Linear Abhängig bzw unabhängig < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Mo 18.12.2006 | | Autor: | Warlock |
Hy an alle!
Hatte heute Mathe Test und bei einer Frage bin ich voll ausgestiegen, ärgere mich aber total, weil ich weiß, dass das eine total einfach Frage sein muss.
Also man hat drei Vektoren ( x1, x2 und x3 ) mit der Form 2*( x1+x2) * x3 = 0
Sind diese Vektoren linear abhängig und welche Dimension bildet der von ihnen aufgespannte Unterraum des [mm] R^3
[/mm]
Ich kann leider nicht mit der orbirgen Form anfangen. Die kann ich ja auch schreiben als 2*x1 + 2*x2 + x3 = 0, oder?
Aber nun soll ich beweisen, ob diese drei Vektoeren linear abhängig oder unabhängig sind.
Mein Problem ist aber, dass ich einfach keine 3 Vektoren der obrigen Form finden kann , grübel jetzt schon 1 Stunde darüber nach und es wird nur noch schlimmer, denk da einfach zu kompliziert, wäre net wenn ihr mir helfen könnet.
mfg Chris
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Mo 18.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Also man hat drei Vektoren ( x1, x2 und x3 ) mit der Form
> 2*( x1+x2) * x3 = 0
Steht da jetzt * für Skalarprodukt oder +?
> Sind diese Vektoren linear abhängig und welche Dimension
> bildet der von ihnen aufgespannte Unterraum des [mm]R^3[/mm]
>
> Ich kann leider nicht mit der orbirgen Form anfangen. Die
> kann ich ja auch schreiben als 2*x1 + 2*x2 + x3 = 0, oder?
Weiss nicht, was oben steht!nur wenn da + statt * steht
> Aber nun soll ich beweisen, ob diese drei Vektoeren linear
> abhängig oder unabhängig sind.
Falls das + gilt, sind sie garantiert lin. abh. denn lin. unabh. heisst doch es gibt KEINE Linearkomb. die 0 ergibt.
da man aber über x1 und x2 nichts weiter weiss, kann man nicht feststellen, ob die 2 lin abh. sind oder nicht, ob also der unterraum 2d oder 1d ist.
Wenn das * gilt ist x3 senkrecht auf x1+x2, also lin unabh. von ihnen (oder x3=0) aber wieder weiss man nichts über x1 und x2, das kann also 3d oder 2d sein. (1d falls x3=0)
x3 finden: zeichne 2 beliebige Vektoren, addier sie, nimm den doppelten Vektor, x3 ist der dazu negative! für +
für* irgendeinvektor, der senktrecht auf den beiden steht!
Gruss leduart
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> Mein Problem ist aber, dass ich einfach keine 3 Vektoren
> der obrigen Form finden kann , grübel jetzt schon 1 Stunde
> darüber nach und es wird nur noch schlimmer, denk da
> einfach zu kompliziert, wäre net wenn ihr mir helfen
> könnet.
>
> mfg Chris
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Mo 18.12.2006 | | Autor: | Warlock |
Hy danke für deine Antwort
Also das * steht für ein Sklaresprodukt.
Mein Hauptproblem bei der Prüfung war, dass ich nicht bewiesen konnte ob diese 3 Vektoren nun lin. abhängig oder unabhängig sind, weil ich einfach keine 3 Vektoren gefunden haben die 2* ( x1 + x2 ) + x3 = 0 erfüllen. Wenn ich drei Vektoren gefunden hätte, wäre das alles kein Problem gewesen.
Es gilt ach folgende Form = 2*x1 + 2*x2 + x3 = 0 denn das ist ja das gleiche wie 2* ( x1 + x2 ) + x3 = 0
Wäre euch sehr dankbar wenn ihr 3 Vektoren der obrigen Form finden könnet, ich finde keinen einzigen.
mfg Chris
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Mo 18.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast immer noch nicht gesagt, ob 2*(x1+x2)*x3 die Aufgabe war, oder 2*(x1+x2)+x3. Das ist für die Frage ein großer Unterschied!
