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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 So 14.12.2008 | | Autor: | trek |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Matrix [Phi]A,B der linearen Abbildung Phi: [mm] \IR^2 \to \IR^3 [/mm] , Phi(x):= [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 3 \\ 2 & 1}*x [/mm], bezüglich der Basis A= [mm] \{ \pmat{ 2 \\ -1},\pmat{ 1 \\ 3} \} [/mm] des [mm] \IR^2 [/mm] und B= [mm] [mm] \{ \pmat{ 0 \\ 1 \\ 1},\pmat{ 1 \\ 2 \\ 1},\pmat{ -4 \\ -1 \\ 2} \}. [/mm] |
Ich habe eine wage Vermutung wie es gehen könnte, bin mir aber nicht sicher.
Also ich würde mir zuerst die Matrix S zum Basiswechsel von A nach B berechnen und diese Matrix S dann mit der Matrix der linearen Abbildung [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 3 \\ 2 & 1} [/mm] multiplizieren.
Kann das so in die Richtung irgendwie funktionieren?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 So 14.12.2008 | | Autor: | trek |
OK, hab in der Zwischenzeit etwas im Internet nachgelesen und weiß schon dass mein angegebener Ansatz schwachsinn war.
Hier mein neuer:
Also die gesuchte Matrix ergibt sich aus:
A=[mm] Phi_(v_1,v_2) \circ f \circ Phi^-1_(w_1,w_2,w_3) [/mm]
wobei [mm] w_1,w_2,w_3 [/mm] die Vektoren der Basis B sind und
[mm] v_1,v_2 [/mm] die Vektoren der Basis A sind.
f ist einfach die Matrix die die lineare Abbildung darstellt.
Nur weiß ich jetzt noch nicht wie man was miteinander mulitiplierzen muss bzw. was man herauslesen muss um auf die Matrix zu kommen.
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> Bestimmen Sie die Matrix [Phi]A,B der linearen Abbildung
> Phi: [mm]\IR^2 \to \IR^3[/mm] , Phi(x):= [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 3 \\ 2 & 1}*x [/mm],
> bezüglich der Basis A= [mm]\{ \pmat{ 2 \\ -1},\pmat{ 1 \\ 3} \}[/mm]
> des [mm]\IR^2[/mm] und B= [mm][mm]\{ \pmat{ 0 \\ 1 \\ 1},\pmat{ 1 \\ 2 \\ 1},\pmat{ -4 \\ -1 \\ 2} \}.[/mm]
Ich habe eine wage Vermutung wie es gehen könnte, bin mir aber nicht sicher.
Also ich würde mir zuerst die Matrix S zum Basiswechsel von A nach B berechnen und diese Matrix S dann mit der Matrix der linearen Abbildung [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 3 \\ 2 & 1}[/mm] multiplizieren.
Kann das so in die Richtung irgendwie funktionieren?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
also es ist [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 3 \\ 2 & 1} [/mm] die Darstellungsmatrix von [mm] \varphi [/mm] bzgl. der Standardbasen im [mm] \IR^2 [/mm] und [mm] \IR^3 [/mm] und gesucht ist die Darstellungsmatrix bzgl. zweier anderer Basen $A$ und $B$. Nun kannst du entweder zwei Transformationsmatrizen bestimmen, nämlich einmal die von der Standardbasis des [mm] \IR^2 [/mm] in $A$ und die des [mm] \IR^3 [/mm] in $B$.
Oder du berechnest die Darstellungsmatrix direkt neu, mit dem Standard-Kochrezept:
1. Bilde die Basisvektoren von A ab
2. Stelle die Bilder der Basisvektoren als Linearkombination der Basisvektoren von B dar
3. Schreibe die in 2. berechneten Koeffizienten spaltenweise in eine Matrix
also 1.) [mm] $\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 3 \\ 2 & 1}*\vektor{2 \\ -1}=\vektor{2 \\ -3 \\ 3}$ [/mm] .....mit dem zweiten vektor entsprechend...
2.) [mm] $\vektor{2 \\ -3 \\ 3}=a*\vektor{0 \\ 1 \\ 1}+b*\vektor{1 \\ 2 \\ 1} +c*\vektor{-4 \\ -1 \\ 2}$ [/mm] berechne $a,b,c$......
