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| Aufgabe | 1. Überprüfen Sie folgende Abbildungen auf Linearität und Injektivität, Surjektivität bzw. Bijektivität-
[mm] f_1 : \IR^{n} \to \IR, f_1(x) := \begin{cases} 0, & \mbox{falls } \summe_{i=1}^{n} x_i = 0 \\ 1, & \mbox{sonst}\end{cases}[/mm]
[mm] f_2 : \IR^2 \to \IR^3, f_2(x) := (2x_1 + x_2, x_1 + 2x_2, x_1-x_2)[/mm]
2. Bestimmen Sie die (Abbildungs-)Matrix von [mm]f_2[/mm] bzgl. der Standardbasen der [mm]\IR^k, k=2,3[/mm].
3. Bestimmen Sie die nach Satz 2.5.3 für den 4. Aufgabenteil benötigten Übergangsmatrizen der Basen
[mm]A= \{ \vektor{ 1 \\ 0} , \vektor{1 \\ 1} \}[/mm] und [mm] B=\{ \vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 } , \vektor{ 1 \\ 1 \\ 0 }, \vektor{1 \\ 1 \\ 1 }\}. [/mm] |
Wie überrüft man eine Abbildung auf Linearität?
[mm] f_1 [/mm] ist surjektiv. aber nicht injektiv und somit auch nicht bijektiv.
Bei [mm] f_2 [/mm] bin ich mir nicht sicher, ob es injektiv ist, bin mir aber sicher, dass die Funktion surjektiv ist.
Beim zweiten Aufgabenteil bin ich mir nicht sicher, ob ich das so richtig mache. Ich habe die Funktionswerte für [mm] \vektor{ 1 \\ 0 } [/mm] und [mm] \vektor{ 0 \\ 1 } [/mm] errechnet und die Matrix [mm] \pmat{1 & 2 \\ 2 & 1 \\ -1 & 1 } [/mm] rausbekommen. Ich habe aber das Gefühl da fehlt noch etwas.
Beim dritten Teil habe ich den Satz nicht verstanden. Er lautet:
Es seien V, W Vektorräume mit Basen [mm] B_{V}, B^{'}_{V} [/mm] bzw. [mm] B_{W}, B^{'}_{W}, [/mm] und S [mm] \in K^{n, n} [/mm] sei die Übergangsmatrix von [mm] B_{V} [/mm] nach B'_{V} sowie T [mm] \in K^{m,m} [/mm] die Übergangsmatrix von [mm] B_{W} [/mm] nach B'_{W}. Ist [mm]f \in L(V, W)[/mm] mit der Matrix A bezüglich [mm] (B_{V}, B_{W}) [/mm] gegeben so ist
A' = [mm] T^{-1} [/mm] AS
die Matrix von [mm]f[/mm] bezüglich (B'_{V}, B'_{W}).
Vielleicht kann ihn mir jemand erklären, damit ich Aufgabenteil 4 auch lösen kann.
Danke im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:36 Di 08.01.2008 | | Autor: | Jorgi |
Hallo Syladriel,
Also zu 1,
Schlage nochmal die Definition der Surjektivität nach.
Es heißt, dass jedes Element im Zielbereich, in diesem Fall [mm] \mathbb{R}, [/mm] getroffen wird. Trifft die Funktion [mm]f_1[/mm] jede reelle Zahl ?
Und Injektivität bedeutet ja, dass aus [mm]x \not= y[/mm] folgt, dass [mm] f_1(x) \not= f_1(y)[/mm].
Findest du womöglich zwei verschiedene Elemente aus [mm] \mathbb{R}^{n}, [/mm] die beide auf die Null abgebildet werden ?
Um [mm]f_2[/mm] auf Injektivität und Surjektivität zu überprüfen, kann man auch einfach stur die Definitionen abklappern.
Aber es geht auch mit ellegenatere Methoden aus der linearen Algebra, die zudem noch mit den weiteren Aufgabestellungen zusammen passen.
Um diese anzuwenden rechnen wir erstmal die Dasrtellungsmatrix von [mm]f_2[/mm] aus. Dies führt uns zu Aufgabenteil 2.
In den Spalten der Darstellungsmatrix von [mm]f_2[/mm], bezüglich der beiden Standartbasen des [mm] \mathbb{R}^2 [/mm] und [mm] \mathbb{R}^3, [/mm] stehen die Koeffizienten, die enstehen, wenn man die Bilder der Standartbasis ausm [mm] \mathbb{R}^2, [/mm] als Linearkombination der Basis ausm [mm] \mathbb{R}^3 [/mm] darstellt. Dies kann man hier quasi "ablesen". Aber rechne es ruhig in aller Ruhe nach.
Nun gilt folgendes: Falls diese Darstellungsmatrix, vollen Zeilenrang hat, ist die zugrundeliegende lineare Abbildung surjektiv.
Falls sie vollen Spaltenrang hat, ist sie injektiv.
Nachdem die Darstellungsmatrix bestimmt wurde, wird schläunigst ihr Zeilen- und Spaltenrang Rang bestimmt :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 Di 08.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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