Lin. Unabh. im K-VR Abb(X,K) < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für $X [mm] \neq \emptyset$ [/mm] und den $K$-Vektorraum $Abb(X, K)$ sei [mm] $f_k: [/mm] X [mm] \rightarrow [/mm] K; a [mm] \mapsto f_x(a) [/mm] = 1$, falls $a=x$, sonst [mm] $f_x(a)=0$, [/mm] falls $a [mm] \neq [/mm] 0$.
a) Zeigen Sie, dass die Vektoren [mm] $(f_x)_{x \in X}$ [/mm] linear unabhängig sind.
b) Zeigen Sie, dass die Vektoren [mm] $(f_x)_{x \in X}$ [/mm] genau dann eine Basis von V sind, wenn $X$ endlich ist. |
Hallo zusammen,
ich sitze nun schon die ganze Nacht an meinen Aufgaben und komme bereits hier nicht weiter.
Mir ist klar, dass ich die lin. Unabhängigkeit zeige, indem ich beweise, dass sich die NUllabbildung, nur durch die triviale Lösung darstellen lässt. Ich weiß, dass sich $g(x) = [mm] a_1 \cdot f_{x_1} [/mm] (x) + [mm] a_2 \cdot f_{x_2} [/mm] (x) + ... + [mm] a_n \cdot f_{x_n} [/mm] (x)$ für ein beliebiges $x [mm] \in [/mm] X$ auf [mm] $g(x_r) [/mm] = [mm] (a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] + ... + [mm] a_n)\cdot [/mm] 0 + [mm] a_{x_r} \cdot [/mm] 1 = 0(x) = 0$ reduziert und daraus schon folgt, dass [mm] $a_{x_z} [/mm] = 0$ sein muss, damit die Gleichung erfüllt ist.
Aber irgendwie verwirre ich mich selbst, was bedeutet dass ich das ganze schlicht nicht verstanden habe. Ich meine, es fängt schon bei meinem Verständnis der lin. Unabhängigkeit an. Denn angenommen es würde ansatzweise stimmen, was ich mir gedacht habe, dann gibt es doch unendlich viele möglichkeiten die Nullabbildung darzustellen, da sich meine Gleichung für jedes $r [mm] \in [/mm] X$ auf $g(r) = [mm] a_r \cdot f_r [/mm] (r) = [mm] a_r \cdot [/mm] 1 = [mm] a_r$ [/mm] reduziert.
Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir das Thema erklären könntet.
Viele Grüße,
Kletteraffe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 Mo 25.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Für [mm]X \neq \emptyset[/mm] und den [mm]K[/mm]-Vektorraum [mm]Abb(X, K)[/mm] sei
> [mm]f_k: X \rightarrow K; a \mapsto f_x(a) = 1[/mm], falls [mm]a=x[/mm],
> sonst [mm]f_x(a)=0[/mm], falls [mm]a \neq 0[/mm].
> a) Zeigen Sie, dass die
> Vektoren [mm](f_x)_{x \in X}[/mm] linear unabhängig sind.
> b) Zeigen Sie, dass die Vektoren [mm](f_x)_{x \in X}[/mm] genau
> dann eine Basis von V sind, wenn [mm]X[/mm] endlich ist.
> Hallo zusammen,
>
> ich sitze nun schon die ganze Nacht an meinen Aufgaben und
> komme bereits hier nicht weiter.
> Mir ist klar, dass ich die lin. Unabhängigkeit zeige,
> indem ich beweise, dass sich die NUllabbildung, nur durch
> die triviale Lösung darstellen lässt. Ich weiß, dass
> sich [mm]g(x) = a_1 \cdot f_{x_1} (x) + a_2 \cdot f_{x_2} (x) + ... + a_n \cdot f_{x_n} (x)[/mm]
> für ein beliebiges [mm]x \in X[/mm] auf [mm]g(x_r) = (a_1 + a_2 + ... + a_n)\cdot 0 + a_{x_r} \cdot 1 = 0(x) = 0[/mm]
> reduziert und daraus schon folgt, dass [mm]a_{x_z} = 0[/mm] sein
> muss, damit die Gleichung erfüllt ist.
