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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Linear abhängig oder nicht
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Linear abhängig oder nicht: Idee, Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:50 Di 25.10.2016
Autor: Chrizzldi

Aufgabe
Sind die folgenden beiden Funktionen in $V = [mm] F\{\mathbb{R},\mathbb{R}\} [/mm] = [mm] \{f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\}$ [/mm] linear abhängig?
$f(x) = [mm] \log_2(x^2 [/mm] + 1)$
$g(x) = [mm] \log_3(x^2 [/mm] + 1)$

Guten Morgen,

ich schmöker gerade wieder in meinen alten Unterlagen und habe zur obigen Aufgabe keine richtige Idee. Wie könnte ich die Linearkombination dieser Funktionen darstellen, dass die Summe $0$ ergibt. Bei der vorherigen Aufgabe (off-Topic):
$f(x) = [mm] \sin^2x$, [/mm] $g(x) = [mm] \cos^2x$, [/mm] $h(x) = 2$ ist mir für $a, b = -2$ und $c=1$ glaube ich noch der Clou gelungen: $-2 * [mm] \cos^2(x) [/mm] + -2 * [mm] \sin^2(x) [/mm] + 1 * 2 = 0$

Danke für Eure Tipps!

Liebe Grüße,
Chris

        
Bezug
Linear abhängig oder nicht: editierte Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:03 Di 25.10.2016
Autor: tobit09

Hallo Chrizzldi!


Es gilt für alle reellen Zahlen $a,y>0$:

EDIT: natürlich muss ich zusätzlich [mm] $a\not=1$ [/mm] voraussetzen

     [mm] $\log_a(y)=\frac{\ln(y)}{\ln(a)}$ [/mm]

bzw. allgemeiner für $b>0$:

EDIT: auch die Voraussetzung [mm] $b\not=1$ [/mm] ist notwendig

      [mm] $\log_a(y)=\frac{\log_b(y)}{\log_b(a)}$. [/mm]

Kommst du damit schon alleine weiter?


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Linear abhängig oder nicht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:23 Di 25.10.2016
Autor: Chrizzldi

Hallo Tobias,

danke für deine Nachricht! Ich bin mir nicht ganz sicher wie ich deinen Tipp anwende. Mit meinem Taschenrechner habe ich in der Zeit etwas gegrübelt.

Idee:
Wenn $a, b [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] so gewählt werden, dass ich den Nullvektor erhalte. Versuche ich es erstmal einfach mit $a = ?, b = 1$.
$a * [mm] \log2(x [/mm] + 1) + 1 * [mm] \log3(x [/mm] + 1) = 0$
Naja, wenn ich das nach $a$ umstellen könnte müsste ich vermutlich deinen Tipp richtig gut drauf haben. Mir fällt es im Moment noch schwer.

Bin ich aber auf dem richtigen Weg?

Danke für deine Hilfe :)

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
Bezug
Linear abhängig oder nicht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:39 Di 25.10.2016
Autor: tobit09


> Idee:
>  Wenn [mm]a, b \in \mathbb{R}[/mm] so gewählt werden, dass ich den
> Nullvektor erhalte. Versuche ich es erstmal einfach mit [mm]a = ?, b = 1[/mm].
>  
> [mm]a * \log2(x + 1) + 1 * \log3(x + 1) = 0[/mm]
>  Naja, wenn ich das
> nach [mm]a[/mm] umstellen könnte müsste ich vermutlich deinen Tipp
> richtig gut drauf haben. Mir fällt es im Moment noch
> schwer.
>  
> Bin ich aber auf dem richtigen Weg?

(Abgesehen vom verlorengegangenen Exponenten 2 über dem x:)
Ja, du bist auf einem von mehreren möglichen Wegen zum Ziel.


Fertig sind wir, wenn wir ein [mm] $a\in\IR$ [/mm] gefunden haben, für das deine Gleichung für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] gilt.

Deine Gleichung ist im Falle [mm] $x\not=0$ [/mm] äquivalent zu

       [mm] $a=\frac{-\log_3(x^2+1)}{\log_2(x^2+1)}$ [/mm]

und im Falle $x=0$ immer erfüllt.

Z.B. gemäß des in meiner ersten Antwort als Erstes angeführten Logarithmus-Gesetzes gilt für alle [mm] $x\in\IR$: [/mm]

       [mm] $\log_2(x^2+1)=\frac{\ln(x^2+1)}{\ln(2)}$ [/mm]

und

      [mm] $\log_3(x^2+1)=\frac{\ln(x^2+1)}{\ln(3)}$. [/mm]


(Ich gebe dir bewusst nur knappe Tipps, weil ich dir zutraue selbstständig sehr weit zu kommen.
Wenn sie zu knapp sind, frage bitte nochmal nach.)

