Lineare Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 So 25.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich hab mal eine Frage zu linearen Abbildungen und ihren Matrizen.
Also ich habe jetzt verstanden, dass ich jeder linearen Abbildung $f:V [mm] \to [/mm] W$ eine Matrix A zuordnen kann. Die Einträge von A erhalte ich, wenn ich die Basisvektoren aus V mit f abbilde und den entstandenen Funktionswert als Linearkombination der Basisvektoren aus W darstelle. Die dabei entstehenden Koeffizienten der Linearkombination bilden dann die Einträge von A.
Soweit ist es doch richtig, oder?
Jetzt meine Frage(n):
Kann ich diese Matrix nun auf alle Elemente aus V anwenden, und bekomme dann direkt den zugehörigen Funktionswert?
Ein Buch sagt es so.
In einem anderen lese ich, dass diese Methode nur funktioniert, wenn V und W der [mm] K^n [/mm] bzw. der [mm] K^m [/mm] sind. Möchte ich dann aber die Matrix für eine allgemeine lineare Abbildung $f:V [mm] \to [/mm] W$, wo V und W nicht zwangsweise [mm] K^n [/mm] und [mm] K^m [/mm] sind, so muss ich erst einen Umweg gehen, indem ich eine Abbildung [mm] $f_1: [/mm] V [mm] \to K^n$ [/mm] (Isomorphismus) und eine Abbildung [mm] $f_2: [/mm] W [mm] \to K^m$ [/mm] bilde (Isomorphismus), damit erhalte ich dann zwischen [mm] K^n [/mm] und [mm] K^m [/mm] auch eine lineare Abbildung [mm] f_3 [/mm] (auch Isomorphismus), dem ich dann eine Matrix A zuordnen kann (weil die Abbildung von [mm] K^n [/mm] nach [mm] K^m [/mm] geht), und die Matrix zu f bekomme ich dann, indem ich f als Komposition von [mm] f_1,f_2,f_3 [/mm] darstelle.
Welche Methode ist denn nun die richtige?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 So 25.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Abbildung V nach [mm] K^n [/mm] sagt doch, dass du jetzt vektoren hast, die man als n tupel von Zahlen schreiben kann.
Wenn du etwa den 4d Vektorraum der Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 3 hast, was willst du da mit ner Matrix?
Was du als erstes beschrieben hast ist doch was du mit Basisvektoren machst. ein VR ist ein VR auch ohne vorgegebene Basis. D.h. es macht gar keinen Sinn dazu ne matrix hinzuschreiben.
Die Beschreibung im ersten Teil hab ich auch nicht ganz verstanden, Die Bilder der Basisvektoren von V sind einfach die Spalten der Matrix die V auf W abbildet. oder hast du von der Umkehrabbildung gesprochen?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 So 25.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Leduart!
Leider hilft mir deine Antwort nicht wirklich weiter.
Du sagtest auch, dass du einen Teil meiner Frage nicht ganz verstanden hast.
Ich versuche es nochmal neu zu formulieren, am besten mal Stück für Stück.
Also:
Ich kann doch jede lineare Abbildung $f:V [mm] \to [/mm] W$ mit einer Matrix darstellen.
Diese Matrix erhalte ich wie folgt:
Ich wähle eine Basis aus V und eine Basis aus W.
Ich bilde die Elemente der Basis von V mit f nach W ab.
Die Bilder der Basis von V sind dann Elemente von W.
Also kann ich sie eindeutig als Linearkombination mit den Basiselementen von W darstellen.
Ich bilde also für jedes Basis-Bild die Linearkombination.
Die Koeffizienten der Linearkombinationen, die ich dabei erhalte, sind die Einträge der Matrix, die zu dieser linearen Abbildung gehört.
Und nun kann ich für jedes Element $v [mm] \in [/mm] V$ den zugehörigen Funktionswert nicht nur direkt über die Abbildung erhalten, ich kann auch meine Matrix auf dieses Element anwenden.
Ist es bis hierhin richtig?
LG, Nadine
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Hallo
> Hallo Leduart!
>
> Leider hilft mir deine Antwort nicht wirklich weiter.
> Du sagtest auch, dass du einen Teil meiner Frage nicht
> ganz verstanden hast.
> Ich versuche es nochmal neu zu formulieren, am besten mal
> Stück für Stück.
>
> Also:
>
> Ich kann doch jede lineare Abbildung [mm]f:V \to W[/mm] mit einer
> Matrix darstellen.
