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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