3.) [mm] $\pmat{ a & a' \\ b & b' \\ c & c'}$
[/mm]
wobei $a',b',c'$ die koeffizienten vom zweiten vektor der basis A sind...
ist meiner meinung nach beides so ziemlich der gleiche aufwand...
lieben gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 So 14.12.2008 | | Autor: | trek |
Wow, erstmal danke für die klar verständliche Anwort. Sogar mit Ausführung der Rechenschritte. Deine 2. Möglichkeit zur Berechnung der Matrix habe ich jetzt verstanden, vielen herzlichen Dank.
Mich würde aber auch noch dein 2. möglicher Lösungsweg interessieren, um das Ergebnis meiner Rechnung kontrollieren zu können:
>Nun kannst du entweder zwei Transformationsmatrizen bestimmen, >nämlich einmal die von der Standardbasis des [mm]\IR^2[/mm] in [mm] >[/mm] und die des [mm]\IR^3[/mm] in [mm]B[/mm].
Also ich habe zuerst die beiden Transformationsmatrizen bestimmt:
[mm] \pmat{ 1 \\ 0 } [/mm] = [mm] a* \pmat{ 2 \\ -1 } + b* \pmat{ 1 \\ 3 } [/mm] .... berechne a,b
Das gleiche dann nochmal für den Einheitsvektor [mm] \pmat{ 0 \\ 1 } [/mm]. ... berechne a',b'
Dann komme ich hier auf die Transformationsmatrize [mm] M_A = \pmat{ \bruch{3}{7} & \bruch{1}{7} \\ \bruch{-1}{7} & \bruch{2}{7} } [/mm]
gleiches Vorgehen für die Transformationsmatrize von B.... und ich kommen auf:
[mm] M_B [/mm] = [mm] \pmat{ 5 & -6 & 7 \\ -3 & 4 & -4 \\ -1 & 1 & -1 } [/mm]
Wie komme ich jetzt mit diesen 2 Transformationsmatrizen und der gegebenen Abbildungsmatrize auf die Darstellungsmatrix?
Bzw. stimmen die Schritte bis hier her?
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Hallo, also erstmal zu deiner Art Transformationsmatrizen zu bestimmen: Am einfachsten geht es immer von einer komischen Basis in die Standardbasis, bei deinem Beispiel also
von $A$ in die Standardbasis, das ist [mm] T_A=\pmat{2 & 1 \\ -1 & 3} [/mm] und [mm] T_B=\pmat{0 & 1 & -4 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 2}
[/mm]
Also: Diese [mm] T_A [/mm] ist eine Transformationsmatrix in die du irgendwas was bzgl. $A$ dargestellt ist reinpackst und heraus kommt etwas was bzgl. der Standardbasis dargestellt ist. [mm] T_A^{-1} [/mm] ist die Umkehrung dessen...
Dein Ziel ist es von A nach B abzubilden, du kennst aber nur die Abbildung bzgl. der Standardbasen (nennen wir sie mal [mm] E_2 [/mm] und [mm] E_3), [/mm] also gehst du von A nach [mm] E_2, [/mm] bildest ab, gehst von [mm] E_3 [/mm] nach B und hast die Darstellungsmatrix bzgl. A und B... Das geht wie folgt
Berechne [mm] $M_\varphi^{A,B}=T_B^{-1}* M_\varphi^{E} [/mm] * [mm] T_A$
[/mm]
von rechts nach links gelesen: [mm] T_A [/mm] geht von A nach [mm] E_2 [/mm] (die Matrix hast du schon), [mm] M_\varphi^{E} [/mm] ist die Darstellungsmatrix von [mm] \varphi [/mm] bzgl. [mm] E_2 [/mm] und [mm] E_3, [/mm] diese bildet von [mm] E_2 [/mm] nach [mm] E_3 [/mm] ab (die Matrix kennst du auch schon), [mm] T_B^{-1} [/mm] geht von [mm] E_3 [/mm] nach B (dafür musst du einmal [mm] T_B [/mm] invertieren, das gibt dann genau die Matrix die du angegeben hattest [mm] \pmat{ 5 & -6 & 7 \\ -3 & 4 & -4 \\ -1 & 1 & -1 }.....und [/mm] du erhälst [mm] M_\varphi^{A,B}, [/mm] die Darstellungsmatrix von [mm] \varphi [/mm] bzgl. A und B...
lieben Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Mo 15.12.2008 | | Autor: | rainman_do |
Übrigens ist deine Transformationsmatrix von A nach [mm] E_2, [/mm] die du ausgerechnet hattest) genau die Inverse also von [mm] E_2 [/mm] nach A (abgesehen von kleinen Vorzeichenfehlern).
Und ganz wichtig: Sag bitte niemals "Matrize", die Einzahl ist Matrix!
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