> Diese Matrix erhalte ich wie folgt:
> Ich wähle eine Basis aus V und eine Basis aus W.
> Ich bilde die Elemente der Basis von V mit f nach W ab.
> Die Bilder der Basis von V sind dann Elemente von W.
> Also kann ich sie eindeutig als Linearkombination mit den
> Basiselementen von W darstellen.
> Ich bilde also für jedes Basis-Bild die
> Linearkombination.
> Die Koeffizienten der Linearkombinationen, die ich dabei
> erhalte, sind die Einträge der Matrix, die zu dieser
> linearen Abbildung gehört.
>
> Und nun kann ich für jedes Element [mm]v \in V[/mm] den
> zugehörigen Funktionswert nicht nur direkt über die
> Abbildung erhalten, ich kann auch meine Matrix auf dieses
> Element anwenden.
>
> Ist es bis hierhin richtig?
>
Ja. Und nein.
Wenn du jetzt in V und W Basen betrachtest, die nicht die Standardbasen sind, dann gilt das meines Wissens nach i.A nicht. D.h du musst mit einer Basistransformation arbeiten.
Nehmen wir A' Basis von V, B' Basis von W, A' und B' nicht die Standardbasen und A bzw. B die Standardbasen von V bzw. W.
Was du jetzt möchtest ist die Darstellungsmatrix der lin. Abbildung f: V [mm] \to [/mm] W bezüglich den Basen A' und B', oder?
(Habe ich das richtig verstanden?)
Dann musst du zuerst eine Basistransformation in V und in W durchführen. also die Matrizen [mm] T_{A'}^{A} [/mm] und [mm] T_{B'}^{B} [/mm] bestimmen (das solltest du ja können, oder?)
Als nächstes bestimmst du die Darstellungsmatrix deiner linearen Abbildung bezüglich den Standardbasen, also f: V [mm] \to [/mm] W bezüglich A und B (Einfach die Standardvektoren mit f Abbilden..) Diese Matrix nennen wir [mm] M_{B}^{A}.
[/mm]
Jetzt hast du also 3 Matrizen. [mm] T_{A'}^{A}, T_{B'}^{B} [/mm] und [mm] M_{B}^{A}.
[/mm]
Deine gesuchte Matrix wäre nun [mm] M_{B'}^{A'}.
[/mm]
Diese kriegst du durch die Transformationsformel:
[mm] M_{B'}^{A'} [/mm] = [mm] T_{B'}^{B}*M_{B}^{A}*(T_{A'}^{A})^{-1}
[/mm]
> LG, Nadine
Ich hoffe das hilft dir weiter :)
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 So 25.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Amaro!
Danke für deine Antwort.
> Ja. Und nein.
>
> Wenn du jetzt in V und W Basen betrachtest, die nicht die
> Standardbasen sind, dann gilt das meines Wissens nach i.A
> nicht. D.h du musst mit einer Basistransformation
> arbeiten.
>
> Nehmen wir A' Basis von V, B' Basis von W, A' und B' nicht
> die Standardbasen und A bzw. B die Standardbasen von V bzw.
> W.
>
> Was du jetzt möchtest ist die Darstellungsmatrix der lin.
> Abbildung f: V [mm]\to[/mm] W bezüglich den Basen A' und B', oder?
> (Habe ich das richtig verstanden?)
>
> Dann musst du zuerst eine Basistransformation in V und in W
> durchführen. also die Matrizen [mm]T_{A'}^{A}[/mm] und [mm]T_{B'}^{B}[/mm]
> bestimmen (das solltest du ja können, oder?)
>
> Als nächstes bestimmst du die Darstellungsmatrix deiner
> linearen Abbildung bezüglich den Standardbasen, also f: V
> [mm]\to[/mm] W bezüglich A und B (Einfach die Standardvektoren mit
> f Abbilden..) Diese Matrix nennen wir [mm]M_{B}^{A}.[/mm]
>
> Jetzt hast du also 3 Matrizen. [mm]T_{A'}^{A}, T_{B'}^{B}[/mm] und
> [mm]M_{B}^{A}.[/mm]
>
> Deine gesuchte Matrix wäre nun [mm]M_{B'}^{A'}.[/mm]
>
> Diese kriegst du durch die Transformationsformel:
>
> [mm]M_{B'}^{A'}[/mm] = [mm]T_{B'}^{B}*M_{B}^{A}*(T_{A'}^{A})^{-1}[/mm]
>
>
> > LG, Nadine
>
> Ich hoffe das hilft dir weiter :)
Hmm, ich dachte eigentlich, dass es auch für Nicht-Standard-Basen gilt, zumindest habe ich es aus meiner Vorlesungsmitschrift so entnommen ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
Basistransformation, dass sagt mir jetzt so erstmal nix, ich glaube, dass hatten wir noch nicht. Ich schreib einfach mal, was wir hatten. Als erstes hatten wir:
Sei $f:V [mm] \to [/mm] W$ eine K-lineare Abbildung, $dim(v)=n$, $dim(W)=m$. Betrachte Basen: [mm] $v_1,...,v_n \in [/mm] V$, [mm] $w_1,...,w_m \in [/mm] W$. Dann ordnet man der Abbildung f eine Matrix [mm] $M_{f,\{v_j\},\{w_i\}} \in [/mm] M(n [mm] \times [/mm] n,K)$ zu.
