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Forum "Lineare Abbildungen" - Lin. Abb. versch. Berechnungen
Lin. Abb. versch. Berechnungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Lin. Abb. versch. Berechnungen: Wie sieht f(x) = Ax aus?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:43 Mo 25.11.2013
Autor: Lin_Lin

Aufgabe
Sei für ein [mm] \alpha \in \IR [/mm] die Abbildung f [mm] \in \mathcal{L}(\IR^{4},\IR^{4}) [/mm] gegeben durch f(x)=Ax mit
A = [mm] \pmat{4 + \alpha & -3 & -1 & 6 \\ 6 & 1 + \alpha & -3 & 2 \\ 2 & -3 & 1 + \alpha & 6 \\ 6 & -1 & -3 & 4 + \alpha} [/mm]
Bestimmen Sie Spur(f), det(f), [mm] P_{f}, [/mm] alle Eigenwerte von f mit algebraischen und geometrischen Vielfachheiten sowie Basen aller Eigenräume von f in Abhängigkeit von [mm] \alpha. [/mm]
Hinweis: Sie dürfen verwenden, dass f für alle [mm] \alpha \in \IR [/mm] genau 3 verschiedene Eigenwerte hat.

Hallo =)

Ohne großes Vorgelaber mein erstes Problem: Ich habe ziemliche Lücken was Lineare Abbildungen angeht und weiß nicht wie f(x) = Ax überhaupt aussehen soll. Da f [mm] \in \mathcal{L}(\IR^{4},\IR^{4}) [/mm] müsste f ja von [mm] \IR^{4} [/mm] nach [mm] \IR^{4} [/mm] abbilden. Hier bin ich von dem "hoch 4" verwirrt. Meistens schreibt man ja nur "hoch 4" wenn Vektoren gemeint sind. A ist aber ja eine 4*4 Matrix. Wie kann/soll ich mir nun x vorstellen? Als Vektor würde x keinen Sinn machen (weil ich ja Spur(f), det(f) usw. berechnen soll). Oder ist x hierbei einfach nur ein Skalar?

Sobald ich weiß wie f(x) eigentlich aussieht, dürften Spur, Determinante, Eigenwerte keine Probleme mehr machen. Die Vielfachheiten schau ich dann mal ob ich sie hinbekomme. Das bestimmen der Basen aller Eigenräume von f wird mir aber wahrscheinlich wieder Schwierigkeiten bereiten.

Vielen Dank schonmal für Anregungen und Hilfestellungen =)
Liebe Grüße
Lin

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Lin. Abb. versch. Berechnungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:50 Mo 25.11.2013
Autor: schachuzipus

Hallo Lin_Lin,


> Sei für ein [mm]\alpha \in \IR[/mm] die Abbildung f [mm]\in \mathcal{L}(\IR^{4},\IR^{4})[/mm]
> gegeben durch f(x)=Ax mit
> A = [mm]\pmat{4 + \alpha & -3 & -1 & 6 \\ 6 & 1 + \alpha & -3 & 2 \\ 2 & -3 & 1 + \alpha & 6 \\ 6 & -1 & -3 & 4 + \alpha}[/mm]

>

> Bestimmen Sie Spur(f), det(f), [mm]P_{f},[/mm] alle Eigenwerte von f
> mit algebraischen und geometrischen Vielfachheiten sowie
> Basen aller Eigenräume von f in Abhängigkeit von [mm]\alpha.[/mm]
> Hinweis: Sie dürfen verwenden, dass f für alle [mm]\alpha \in \IR[/mm]
> genau 3 verschiedene Eigenwerte hat.
> Hallo =)

>

> Ohne großes Vorgelaber mein erstes Problem: Ich habe
> ziemliche Lücken was Lineare Abbildungen angeht und weiß
> nicht wie f(x) = Ax überhaupt aussehen soll. Da f [mm]\in \mathcal{L}(\IR^{4},\IR^{4})[/mm]
> müsste f ja von [mm]\IR^{4}[/mm] nach [mm]\IR^{4}[/mm] abbilden.

Ganz genau!

> Hier bin
> ich von dem "hoch 4" verwirrt. Meistens schreibt man ja nur
> "hoch 4" wenn Vektoren gemeint sind. A ist aber ja eine 4*4
> Matrix. Wie kann/soll ich mir nun x vorstellen? Als Vektor
> würde x keinen Sinn machen

Na doch, mit [mm]f(x)[/mm] ist [mm]f(\vec x)[/mm] gemeint

Und [mm]\vec x[/mm] ist aus dem [mm]\IR^4[/mm]

Also [mm]f\left(\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}\right)[/mm]

Und statt [mm]f:\IR^4\to\IR^4, \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}\mapsto f\left(\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}\right)[/mm] hat man hier die Form

[mm]f:\IR^4\to\IR^4, \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}\mapsto \pmat{4 + \alpha & -3 & -1 & 6 \\ 6 & 1 + \alpha & -3 & 2 \\ 2 & -3 & 1 + \alpha & 6 \\ 6 & -1 & -3 & 4 + \alpha}\cdot{}\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}[/mm]

Das bildet also [mm]\vec x[/mm] ab auf [mm]A\cdot{}\vec x[/mm] , was ein Vektor im [mm]\IR^4[/mm] ist ([mm]4\times 4[/mm]-Matrix "mal" [mm]4\times 1[/mm]-Vektor = [mm]4\times 1[/mm]-Vektor)



> (weil ich ja Spur(f), det(f)
> usw. berechnen soll). Oder ist x hierbei einfach nur ein
> Skalar?

>

> Sobald ich weiß wie f(x) eigentlich aussieht, dürften
> Spur, Determinante, Eigenwerte keine Probleme mehr machen.
> Die Vielfachheiten schau ich dann mal ob ich sie
> hinbekomme. Das bestimmen der Basen aller Eigenräume von f
> wird mir aber wahrscheinlich wieder Schwierigkeiten
> bereiten.

>

> Vielen Dank schonmal für Anregungen und Hilfestellungen
> =)
> Liebe Grüße
> Lin

>

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Lin. Abb. versch. Berechnungen: Wie damit umgehen/rechnen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:13 Mo 25.11.2013
Autor: Lin_Lin

Ok, aber wie berechne ich dann z.Bsp. die Spur und die Determinante von f? Das ist ja jeweils nur für quadratische Matrizen definiert.

Bezug
                        
Bezug
Lin. Abb. versch. Berechnungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:01 Mo 25.11.2013
Autor: angela.h.b.


> Ok, aber wie berechne ich dann z.Bsp. die Spur und die
> Determinante von f? Das ist ja jeweils nur für
> quadratische Matrizen definiert.

Hallo,

ein Blick in die Unterlagen würde vermutlich echt helfen.
Da könntest Du nämlich feststellen, daß die Determinante und Spur einer linearen Abbildung die Det. bzw. Spur ihrer darstellenden Matrix bzgl irgendeiner Basis sind.

Und die Darstellungsmatrix von f ist halt die Matrix A.

LG Angela

Bezug
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