Lineare Abb \IR^{n} < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie:
Ist [mm] \gamma [/mm] : [mm] \IR^{n} \to \IR [/mm] linear, so gibt es genau einen Vektor [mm] \mu \in \IR^{n} [/mm] mit [mm] \gamma(\mu)=\mu*w [/mm] für alle [mm] w\in \IR. [/mm] |
Hallo,
Ich hab irgendwie das Problem, dass ich keine Idee hab, wie ich an obige Aufgabe herangehen soll bzw. mir fällt einfach nicht der richtige Ansatz ein...Habt ihr vielleicht ein Tipp für mich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Fr 03.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo MissPocahontas,
> Ist [mm]\gamma[/mm] : [mm]\IR^{n} \to \IR[/mm] linear, so gibt es genau
> einen Vektor [mm]\mu \in \IR^{n}[/mm] mit [mm]\gamma(\mu)=\mu*w[/mm] für
> alle [mm]w\in \IR.[/mm]
[mm] $\gamma(w)=\mu*w$ [/mm] für alle [mm] $w\in\IR^n$ [/mm] soll es sicherlich heißen.
Setze in diese Gleichung für $w$ speziell die Einheitsvektoren des [mm] $\IR^n$ [/mm] ein.
So erhältst du, wie die einzelnen Komponenten von [mm] $\mu$ [/mm] notwendigerweise aussehen müssen. Das liefert dir zum Einen die Eindeutigkeit von [mm] $\mu$ [/mm] und zum Anderen einen Ansatz, von welchem [mm] $\mu$ [/mm] du zu zeigen hast, dass es das Gewünschte leistet.
Viele Grüße
Tobias
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Ich glaube, ich steh noch immer auf dem Schlauch...ich hab jetzt die Einheitsvektoren mal eingesetzt, also z.B. habe ich:
[mm] \gamma [/mm] (1000...00) = [mm] \mu* [/mm] (10000...0)
Und für die anderen Einheitsvektoren das gleiche. Aber wieso kann es dann nur ein [mm] \mu [/mm] geben und wieso kann ich daraus schließen, wie die Komponenten aussehen müssen? Unglaublich, dass ich da echt nicht drauf komme...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Fr 03.05.2013 | | Autor: | fred97 |
Tipp:
Sei [mm] e_j:=(0,..,0,1,0,...,0) [/mm] der j-te Einheitsvektor im [mm] \IR^n.
[/mm]
Setze [mm] \mu:=(\gamma(e_1),...,\gamma(e_n))^T
[/mm]
Nun nimm [mm] w=(w_1,...,w_n)^T \in \IR^n.
[/mm]
Dann ist: [mm] w=\summe_{i=1}^{n}w_i*e_i
[/mm]
Zeige: [mm] \gamma(w)=\mu*w
[/mm]
FRED
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Ah, jetzt versteh ichs, danke. Kann es eigentlich sein, dass was an der Aufgabenstellung nicht stimmt. Müsste es nicht [mm] \gamma(w)=... [/mm] heißen anstelle von [mm] \gamma(\mu)?
[/mm]
Noch eine letzte Frage: Wenn ich die Einheitsvektoren einsetze und daraus das [mm] \mu [/mm] herausbekomme, wieso weiß ich, dass es das einzig mögliche ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Fr 03.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Ah, jetzt versteh ichs, danke. Kann es eigentlich sein,
> dass was an der Aufgabenstellung nicht stimmt. Müsste es
> nicht [mm]\gamma(w)=...[/mm] heißen anstelle von [mm]\gamma(\mu)?[/mm]
Genau. (Darauf habe ich in der ersten Antwort hingewiesen.)
> Noch eine letzte Frage: Wenn ich die Einheitsvektoren
> einsetze und daraus das [mm]\mu[/mm] herausbekomme, wieso weiß ich,
> dass es das einzig mögliche ist?
Du weißt, dass jedes mögliche [mm] $\mu$ [/mm] der Gleichung für alle [mm] $w\in\IR^n$ [/mm] genügt, also insbesondere für $w$ ein Einheitsvektor. Du erhältst nun, dass jedes mögliche [mm] $\mu$ [/mm] schon die Gestalt [mm] $\mu=(\gamma(e_1),\ldots,\gamma(e_n))$ [/mm] hat. Also ist [mm] $\mu$ [/mm] eindeutig bestimmt.
Noch zu zeigen ist, dass dieses [mm] $\mu$ [/mm] tatsächlich der Gleichung für alle [mm] $w\in\IR^n$ [/mm] genügt.
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Ja, das hab ich verstanden. Prima, danke ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Fr 03.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Ich glaube, ich steh noch immer auf dem Schlauch...ich hab
> jetzt die Einheitsvektoren mal eingesetzt, also z.B. habe
> ich:
> [mm]\gamma[/mm] (1000...00) = [mm]\mu*[/mm] (10000...0)
> Und für die anderen Einheitsvektoren das gleiche. Aber
> wieso kann es dann nur ein [mm]\mu[/mm] geben und wieso kann ich
> daraus schließen, wie die Komponenten aussehen müssen?
> Unglaublich, dass ich da echt nicht drauf komme...
Sei [mm] $\mu=(\mu_1,\ldots,\mu_n)$.
[/mm]
Dann gilt z.B. [mm] $\mu*(10000...0)=\mu_1*1+\mu_2*0+\mu_3*0+\ldots+\mu_n*0=\mu_1$.
[/mm]
Also erfüllt jedes [mm] $\mu=(\mu_1,\ldots,\mu_n)\in\IR^n$ [/mm] der gewünschten Art [mm] $\mu_1=\gamma((100000...0))$.
[/mm]
Damit hast du die erste Komponente von [mm] $\mu$ [/mm] gefunden: Sie lautet notwendigerweise [mm] $\gamma((10000...0))$.
[/mm]
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