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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Fr 23.11.2007 | | Autor: | Physiker |
| Aufgabe | Es sei $ [mm] (e_1 ,e_2 ,e_3 ,e_4 [/mm] ) $ die kanonische Basis von [mm] \IR^4. [/mm] Die lineare Abbildung $ f : $ [mm] \IR^4 \to \IR^3 [/mm] sei definiert durch
$ [mm] f(e_1) [/mm] = (1, 2, 3), [mm] f(e_2) [/mm] = (4, 5, 6), [mm] f(e_3) [/mm] = (7, 8, 9), [mm] f(e_4) [/mm] = (10, 11, 12). $
Bestimmen sie eine Basis von Kern $ f $. |
Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum gepostet.
Auch hier ein bisschen Ratlosigkeit... mir schwebt da ein Satz aus dem Jänich im Kopf rum "die Spalten der Matrix sind die Bilder der Vektoren"...
Wenn ich hier also nach [mm] \IR^3 [/mm] abbilde, dann fehlen den Vektoren ja ein Element ( [mm] \to [/mm] analog, wenn ich ich mich auf den Fußboden abbilde, dann sind mein Po und mein Gesicht auch gute Freunde, weil sie ja nicht mehr von dem Element unterschieden werden, das meine Höhe bestimmt...^^)
Aber was macht nun der Kern f da? Das ist der Punkt, mit dem ich hier nicht klarkomme. Der ker f ist auf jeden Fall [mm] \subset \IR^4 [/mm] und mir ist auch klar, dass ich das nun in eine Multiplikation mit einer Matrix schreiben müsste: aber auch hier wieder ein anderes Problem: Was soll in die Matrix? Die Matrix hätte ja nur 3 Zeilen, die $ e [mm] \in \IR^4 [/mm] $ haben aber 4 Elemente, tut das was zur Sache?
HIIILFEEE ^^
Mit bestem Dank im Vorraus und grüßen aus Bonn,
Physiker
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> Es sei [mm](e_1 ,e_2 ,e_3 ,e_4 )[/mm] die kanonische Basis von
> [mm]\IR^4.[/mm] Die lineare Abbildung [mm]f :[/mm] [mm]\IR^4 \to \IR^3[/mm] sei
> definiert durch
>
> [mm]f(e_1) = (1, 2, 3), f(e_2) = (4, 5, 6), f(e_3) = (7, 8, 9), f(e_4) = (10, 11, 12).[/mm]
Hallo,
ich finde, daß es sich lohnt, sich bei diesen Aufgaben die Mühe zu machen, Spaltenvektoren zu schreiben - ich nehme an, daß Ihr das auch so macht.
Es ist also f eine lineare Abbildung v. [mm] \IR^4 [/mm] in den [mm] \IR^3, b=(b_1, b_2, b_3) [/mm] sei die Standardbasis des [mm] \IR^3. [/mm] (Ich vermute, daß in der Aufgabe auch noch irgendwas v. Basis des [mm] \IR^3 [/mm] steht, oder nicht?)
Lineare Abbildungen sind eindeutig bestimmt durch die Werte auf einer Basi, und diese hast Du vorgegeben:
[mm] f(e_1):=\vektor{1 \\ 2\\3}_B
[/mm]
[mm] f(e_2):=\vektor{4 \\ 5\\6}_B
[/mm]
[mm] f(e_3):=\vektor{7 \\ 8\\9}_B
[/mm]
[mm] f(e_4):=\vektor{10 \\ 11\\12}_B
[/mm]
> Bestimmen sie eine Basis von Kern [mm]f [/mm].
>
> Auch hier ein bisschen Ratlosigkeit... mir schwebt da ein
> Satz aus dem Jänich im Kopf rum "die Spalten der Matrix
> sind die Bilder der Vektoren"...
Der Satz ist nicht so übel.
Du bekommst die darstellende Matrix der Abbildung (bzgl. der beiden Basen) , indem Du die Bilder als Spalten in eine Matrix steckst.
Das gibt eine 3x4-Matrix.
> Wenn ich hier also nach [mm]\IR^3[/mm] abbilde, dann fehlen den
> Vektoren ja ein Element ( [mm]\to[/mm] analog, wenn ich ich mich auf
> den Fußboden abbilde, dann sind mein Po und mein Gesicht
> auch gute Freunde, weil sie ja nicht mehr von dem Element
> unterschieden werden, das meine Höhe bestimmt...^^)
Den Vektoren fehlt nichts.
Der [mm] \IR^4 [/mm] und der [mm] \IR^3 [/mm] sind zwei völlig verschiedene Schuhe.
Die Darstellung der Vektoren aus [mm] \IR^3 [/mm] ist bzgl der Basis B des [mm] \IR^3.
[/mm]
Machen wir mal ein wenig mit dem Bild weiter, wenn es hier auch nicht gefragt zu sein scheint, so ist es doch bildend:
Die Spalten der Matrix erzeugen das Bild der Abbildung, hier wäre [mm] Bildf=<\vektor{1 \\ 2\\3}_B, \vektor{4 \\ 5\\6}_B,\vektor{7 \\ 8\\9}_B, \vektor{10 \\ 11\\12}_B>.
[/mm]
Oft interessiert man sich für die Dimension des Bildes, zu diesem Zwecke müßte man oben eine maximale linear unabhängige Teilmenge herausfischen, durch Handarbeit oder indem man die Matrix auf Zeilenstufenform bringt.
Der Rang der Matrix liefert die Dimension des Bildes, und eine Basis kann man aus der Zeilenstufenform auch ablesen.
Wenn die führenden Elemente der nichtleeren Zeilen z.B. in der 2. und 4. Spalte stehen, kann man den 2. und 4. Bildvektor als Basis des Bildes verwenden.
> Aber was macht nun der Kern f da? Das ist der Punkt, mit
> dem ich hier nicht klarkomme. Der ker f ist auf jeden
> Fall [mm]\subset \IR^4[/mm]
Richtig.
Der Kern ist der Lösungsraum der Gleichung Ax=0, A soll hier die darstellende Matrix v. f sein.
> und mir ist auch klar, dass ich das nun
> in eine Multiplikation mit einer Matrix schreiben müsste:
> aber auch hier wieder ein anderes Problem: Was soll in die
> Matrix? Die Matrix hätte ja nur 3 Zeilen, die [mm]e \in \IR^4[/mm]
> haben aber 4 Elemente, tut das was zur Sache?
Was in die Matrix soll, haben wir ja inzwischen geklärt, es ist eine 3x4_Matrix, aber das muß einen ja nicht belasten.
Du nimmst jetzt diese Matrix und bestimmst in gewohnter (?) Manier den Kern.
Bring sie in Zeilenstufenform zunächst, und bestimm dann die Lösung des GS.
Die Dimension des Kerns erhältst Du aus [mm] dim\IR^4=dim [/mm] Kernf + dim Bild f= dim Kernf + Rang A.
Nun solltest Du das kurz sacken lassen und dann einfach beginnen. Learning by doing.
Gruß v. Angela
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