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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:50 Mo 24.01.2011 | | Autor: | nooschi |
| Aufgabe | | Geben Sie die allgemeine Lösung von [mm] $$\dot{y}(t)=Ay(t)$$ [/mm] wobei [mm] $y:\IR\mapsto\IR^2$ [/mm] und [mm] $A=\pmat{ 3 & 2 \\ 0 & -1 }$ [/mm] |
hallo zusammen,
ich weiss die Frage ist völlig trivial, aber ich habs jetzt auf drei verschiedene Arten ausgerechnet und irritierenderweise immer etwas anderes bekommen...
die Lösung die ich damals in der Übung bekommen habe, die ich abgegeben habe und unter die der Übungsleiter ein Häkchen gesetzt hat (was aber leider noch nichts heissen muss  ):
[mm] $\pmat{ c_1 \cdot e^{3x}+c_2\cdot e^{-x} \\ -2c_2\cdot e^{-x} }$
[/mm]
die zweite Lösung, die ich jetzt mit Taylorentwicklung im Nilpotenten Teil ausgerechnet habe und mir momentan etwas richtiger erscheint:
[mm] $\pmat{ c_1 \cdot e^{3x}+2xc_2\cdot e^{3x} \\ c_2\cdot e^{-x} }$
[/mm]
die dritte Lösung habe ich mit dem Satz: [mm] $e^{tA}=p(A)\Leftrightarrow t^{i}e^{t\lambda_{j}}=p^{(i)}(\lambda_{j})$ [/mm] wobei [mm] $\lambda_j$ [/mm] die Eigenwerte sein sollen und $i$ alle Zahlen von $0$ bis zum Nilpotenzindex des jeweiligen Eigenwertes [mm] $\lambda_j$ [/mm] (also in dem Fall nur $i=0$). Ja dann habe ich halt einfach ein passendes Polynom gesucht, welches dies erfüllt...
[mm] $\pmat{ c_1 \cdot e^{3x}+\frac{1}{2}c_2 (e^{3x}-e^{-x}) \\ c_2\cdot e^{-x} }$
[/mm]
falls sich irgendwer dafür interessiert was ich dazu meine: also soweit ich weiss ist eine allgemeine Lösung dieser Diff'gleichung [mm] $\varphi(t)=e^{tA}\cdot y_0$
[/mm]
[mm] $e^{tA}$ [/mm] kann man zB mit Taylorentwicklung berechnen, d.h. ich mach eine Zerlegung in die Diagonalmatrix und Nilpotente Matrix. Ist hier ja einfach, [mm] $A=\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & -1 }+\pmat{ 0 & 2 \\ 0 & 0}$.
[/mm]
Und jetzt mit bisschen Linalg hat man: [mm] $e^{tA}=e^{tD}+te^{tD}N$
[/mm]
das heisst
[mm] $e^{tA}=e^{t*\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & -1 }}+te^{t*\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & -1 }}\pmat{ 0 & 2 \\ 0 & 0}=...=\pmat{ e^{3t} & 2t*e^{3t} \\ 0 & e^{-t}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \varphi(t)=\pmat{ c_1 \cdot e^{3x}+2xc_2\cdot e^{3x} \\ c_2\cdot e^{-x} }$
[/mm]
falls jemand bereit ist mir zu helfen, kann ich auch gerne noch den dritten Weg etwas genauer ausführen, der erste allerdings gefällt mir nicht mehr so sehr :-P
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:12 Mo 24.01.2011 | | Autor: | nooschi |
ich bin gerade auf die äusserst intelligente Idee gekommen, die Lösungen einfach in das Anfangsproblem einzusetzen, 1 und 3 gingen gut, 2 ging schief...
deshalb nochmals ausführlich zu 2, vielleicht sieht man dann den Fehler besser:
> also soweit ich weiss ist eine allgemeine Lösung
> dieser Diff'gleichung [mm]\varphi(t)=e^{tA}\cdot y_0[/mm]
> [mm]e^{tA}[/mm] kann man zB mit Taylorentwicklung berechnen, d.h. ich mach
> eine Zerlegung in die Diagonalmatrix und Nilpotente Matrix.
> Ist hier ja einfach, [mm]A=\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & -1 }+\pmat{ 0 & 2 \\ 0 & 0}[/mm].
>
> Und jetzt mit bisschen Linalg hat man:
> [mm]e^{tA}=e^{tD}+te^{tD}N[/mm]
> das heisst
[mm] $e^{tA}=e^{t*\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & -1 }}+te^{t*\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & -1 }}\pmat{ 0 & 2 \\ 0 & 0}$
[/mm]
$= [mm] \pmat{ e^{3t} & 0 \\ 0 & e^{-t} }+t\pmat{ e^{3t} & 0 \\ 0 & e^{-t} }*\pmat{ 0 & 2 \\ 0 & 0}$
[/mm]
$= [mm] \pmat{ e^{3t} & 0 \\ 0 & e^{-t} }+t\pmat{ 0 & 2e^{3t} \\ 0 &0 }$
[/mm]
[mm] $=\pmat{ e^{3t} & 2t*e^{3t} \\ 0 & e^{-t}}
[/mm]
> [mm]\Rightarrow \varphi(t)=\pmat{ c_1 \cdot e^{3x}+2xc_2\cdot e^{3x} \\ c_2\cdot e^{-x} }[/mm]
zusatzfrage: lösung ist ja eindeutig, aber ich sehe nicht so genau, dass 1.=3.