[Die Matrix [mm] $M_{f,\{v_j\},\{w_i\}} [/mm] wird berechnet, wie ich es oben beschrieben hatte.]
Und in einem meiner Bücher (Beutelsbacher, Lineare Algebra) steht:
Es gibt nicht nur die Matrix, die eine lineare Abbildung f beschreibt, sondern viele, und zwar zu jeder Basis von V und jeder Basis von W genau eine.
Daraus schließe ich, dass es nicht nur bei Standard-Basen funktioniert, sondern bei jeder.
Dann haben wir hier einen Spezialfall:
Betrachten $V=W$. Wählen zwei Basen [mm] $v_1,...,v_n \in [/mm] V$, [mm] $w_1,...,w_m \in [/mm] W$.
Dann betrachten wir $f=id:V [mm] \to [/mm] V$, $v [mm] \mapsto [/mm] v$. [mm] $M_{\{v_j\},\{w_i\}}:=M_{id,\{v_j\},\{w_i\}} [/mm] Übergangsmatrix, die Basiswechsel von [mm] $v_1,...,v_n \in [/mm] V$ nach [mm] $w_1,...,w_m \in [/mm] W$ beschreibt.
Wenn [mm] $M_{\{v_j\},\{w_i\}}=(a_{ij})_{i,j=1,..,n}, [/mm] dann [mm] $v_j=\summe_{i=1}^{n}a_{ij}w_i$. [/mm] D.h. [mm] $M_{\{v_j\},\{w_i\}}=(a_{ij})$ [/mm] drückt aus, wie man die Vektoren der ersten Basis als Linearkombination der Vektoren der zweiten Basis schreibt.
[Ich glaube hier muss m=n sein.]
So, aber dürfte auch nicht das sein, was du mit Basistransformation meinst, oder?
Wobei ich da auch nicht ganz durchblicke, das sagt mir ja nur, wie ich eine Matrix zu genau der Abbildung finde, die die Vektoren der einen Basis auf die Vektoren der anderen Basis abbildet, oder? Aber ich dachte, es geht dabei um die Identitäts-Abbildung, und die bildet doch eine Basis wieder auf sich selbst ab, oder nicht?
Dann hab ich noch folgendes:
[mm] $v_1,...,v_n \in [/mm] V$ Basis [mm] \rightarrow $f_{v_j}:V \to K^n$ [/mm] isomorph, [mm] v=\summe_{j=1}^{n}a_jv_j \mapsto \summe_{j=1}^{n}a_je_j
[/mm]
[mm] $w_1,...,w_m \in [/mm] V$ Basis [mm] \rightarrow $f_{w_i}:W \to K^m$ [/mm] isomorph, [mm] w=\summe_{j=1}^{m}a_jv_j \mapsto \summe_{j=1}^{m}a_je_j [/mm]
[mm] $v_1,...,v_n \in [/mm] V$ Basis und [mm] $w_1,...,w_m \in [/mm] V$ Basis [mm] $\rightarrow [/mm] Hom(V,W) [mm] \to [/mm] M(m [mm] \times [/mm] n,K), f [mm] \mapsto M_f$ [/mm] isomorph
[mm] $Hom(K^n,K^m) \to [/mm] M(m [mm] \times [/mm] n,K)$ isomorph
Diese Isomorphien sind verträglich: Sei $f:V [mm] \to [/mm] W$. Dann definieren wir $g: [mm] g=f_{w_i} \circ [/mm] f [mm] \circ f^{-1}_{v_j}$
[/mm]
Was haben [mm] M_f [/mm] und [mm] $M_g$ [/mm] miteinander zu tun?