Für beide Möglichkeiten hab ich die die Antwort geschrieben, und wie man zu x1 und x2 ein x3 findet. Was davon hast du denn nicht verstanden? Weiss man noch irgendwas über x1 und x2? Oder hast du die vollständige Aufgabe?
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Mo 18.12.2006 | | Autor: | baufux |
Hallo!
Also wie du das oben geschrieben hast, also wenn [mm] 2x_{1}+2x_{2}+x_{3}=0 [/mm] gilt, sind die Vektoren linear abhängig, da es für den Nullvektor immer eine nichttriviale Linearkombination gibt. (siehe vorige Antwort).
Allerdings hast du im ersten Post [mm] 2(x_{1}+x_{2})*x_{3}=0 [/mm] geschrieben. Nehme mal an das war ein Tippfehler.
Außerdem wäre es gut zu wissen welche Dimension deine Vektoren haben. Ich nehme mal an sie sollen [mm] x_{i} \in \IR^{3}[/mm] für [mm]i \in {1,2,3} [/mm]. Dann kannst du zum beispiel einfach die Vektoren [mm] x_{1} = \vektor{1 \\ 2 \\ 3}, x_{2} = \vektor{3 \\ 2 \\ 1}, x_{3} = \vektor{-8 \\ -8 \\ -8}[/mm] nehmen.
Zur Frage nach der Dimenson:
Also im Extremfall kann das ganze den 0-dimensional Unterraum ergeben, falls alle drei vektoren gleich dem Nullvektor sind. Es kann aber auch ein 1- bzw. 2-dimensionaler Unterraum sein. 3-dimensional kann er nicht werden, da ja immer gilt [mm] [mm] x_{3} [/mm] = [mm] -2x_{1}-2x{2} [/mm] ist, man also maximal eine Ebene aufspannen kann.
Falls du doch [mm] 2(x_{1}+x_{2})*x_{3}=0 [/mm] gemeint hast probier mal [mm] x_{1} = \vektor{1 \\ 2 \\ 3}, x_{2} = \vektor{3 \\ 2 \\ 1}, x_{1} = \vektor{-2 \\ 0 \\ 2}=x_{1}-x_{2} [/mm] aus.
Ob man allerdings immer so einen Vektor findet kann ich dir auf die schnell nicht sagen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Mo 18.12.2006 | | Autor: | Warlock |
Hy Danke für deine super Antwort!!
Sorry für die Verwirrung: Meinte natürlich für x1, x2 und x3 gilt die Form 2*(x1 + x2 ) + x3 = 0
Die drei Vektoren die du mir jetzt aufgeschrieben hast, spannnen einen Unterraum des [mm] R^3 [/mm] auf, nämlich eine Ebene. Das ist mir jetzt vollkommen klar, dass war aber auch nie ein Problem, nur wie ich auf solche 3 Vektoren komme.
Jetzt soll ich aber eine Basis dieses Unterraumes finden. WEnn ich mich in diesen Unterraum in einem [mm] R^2 [/mm] befinde, welche Basis habe ich dann?
Dieses Basis darf doch nur aus 2 Vektoren bestehen, weil ich mich im [mm] R^2 [/mm] befinde.
Da x3 ja in deinem Beispiel eine lin. Kombination aus x1 und x2 ist heißt das ja, dass die Basis nur aus x1 und x2 besteht oder?
Also wäre z.b. $ [mm] x_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3}, x_{2} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 1}, x_{3} [/mm] eine Basis dieses Unteraumes, oder?
WEnn ich falsch liege, wäre es echt net wenn ihr mich korrigiren könntet.
Danke für eure Hilfe!
mfg Chris
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:36 Di 19.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
WENN x1 und x2 lin unabh. sind, dann kannst du sie auch als Basis des Unteraums nehmen, wenn sie abhängig sind, was die Gleichung weder ausschließt noch sagt, dann ist x1 ne Basis oder x2, oder jede Linearkomb. der beiden.
Gruss leduart
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