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Hallo nooschi,
> ich bin gerade auf die äusserst intelligente Idee
> gekommen, die Lösungen einfach in das Anfangsproblem
> einzusetzen, 1 und 3 gingen gut, 2 ging schief...
>
>
> zusatzfrage: lösung ist ja eindeutig, aber ich sehe nicht
> so genau, dass 1.=3.
>
Um das zu sehen, definierst Du die
Konstanten in der dritten Lösung um:
[mm]k_{1}:=c_{1}+\bruch{1}{2}*c_{2}[/mm]
[mm]k_{2}:=-\bruch{1}{2}*c_{2}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:42 Mo 24.01.2011 | | Autor: | nooschi |
ok super, vielen Dank für die Antwort, das ist jetzt klar.
für die anderen: die Frage, warum Lösungsweg 2 falsch herausgekommen ist, wäre noch offen. (Lösungsweg siehe 2. Post von mir)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:14 Mi 26.01.2011 | | Autor: | nooschi |
das Problem hat sich erledigt!
(die Matrizen D und N müssen kommutieren, d.h. ich habe die Zerlegung der Matrix A falsch gemacht ;) )
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Do 27.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo nooschi,
> Geben Sie die allgemeine Lösung von [mm]\dot{y}(t)=Ay(t)[/mm] wobei
> [mm]$y:\IR\mapsto\IR^2$[/mm] und [mm]$A=\pmat{ 3 & 2 \\ 0 & -1 }$[/mm]
>
> hallo zusammen,
>
> ich weiss die Frage ist völlig trivial, aber ich habs
> jetzt auf drei verschiedene Arten ausgerechnet und
> irritierenderweise immer etwas anderes bekommen...
>
> die Lösung die ich damals in der Übung bekommen habe, die
> ich abgegeben habe und unter die der Übungsleiter ein
> Häkchen gesetzt hat (was aber leider noch nichts heissen
> muss ):
> [mm]\pmat{ c_1 \cdot e^{3x}+c_2\cdot e^{-x} \\ -2c_2\cdot e^{-x} }[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> die zweite Lösung, die ich jetzt mit Taylorentwicklung im
> Nilpotenten Teil ausgerechnet habe und mir momentan etwas
> richtiger erscheint:
> [mm]\pmat{ c_1 \cdot e^{3x}+2xc_2\cdot e^{3x} \\ c_2\cdot e^{-x} }[/mm]
Diese Lösung ist falsch, da 3 kein doppelter Eigenwert von A ist.
>
> die dritte Lösung habe ich mit dem Satz:
> [mm]e^{tA}=p(A)\Leftrightarrow t^{i}e^{t\lambda_{j}}=p^{(i)}(\lambda_{j})[/mm]
> wobei [mm]\lambda_j[/mm] die Eigenwerte sein sollen und [mm]i[/mm] alle
> Zahlen von [mm]0[/mm] bis zum Nilpotenzindex des jeweiligen
> Eigenwertes [mm]\lambda_j[/mm] (also in dem Fall nur [mm]i=0[/mm]). Ja dann
> habe ich halt einfach ein passendes Polynom gesucht,
> welches dies erfüllt...
> [mm]\pmat{ c_1 \cdot e^{3x}+\frac{1}{2}c_2 (e^{3x}-e^{-x}) \\ c_2\cdot e^{-x} }[/mm]
>
>
>
> falls sich irgendwer dafür interessiert was ich dazu
> meine: also soweit ich weiss ist eine allgemeine Lösung
> dieser Diff'gleichung [mm]\varphi(t)=e^{tA}\cdot y_0[/mm]
> [mm]e^{tA}[/mm]
> kann man zB mit Taylorentwicklung berechnen, d.h. ich mach
> eine Zerlegung in die Diagonalmatrix und Nilpotente Matrix.
> Ist hier ja einfach, [mm]A=\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & -1 }+\pmat{ 0 & 2 \\ 0 & 0}[/mm].
>
> Und jetzt mit bisschen Linalg hat man:
> [mm]e^{tA}=e^{tD}+te^{tD}N[/mm]
> das heisst
> [mm]e^{tA}=e^{t*\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & -1 }}+te^{t*\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & -1 }}\pmat{ 0 & 2 \\ 0 & 0}=...=\pmat{ e^{3t} & 2t*e^{3t} \\ 0 & e^{-t}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \varphi(t)=\pmat{ c_1 \cdot e^{3x}+2xc_2\cdot e^{3x} \\ c_2\cdot e^{-x} }[/mm]
>
>
> falls jemand bereit ist mir zu helfen, kann ich auch gerne
> noch den dritten Weg etwas genauer ausführen, der erste
> allerdings gefällt mir nicht mehr so sehr :-P
>
Gruss
MathePower
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