Lin.Abb. mit Kern=Bild < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:42 Mo 20.12.2010 | | Autor: | gomer |
| Aufgabe | | Es seien K ein Körper und (p,q) [mm] \in K^2. [/mm] Wann gibt es eine lineare Abbildung [mm] \varphi [/mm] : [mm] K^2 \to K^2 [/mm] mit Kern [mm] \varphi [/mm] = Bild [mm] \varphi [/mm] = [mm] \left\langle (p,q) \right\rangle. [/mm] Bestimmen Sie alle linearen Abbildungen mit dieser Eigenschaft, sowie deren Anzahl. |
Hallo!
Ich habe mir überlegt, dass bei der Abbildung [mm] \varphi [/mm] (x,y) = (y,0), Bild und Kern übereinstimmen, aber wie konstruiert man eine Abbildung, bei der sowohl Kern als auch Bild gleich [mm] \left\langle (p,q) \right\rangle [/mm] sind? Ich kann mir das irgendwie überhaupt nicht vorstellen. Heißt es dann, dass etweder p oder q gleich 0 ist?
Danke für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Mo 20.12.2010 | | Autor: | fred97 |
I) Zeige: hat eine lineare Abb.$ [mm] \varphi [/mm] $ : $ [mm] K^2 \to K^2 [/mm] $ die Eigenschaft
(*) Kern $ [mm] \varphi [/mm] $ = Bild $ [mm] \varphi [/mm] $ = $ [mm] \left\langle (p,q) \right\rangle, [/mm] $
so gilt:
1. (p,q) [mm] \ne [/mm] (0,0)
2. Es ex. eine lineare Abb. [mm] $f:K^2 \to [/mm] K$ mit: [mm] $\varphi(x,y)=f(x,y)*(p,q)$ [/mm] und f [mm] \ne [/mm] 0
3. f(p,q) = 0.
II) Zeige: gelten 1., 2. und 3. für eine lineare Abb.$ [mm] \varphi [/mm] $ : $ [mm] K^2 \to K^2 [/mm] $ , so folgt (*)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Mo 20.12.2010 | | Autor: | gomer |
Vielen Dank für deine Antwort!
Was ich noch nicht so ganz verstehe ist, wie du auf das f(x,y) kommst und wie die linearen Abbildungen dann konkret aussehen?
Viele Grüße
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> Was ich noch nicht so ganz verstehe ist, wie du auf das
> f(x,y) kommst und wie die linearen Abbildungen dann konkret
> aussehen?
Hallo,
ich formuliere die Sache mit dem f mal etwas anders - eher christkindmäßig als weihnachtsmännlich - , in der Hoffnung, daß es so weniger erschreckend ist
Sei [mm] v:=\vektor{p\\q}\in K^2.
[/mm]
Du suchst eine lineare Abbildung [mm] \varphi [/mm] : [mm] K^2\to K^2 [/mm] mit
[mm] Kern\varphi=Bild\varphi=.
[/mm]
Du hast Dir schon überlegt, daß [mm] v\not=0 [/mm] sein muß.
Der [mm] K^2 [/mm] ist ein VR über K der Dimension 2.
Also gibt es ein [mm] w\in K^2, [/mm] so daß v und w zusammen eine Basis des [mm] K^2 [/mm] bilden.
Du weißt, daß lineare Abbildungen durch die Angabe ihrer Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt sind.
Weil [mm] Kern\varphi= [/mm] sein soll, hast Du keine andere Wahl, als daß
[mm] \varphi(v):=0 [/mm] ist.
Überleg Dir, daß [mm] \varphi(w)\not=0 [/mm] sein muß.
Jetzt bedenke, daß [mm] Bild\varphi= [/mm] gefordert ist.
Worauf muß also w abgebildet werden? [mm] \varphi(w):= [/mm] ???.
Mit
[mm] \varphi(v):=0
[/mm]
[mm] \varphi(w):=...
[/mm]
liegt die lineare Abbildung eindeutig fest.
Jetzt kannst Du Dir noch überlegen, wieviele Möglichkeiten Du für die Wahl von [mm] \varphi(w) [/mm] hast. Das liefert Dir die Anzahl der Funktionen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 Mi 22.12.2010 | | Autor: | gomer |
Jetzt habe ich es verstanden! Ein großes Dankeschön an euch beide =)
Endlich letztes Aufgabenblatt vor den Ferien abgegeben!
Allen schöne Weihnachten und einen guten Rutsch ins neue Jahr!! :)
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