Lin. Abbildung für Kern/Bild < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:22 Di 15.11.2011 | | Autor: | Jarkiro |
| Aufgabe | Eine reelle 2×2-Matrix kann als lineare Abbildung von R2
nach R2 aufgefasst werden:
[mm] A:\IR^{2} [/mm] → [mm] \IR^{2} [/mm]
x ↦ Ax
Bestimmen Sie die Matrix A [mm] \in \IR^{2,2}, [/mm] sodass gilt:
Der Vektor [mm] \pmat{2\\ 4 } [/mm] ist im Kern der zur Matrix A gehörenden linearen Abbildung und
das Bild von [mm] \pmat{ 3 \\ -2 } [/mm] ist [mm] \pmat{ -2 \\ 2} [/mm] |
Schönen Guten Abend, oder guten Morgen,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Trotzdem, oder gerade deshalb =/ hänge ich schon lange an dieser Aufgabe. Bild und Kern zu bestimmen ... nicht das Problem.
Allerdings muss ich ja jetzt eine Abbildung A bestimmen. Mein bisheriger Ansatz war folgender:
Um die Bedingung für den Kern zu bestimmen muss ja gelten
[mm] \vmat{ a & b \\ c & d } \* \vmat{ 2 \\ 4 } [/mm] = [mm] \vmat{ 0 \\ 0 }
[/mm]
Also heißt es ja: 2a + 4b = 0 und 2c + 4d = 0
Durch Umstellung => a = -2b und c = -2d
Ergo funktioniert jede Abbildung für die erste Bedingung. z.b : [mm] \vmat{ -2 & 1 \\ -2 & 1 }
[/mm]
Mein nächster Schritt war es, eine Bedingung für das Bild zu finden:
[mm] \vmat{ a & b \\ c & d } \* \vmat{ 3 \\ -2 } [/mm] = [mm] \vmat{ -2 \\ 2 }
[/mm]
Da ich ja schon die Bedingung für den ersten Fall hatte dachte ich mir, es wäre sinnvoll die Erkenntnisse das a = -2b und c = -2d sein muss direkt einzusetzen.
[mm] \vmat{ -2b & b \\ -2d & d } \* \vmat{ 3 \\ -2 } [/mm] = [mm] \vmat{ -2 \\ 2 }
[/mm]
Ausgerechnet ergibt das dann => -8b = -2 und -8d = 2 => b = 1/4 und d = -1/4
Wenn ich das auf meine Ursprüngliche Matrix [mm] \vmat{ -2b & b \\ -2d & d } [/mm] anwende, kriege ich als Resultat
[mm] \vmat{ \bruch{-1}{2} & \bruch{1}{4} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{-1}{4} }
[/mm]
Die Matrix erfüllt auch die erste Bedingung, [mm] \vmat{ 2 \\ 4 } [/mm] ist im Kern ... genauso wie jeder andere Vektor. Meine Matrix mal irgendwas wird immer 0. Demnach ist das Bild von [mm] \pmat{ 3 \\ -2 } [/mm] wieder 0, und nicht [mm] \pmat{ -2 \\ 2} [/mm] . Das heißt ich hab irgendwo einen bösen Denkfehler drin.
Hat irgendjemand einen Denkanstoß für mich? Mit gegebener Abbildung ist das einfach ... aber selber eine finden ... damit tu ich mich echt schwer =/
Liebe Grüße
Jar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:06 Di 15.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Eine reelle 2×2-Matrix kann als lineare Abbildung von R2
> nach R2 aufgefasst werden:
> [mm]A:\IR^{2}[/mm] → [mm]\IR^{2}[/mm]
> x ↦ Ax
>
> Bestimmen Sie die Matrix A [mm]\in \IR^{2,2},[/mm] sodass gilt:
>
> Der Vektor [mm]\pmat{2\\ 4 }[/mm] ist im Kern der zur Matrix A
> gehörenden linearen Abbildung und
>
> das Bild von [mm]\pmat{ 3 \\ -2 }[/mm] ist [mm]\pmat{ -2 \\ 2}[/mm]
>
> Schönen Guten Abend, oder guten Morgen,
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Trotzdem, oder gerade deshalb =/ hänge ich schon lange an
> dieser Aufgabe. Bild und Kern zu bestimmen ... nicht das
> Problem.
>
> Allerdings muss ich ja jetzt eine Abbildung A bestimmen.
> Mein bisheriger Ansatz war folgender:
>
> Um die Bedingung für den Kern zu bestimmen muss ja gelten
>
> [mm]\vmat{ a & b \\ c & d } \* \vmat{ 2 \\ 4 }[/mm] = [mm]\vmat{ 0 \\ 0 }[/mm]
>
> Also heißt es ja: 2a + 4b = 0 und 2c + 4d = 0
>
> Durch Umstellung => a = -2b und c = -2d
>
> Ergo funktioniert jede Abbildung für die erste Bedingung.
> z.b : [mm]\vmat{ -2 & 1 \\ -2 & 1 }[/mm]
>
> Mein nächster Schritt war es, eine Bedingung für das Bild
> zu finden:
>
> [mm]\vmat{ a & b \\ c & d } \* \vmat{ 3 \\ -2 }[/mm] = [mm]\vmat{ -2 \\ 2 }[/mm]
>
> Da ich ja schon die Bedingung für den ersten Fall hatte
> dachte ich mir, es wäre sinnvoll die Erkenntnisse das a =
> -2b und c = -2d sein muss direkt einzusetzen.
>
> [mm]\vmat{ -2b & b \\ -2d & d } \* \vmat{ 3 \\ -2 }[/mm] = [mm]\vmat{ -2 \\ 2 }[/mm]
>
> Ausgerechnet ergibt das dann => -8b = -2 und -8d = 2 => b =
> 1/4 und d = -1/4
>
> Wenn ich das auf meine Ursprüngliche Matrix [mm]\vmat{ -2b & b \\ -2d & d }[/mm]
> anwende, kriege ich als Resultat
>
>
> [mm]\vmat{ \bruch{-1}{2} & \bruch{1}{4} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{-1}{4} }[/mm]
Stimmt.
>
> Die Matrix erfüllt auch die erste Bedingung, [mm]\vmat{ 2 \\ 4 }[/mm]
> ist im Kern
> ... genauso wie jeder andere Vektor.
Das stimmt nicht . Wie kommst Du darauf ?
> Meine
> Matrix mal irgendwas wird immer 0.
Nein.
> Demnach ist das Bild von
> [mm]\pmat{ 3 \\ -2 }[/mm] wieder 0
Nein.
> , und nicht [mm]\pmat{ -2 \\ 2}[/mm] .
Doch. Deine Matrix leistet genau das , was sie soll.
FRED
> Das
> heißt ich hab irgendwo einen bösen Denkfehler drin.
>
> Hat irgendjemand einen Denkanstoß für mich? Mit gegebener
> Abbildung ist das einfach ... aber selber eine finden ...
> damit tu ich mich echt schwer =/
>
>
> Liebe Grüße
>
> Jar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Di 15.11.2011 | | Autor: | Jarkiro |
Und die Moral von der Geschichte ... rechne die Matritzen immer per Hand nach ... seh gerade das mein Programm zur Matritzenrechnung spinnt ... sobald was negatives im Spiel ist krieg ich immer 0
*seufz* Lektion gelernt ... aber vielen Dank für die Hilfe =)
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