>
> Aber irgendwie verwirre ich mich selbst, was bedeutet dass
> ich das ganze schlicht nicht verstanden habe. Ich meine, es
> fängt schon bei meinem Verständnis der lin.
> Unabhängigkeit an. Denn angenommen es würde ansatzweise
> stimmen, was ich mir gedacht habe, dann gibt es doch
> unendlich viele möglichkeiten die Nullabbildung
> darzustellen, da sich meine Gleichung für jedes [mm]r \in X[/mm]
> auf [mm]g(r) = a_r \cdot f_r (r) = a_r \cdot 1 = a_r[/mm]
> reduziert.
>
> Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir das Thema
> erklären könntet.
Zunächst allgemein: Ist V ein Vektorraum über dem Körper K und M eine Teilmenge von V, so heißt M linear unabhängig, wenn aus
[mm] v_1,...,v_n \in [/mm] M und [mm] k_1,...,k_n \in [/mm] K und [mm] k_1*v_1+k_2*v_2+...+k_n*v_n=0 [/mm]
stets nur eines folgt: [mm] k_1=k_2=...=k_n=0.
[/mm]
Zum Aufgabenteil a):
Jetzt ist [mm] M=\{f_x:x \in X \}
[/mm]
Nun seien [mm] x_1,....,x_n \in [/mm] X , [mm] k_1,...,k_n \in [/mm] K und
[mm] k_1*f_{x_1}+...+ k_n*f_{x_n}=0.
[/mm]
Dann ist
[mm] k_1*f_{x_1}(x)+...+ k_n*f_{x_n}(x)=0 [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] X.
Kannst Du nun zeigen:
[mm] k_1=k_2=...=k_n=0 [/mm]
?
FRED
>
> Viele Grüße,
> Kletteraffe
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Hallo fred,
vielen Dank für deine Antwort! :)
> Zunächst allgemein: Ist V ein Vektorraum über dem Körper
> K und M eine Teilmenge von V, so heißt M linear
> unabhängig, wenn aus
>
> [mm]v_1,...,v_n \in[/mm] M und [mm]k_1,...,k_n \in[/mm] K und
> [mm]k_1*v_1+k_2*v_2+...+k_n*v_n=0[/mm]
>
> stets nur eines folgt: [mm]k_1=k_2=...=k_n=0.[/mm]
>
> Zum Aufgabenteil a):
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> Jetzt ist [mm]M=\{f_x:x \in X \}[/mm]
>
> Nun seien [mm]x_1,....,x_n \in[/mm] X , [mm]k_1,...,k_n \in[/mm] K und
>
> [mm]k_1*f_{x_1}+...+ k_n*f_{x_n}=0.[/mm]
>
> Dann ist
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> [mm]k_1*f_{x_1}(x)+...+ k_n*f_{x_n}(x)=0[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] X.
Was mich verwirrt sind die [mm] $f_{x_n} [/mm] (x)$.. ich weiß dass diese für alle $x [mm] \in X\setminus \{ x_n \}$ [/mm] gleich 0 sind. Somit muss sich [mm]k_1*f_{x_1}(x)+...+ k_n*f_{x_n}(x)=0[/mm] doch für jedes $x [mm] \in [/mm] X$ auf [mm] $k_1*f_{x_1}(x)+...+ k_n*f_{x_n}(x) [/mm] = 0 = k [mm] \cdot [/mm] 1$ reduzieren. Aber damit hätte ich nur ein einziges $k=0$ gezeigt, alle anderen können ja beliebig sein, da sie nur wegfallen, weil [mm] $f_{x_n} [/mm] (x) = 0$ wird..
Kannst du mir das bitte etwas genauer erklären?
>
> Kannst Du nun zeigen:
>
> [mm]k_1=k_2=...=k_n=0[/mm]
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> ?
