Lineare Abb. in IR[X] < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Do 03.11.2011 | | Autor: | qed |
| Aufgabe | Sei P der Vektorraum der reellen Polynome vom maximalen Grad 2 und sei [mm]f:P\rightarrow P[/mm] definiert durch [mm] f(p) = (\alpha_{2}+3 \alpha_{1})X+(\alpha_{1}+\alpha_{0})[/mm] [mm](\forall p \in P)[/mm].
Beschreiben Sie das Bild(f) und den Kern(f). |
Hallo alle zusammen,
habe leider Probleme Aufgaben dieser Art zu lösen.
In der Vorlesung hatten wir z.B. Abbildungen der Form [mm]f:\IR^n \rightarrow \IR^m[/mm], [mm]f_{A}(x)=Ax[/mm] für [mm]A \in M_{mn}(\IR)[/mm]. Da ist mir das Vorgehen klar (Beschreibung von Bild und Kern über deren Basen). Jetzt kann ich aber leider diese Vorgehensweise nicht auf Polynome anwenden, weil ich noch nicht einmal in der Lage bin, ein Erzeugendensystem mithilfe der Standartbasis von P [mm](1,X,X^{2})[/mm] anzugeben.
Könnte mir vieleicht jemand einen Tip geben?
Viele Grüße und vorab vielen Dank,
qed
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 Do 03.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei P der Vektorraum der reellen Polynome vom maximalen
> Grad 2 und sei [mm]f:P\rightarrow P[/mm] definiert durch [mm]f(p) = (\alpha_{2}+3 \alpha_{1})X+(\alpha_{1}+\alpha_{0})[/mm]
> [mm](\forall p \in P)[/mm].
> Beschreiben Sie das Bild(f) und den
> Kern(f).
> Hallo alle zusammen,
>
> habe leider Probleme Aufgaben dieser Art zu lösen.
> In der Vorlesung hatten wir z.B. Abbildungen der Form
> [mm]f:\IR^n \rightarrow \IR^m[/mm], [mm]f_{A}(x)=Ax[/mm] für [mm]A \in M_{mn}(\IR)[/mm].
> Da ist mir das Vorgehen klar (Beschreibung von Bild und
> Kern über deren Basen). Jetzt kann ich aber leider diese
> Vorgehensweise nicht auf Polynome anwenden, weil ich noch
> nicht einmal in der Lage bin, ein Erzeugendensystem
> mithilfe der Standartbasis von P [mm](1,X,X^{2})[/mm] anzugeben.
Das verstehe ich nicht so ganz. Eine Basis von P ist [mm] \{1,X,X^2\}. [/mm] Diese ist natürlich auch ein Erzeugendensystem von P.
Zum Kern von f: Sei [mm] p(X)=a_0+a_1X+a_2X^2 [/mm] (ich schreibe lieber a als [mm] \alpha)
[/mm]
p [mm] \in [/mm] Kern(f) [mm] \gdw [/mm] f(p)=0 [mm] \gdw a_2+3a_1=0 [/mm] und [mm] a_1+a_0=0.
[/mm]
Nun schau Dir diese LGS mal an. Dann wirst Du sehen:
p [mm] \in [/mm] Kern(f) [mm] \gdw [/mm] es gibt ein a [mm] \in \IR [/mm] mit: [mm] p(X)=a(1-X+3X^2).
[/mm]
Zum Bild von f:
Man sieht sofort: Bild(f) [mm] \subseteq \{p \in P: grad(p)~ \le 1\}
[/mm]
Zeige: Bild(f)= [mm] \{p \in P: grad(p)~ \le 1\}
[/mm]
FRED
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> Könnte mir vieleicht jemand einen Tip geben?
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> Viele Grüße und vorab vielen Dank,
>
> qed
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 Do 03.11.2011 | | Autor: | qed |
Hallo Fred,
vielen Dank für Deine Hilfe! Habs endlich verstanden.
Zu Bild(f):
Durch Einsetzen der Standartbasis [mm](1,X,X^2)[/mm] in [mm]f[/mm] erhalten wir ein Erzeugendensystem von [mm]Bild(f)[/mm] : [mm]<1,X,2X+1>[/mm]. Es folgt, dass [mm](1,X)[/mm] eine Basis von Bild(f) ist.
Nochmal danke.
Viele Grüße
qed
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