(Die grobe Idee besteht darin, Logarithmen zur Basis 2 und zur Basis 3 "in Beziehung zu bringen". Dazu sind die von mir genannten Logarithmus-Gesetze geeignet.)

Bezug
                                
Bezug
Linear abhängig oder nicht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:53 Di 25.10.2016
Autor: Chrizzldi

Hallo Tobi,

vielen Dank!Ich glaube ich habe es richtig umgestellt. Dank dir!
In meinem vorherigen Post habe ich dazu auch ein Bild hochgeladen, ich wollte damit eigentlich vermeiden, dass du dir unnötige Arbeit machst. Irgendwie konnte ich meinen eigenen Post nämlich nicht mehr verändern weil er "gesperrt" war - du hast vermutlich schon fleißig getippt :)

Zur Lösung:
[mm] $\frac{a \log(x^2+1)}{\log(2)} [/mm] + [mm] \frac{\log(x^2 + 1)}{\log(3)} [/mm] & = 0$
[mm] $\frac{a \log(x^2+1)}{\log(2)} [/mm] = - [mm] \frac{\log(x^2 + 1)}{\log(3)}$ [/mm]
$a [mm] \log(x^2+1) [/mm] = - [mm] \frac{\log(x^2 + 1) * \log(2)}{\log(3)}$ [/mm]
$a = - [mm] \frac{\log(x^2 + 1) * \log(2)}{\log(3) * \log(x^2+1)}$ [/mm]
$a = - [mm] \frac{\log(2)}{\log(3)}$ [/mm]

damit habe ich eine gültige Lösung für:
$- [mm] \frac{\log(2)}{\log(3)} [/mm] * [mm] \log_2 (x^2 [/mm] + 1) + [mm] \log_3(x^2 [/mm] + 1) = 0$

Danke für deine Hilfe!

> (Ich gebe dir bewusst nur knappe Tipps, weil ich dir zutraue selbstständig sehr weit zu kommen.
> Wenn sie zu knapp sind, frage bitte nochmal nach.)

Danke für das zutrauen, aber auch für dein Angebot detailierter zu werden!

Beste Grüße,
Chris

Bezug
                                        
Bezug
Linear abhängig oder nicht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:00 Di 25.10.2016
Autor: tobit09


> Zur Lösung:
>  [mm]\frac{a \log(x^2+1)}{\log(2)} + \frac{\log(x^2 + 1)}{\log(3)} & = 0[/mm]
>  
> [mm]\frac{a \log(x^2+1)}{\log(2)} = - \frac{\log(x^2 + 1)}{\log(3)}[/mm]
>  
> [mm]a \log(x^2+1) = - \frac{\log(x^2 + 1) * \log(2)}{\log(3)}[/mm]
>  
> [mm]a = - \frac{\log(x^2 + 1) * \log(2)}{\log(3) * \log(x^2+1)}[/mm]

Im Falle [mm] $x\not=0$. [/mm] Im Falle $x=0$ würdest du hier durch 0 teilen.

> [mm]a = - \frac{\log(2)}{\log(3)}[/mm]

[ok]


> damit habe ich eine gültige Lösung für:
>  [mm]- \frac{\log(2)}{\log(3)} * \log_2 (x^2 + 1) + \log_3(x^2 + 1) = 0[/mm]

[ok]

Bezug
                        
Bezug
Linear abhängig oder nicht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:47 Di 25.10.2016
Autor: tobit09

Sorry, ich habe deinen Anhang übersehen.

Abgesehen vom verlorengegangenen Exponenten 2 über dem x, der Division durch 0 im Falle $x=0$ und dem verlorengegangenen Minuszeichen im letzten Schritt hast du das richtige a gefunden.

Für eine fertige Lösung kannst du die Hilfsüberlegungen wieder vergessen und stattdessen schreiben:

Es gilt [mm] $\frac{\ln(2)}{\ln{3}}*f+1*g=0$, [/mm] denn für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] gilt [mm] $(\frac{\ln(2)}{\ln{3}}*f+1*g)(x)=0$, [/mm] wie folgende Rechnung zeigt:
...
Unter Beachtung von [mm] $1\not=0$ [/mm] sind somit f und g linear abhängig.

Bezug
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