>
> FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:02 Mo 25.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred,
> vielen Dank für deine Antwort! :)
>
> > Zunächst allgemein: Ist V ein Vektorraum über dem Körper
> > K und M eine Teilmenge von V, so heißt M linear
> > unabhängig, wenn aus
> >
> > [mm]v_1,...,v_n \in[/mm] M und [mm]k_1,...,k_n \in[/mm] K und
> > [mm]k_1*v_1+k_2*v_2+...+k_n*v_n=0[/mm]
> >
> > stets nur eines folgt: [mm]k_1=k_2=...=k_n=0.[/mm]
> >
> > Zum Aufgabenteil a):
> >
> > Jetzt ist [mm]M=\{f_x:x \in X \}[/mm]
> >
> > Nun seien [mm]x_1,....,x_n \in[/mm] X , [mm]k_1,...,k_n \in[/mm] K und
> >
> > [mm]k_1*f_{x_1}+...+ k_n*f_{x_n}=0.[/mm]
> >
> > Dann ist
> >
> > [mm]k_1*f_{x_1}(x)+...+ k_n*f_{x_n}(x)=0[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] X.
>
> Was mich verwirrt sind die [mm]f_{x_n} (x)[/mm].. ich weiß dass
> diese für alle [mm]x \in X\setminus \{ x_n \}[/mm] gleich 0 sind.
> Somit muss sich [mm]k_1*f_{x_1}(x)+...+ k_n*f_{x_n}(x)=0[/mm] doch
> für jedes [mm]x \in X[/mm] auf [mm]k_1*f_{x_1}(x)+...+ k_n*f_{x_n}(x) = 0 = k \cdot 1[/mm]
> reduzieren. Aber damit hätte ich nur ein einziges [mm]k=0[/mm]
> gezeigt, alle anderen können ja beliebig sein, da sie nur
> wegfallen, weil [mm]f_{x_n} (x) = 0[/mm] wird..
Was Du da treibst, verstehe ich nicht.
>
> Kannst du mir das bitte etwas genauer erklären?
Aus
$ [mm] k_1\cdot{}f_{x_1}(x)+...+ k_n\cdot{}f_{x_n}(x)=0 [/mm] $ für alle x $ [mm] \in [/mm] $ X
folgt mit [mm] x=x_j: k_j=0.
[/mm]
FRED
> >
> > Kannst Du nun zeigen:
> >
> > [mm]k_1=k_2=...=k_n=0[/mm]
> >
> > ?
> >
> > FRED
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> > Was mich verwirrt sind die [mm]f_{x_n} (x)[/mm].. ich weiß dass
> > diese für alle [mm]x \in X\setminus \{ x_n \}[/mm] gleich 0 sind.
> > Somit muss sich [mm]k_1*f_{x_1}(x)+...+ k_n*f_{x_n}(x)=0[/mm] doch
> > für jedes [mm]x \in X[/mm] auf [mm]k_1*f_{x_1}(x)+...+ k_n*f_{x_n}(x) = 0 = k \cdot 1[/mm]
> > reduzieren. Aber damit hätte ich nur ein einziges [mm]k=0[/mm]
> > gezeigt, alle anderen können ja beliebig sein, da sie nur
> > wegfallen, weil [mm]f_{x_n} (x) = 0[/mm] wird..
>
>
> Was Du da treibst, verstehe ich nicht.
>
Ich meine damit, dass beispielsweise für [mm] $(f_1, f_2)$ [/mm] doch gilt, dass
$0 = g(1) = [mm] k_1 \cdot f_1(1) [/mm] + [mm] k_2 \cdot f_2(1) [/mm] = [mm] k_1 \cdot [/mm] 1 + [mm] k_2 \cdot [/mm] 0 = [mm] k_1$ [/mm] was bedeutet, dass [mm] $k_1 [/mm] = 0$ und [mm] $k_2$ [/mm] beliebig sein muss
aber gleichzeitig
$0 = g(2) = [mm] k_1 \cdot f_1(2) [/mm] + [mm] k_2 \cdot f_2(2) [/mm] = [mm] k_1 \cdot [/mm] 0 + [mm] k_2 \cdot [/mm] 1 = [mm] k_2$ [/mm] was bedeutet, dass [mm] $k_1$ [/mm] beliebig und [mm] $k_2 [/mm] = 0$ sein muss
Wenn ich nur $x [mm] \in \{ 1,2 \}$ [/mm] betrachte, werde ich doch schon diese zwei Fälle haben und somit zwei verschiedene darstellungen des nullvektors erhalten, oder nicht?
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> Ich meine damit, dass beispielsweise für [mm](f_1, f_2)[/mm] doch
> gilt, dass
>
> [mm]0 = g(1) = k_1 \cdot f_1(1) + k_2 \cdot f_2(1) = k_1 \cdot 1 + k_2 \cdot 0 = k_1[/mm]
> was bedeutet, dass [mm]k_1 = 0[/mm] und [mm]k_2[/mm] beliebig sein muss
>
> aber gleichzeitig
>
> [mm]0 = g(2) = k_1 \cdot f_1(2) + k_2 \cdot f_2(2) = k_1 \cdot 0 + k_2 \cdot 1 = k_2[/mm]
> was bedeutet, dass [mm]k_1[/mm] beliebig und [mm]k_2 = 0[/mm] sein muss
>
> Wenn ich nur [mm]x \in \{ 1,2 \}[/mm] betrachte, werde ich doch
> schon diese zwei Fälle haben und somit zwei verschiedene
> darstellungen des nullvektors erhalten, oder nicht?
Hallo,
nein.
Du hast
[mm] k_1*f_{x_1}+...+ k_n*f_{x_n}=Nullfunktion
[/mm]
und willst zeigen [mm] k_1=k_2=...=k_n=0.
[/mm]
Was bedeutet [mm] k_1*f_{x_1}+...+ k_n*f_{x_n}=Nullfunktion?
[/mm]
Dies:
für alle x aus X gilt
[mm] k_1*f_{x_1}(x)+...+ k_n*f_{x_n}(x)=0.
[/mm]
Wenn das für alle x gilt, gilt es also für [mm] x_1 [/mm] und für [mm] x_2 [/mm] und ...und für [mm] x_n.
[/mm]
Also gilt
[mm] k_1*f_{x_1}(x_1)+...+ k_n*f_{x_n}(x_1)=0 \quad [/mm] und
[mm] k_1*f_{x_1}(x_2)+...+ k_n*f_{x_n}(x_2)=0 \quad [/mm] und
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] k_1*f_{x_1}(x_n)+...+ k_n*f_{x_n}(x_n)=0.
[/mm]
==> [mm] k_1=0 [/mm] und [mm] k_2=0 [/mm] und ... und [mm] k_n=0.
[/mm]
LG Angela
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Hallo angela,
auch dir vielen Dank für deine Antwort! :)
So langsam beginne ich das ganze zu begreifen. Aber jetzt ergibt leider b) keinen Sinn mehr für mich..
Ich habe gezeigt, dass [mm] $(f_x (x))_{x \in X}$ [/mm] linear unabhängig ist. Nun kann ich doch jede Abbildung durch diese Vektoren darstellen. Beispielsweise wäre $g(x) = 3 = [mm] \sum_{k \in X} 3\cdot f_{k} [/mm] (x)$ oder nicht?
Ich habe gelesen, dass die unendliche Summe nicht für allgemeine Vektorräume definiert ist, da sie einen Konvergenzbegriff benötigen würde, der schlicht fehlt.
Wieso muss $X$ endlich sein?
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> Hallo angela,
>
> auch dir vielen Dank für deine Antwort! :)
>
> So langsam beginne ich das ganze zu begreifen. Aber jetzt
> ergibt leider b) keinen Sinn mehr für mich..
> Ich habe gezeigt, dass [mm](f_x (x))_{x \in X}[/mm] linear
> unabhängig ist. Nun kann ich doch jede Abbildung durch
> diese Vektoren darstellen. Beispielsweise wäre [mm]g(x) = 3 = \sum_{k \in X} 3\cdot f_{k} (x)[/mm]
> oder nicht?
Hallo,
"Linearkombination" ist eine endliche Summe, bzw. (falls die Summe unendlich viele Glieder hat) eine Summe, bei der ab einem Glied alle Summanden =0 sind.
Jetzt nehmen wir mal eine unendliche Menge X und die Funktion g mit g(x):=1 für alle x.
Mal angenommen, wir könnten g mit endlich vielen [mm] f_{x_i} [/mm] erzeugen, also g schreiben als [mm] g=\summe_{i=1}^nk_if_i.
[/mm]
Dann wäre für alle [mm] x\in [/mm] X
[mm] g(x)=\summe_{i=1}^nk_if_i(x).
[/mm]
Da X nicht endlich ist, gibt es ein x', welches nicht in der Menge [mm] \{x_1,...,x_n\} [/mm] ist.
Dann hätten wir
[mm] 1=g(x')=\summe_{i=1}^nk_if_i(x')=...
[/mm]
Und?
LG Angela
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> Hallo,
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> "Linearkombination" ist eine endliche Summe, bzw. (falls
> die Summe unendlich viele Glieder hat) eine Summe, bei der
> ab einem Glied alle Summanden =0 sind.
>
> Jetzt nehmen wir mal eine unendliche Menge X und die
> Funktion g mit g(x):=1 für alle x.
>
> Mal angenommen, wir könnten g mit endlich vielen [mm]f_{x_i}[/mm]
> erzeugen, also g schreiben als [mm]g=\summe_{i=1}^nk_if_i.[/mm]
>
> Dann wäre für alle [mm]x\in[/mm] X
> [mm]g(x)=\summe_{i=1}^nk_if_i(x).[/mm]
>
> Da X nicht endlich ist, gibt es ein x', welches nicht in
> der Menge [mm]\{x_1,...,x_n\}[/mm] ist.
>
> Dann hätten wir
>
> [mm]1=g(x')=\summe_{i=1}^nk_if_i(x')=...[/mm]
>
> Und?
>
Da $x' [mm] \notin \{ x_1, x_2, .., x_n \}$ [/mm] gilt für alle [mm] $f_x [/mm] (x') = 0$, da $x [mm] \neq [/mm] x'$. Demnach wäre aber [mm] $1=g(x')=\summe_{i=1}^nk_if_i(x')= [/mm] 0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] 1=0$. Widerspruch! Also können wir g nicht mit endlich vielen [mm] $f_{x_i}$ [/mm] erzuegen, woraus folgt, dass [mm] $f_{x_i}$ [/mm] keine Basis sein kann. (?)
>
> LG Angela
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> > Hallo,
> >
> > "Linearkombination" ist eine endliche Summe, bzw. (falls
> > die Summe unendlich viele Glieder hat) eine Summe, bei der
> > ab einem Glied alle Summanden =0 sind.
> >
> > Jetzt nehmen wir mal eine unendliche Menge X und die
> > Funktion g mit g(x):=1 für alle x.
> >
> > Mal angenommen, wir könnten g mit endlich vielen [mm]f_{x_i}[/mm]
> > erzeugen, also g schreiben als [mm]g=\summe_{i=1}^nk_if_i.[/mm]
> >
> > Dann wäre für alle [mm]x\in[/mm] X
> > [mm]g(x)=\summe_{i=1}^nk_if_i(x).[/mm]
> >
> > Da X nicht endlich ist, gibt es ein x', welches nicht in
> > der Menge [mm]\{x_1,...,x_n\}[/mm] ist.
> >
> > Dann hätten wir
> >
> > [mm]1=g(x')=\summe_{i=1}^nk_if_i(x')=...[/mm]
> >
> > Und?
> >
> Da [mm]x' \notin \{ x_1, x_2, .., x_n \}[/mm] gilt für alle [mm]f_x (x') = 0[/mm],
> da [mm]x \neq x'[/mm]. Demnach wäre aber
> [mm]1=g(x')=\summe_{i=1}^nk_if_i(x')= 0 \Leftrightarrow 1=0[/mm].
> Widerspruch! Also können wir g nicht mit endlich vielen
Elementen aus [mm] (f_x)_{x\in X} [/mm] erzeugen
also ist [mm] (f_x)_{x\in X} [/mm] kein Erzeugendensystem und somit keine Basis.
LG Angela
> woraus folgt, dass [mm]f_{x_i}[/mm] keine Basis
> sein kann. (?)
> >
> > LG Angela
>
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