[mm] M_f=M_g
[/mm]
Ja, das versteh ich irgendwie nicht...
Dann haben wir einen Satz:
Sei [mm] $f:K^n \to K^m$ [/mm] eine lineare Abbildung. Dazu assoziieren wir [mm] M_f [/mm] (bzgl. Standard-Basis):
Dann gilt [mm] $f(\vektor{a_1 \\ \vdots \\ a_n})=M_f*\vektor{a_1 \\ \vdots \\ a_n}$ [/mm] für alle [mm] $\vektor{a_1 \\ \vdots \\ a_n} \in K^n$. [/mm]
So, daraus schließe ich jetzt, im Gegensatz zur ersten Aussage, dass das Anwenden der Matrix plötzlich nur noch für Vektorräume von Tupeln und nur noch bzgl. Standardbasis gilt.
Unser Fazit lautet:
Lineare Abbildung [mm] f:K^n \to K^m [/mm] werden durch Multipliaktion [mm] $\vektor{a_1 \\ \vdots \\ a_n} \mapsto M_f\vektor{a_1 \\ \vdots \\ a_n}$ [/mm] beschrieben.
Ja, und was ist jetzt mit den linearen Abbildungen, die nicht von [mm] K^n [/mm] nach [mm] K^m [/mm] abbilden? Da hatten wir doch am Anfang gesagt, dass man die auch durch eine Matrix beschreiben kann. Warum kann ich da dann nicht auch die Matrizenmultipliaktion anwenden?
So, das war jetzt ziemlich viel, aber ich dachte, es ist vieleicht besser, wenn ich mal alles aufschreibe was ich habe.
Ich bin für jede Hilfe dankbar.
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 So 25.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo nadine
Wie gibst du den ne Basis von nem beliebigen VR nicht [mm] K^n [/mm] an.
z.Bsp der im 1 ten post erwaehnten Vr der polynome?
Das sind von allein doch keine n-tupel von Zahlen, sondern die Basis besteht aus Polynomen.
die matrix ist ein Gebilde, das man nach Def der Mult. mit n Tupeln von Zahlen multiplizieren kann, nicht mit Funktionen.
also musst du zuerst den VR der fkt. aif hier [mm] \IR^4 [/mm] abbilden, damit eine matrixmult. ueberhaupt sinn macht.
Welche Beispiele fuer VR die nicht [mm] K^n [/mm] sind kennst du denn?
Dann ueberleg dir fuer die, wie du ihre "Vektoren" mit ner Matrix multipl. willst.
ich denk mir, dass du die Abbildung V navh [mm] K^n [/mm] gleich "mitdenkst" und direkt, die Basis [mm] 1,x,x^2, x^3 [/mm] des polynomraums P abbildest in etwa [mm] x=\vektor{0\\1\\0\\0} x^3 [/mm] in [mm] \vektor{0\\0\\0\\1} [/mm] aus [mm] \IR^4 [/mm] usw. da hast du aber schon genau die lin. Abb von P nach [mm] \IR^4. [/mm] in Gedanken bzw. realitaet gemacht.
(Das mit V nach W, wenn beide [mm] K^n [/mm] sind hast du richtig.)
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 So 25.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Leduart!
Danke für deine Antwort!
> Hallo nadine
> Wie gibst du den ne Basis von nem beliebigen VR nicht [mm]K^n[/mm]
> an.
> z.Bsp der im 1 ten post erwaehnten Vr der polynome?
> Das sind von allein doch keine n-tupel von Zahlen, sondern
> die Basis besteht aus Polynomen.
> die matrix ist ein Gebilde, das man nach Def der Mult. mit
> n Tupeln von Zahlen multiplizieren kann, nicht mit
> Funktionen.
> also musst du zuerst den VR der fkt. aif hier [mm]\IR^4[/mm]
> abbilden, damit eine matrixmult. ueberhaupt sinn macht.
> Welche Beispiele fuer VR die nicht [mm]K^n[/mm] sind kennst du
> denn?
> Dann ueberleg dir fuer die, wie du ihre "Vektoren" mit ner
> Matrix multipl. willst.
> ich denk mir, dass du die Abbildung V navh [mm]K^n[/mm] gleich
> "mitdenkst" und direkt, die Basis [mm]1,x,x^2, x^3[/mm] des
> polynomraums P abbildest in etwa [mm]x=\vektor{0\\1\\0\\0} x^3[/mm]
> in [mm]\vektor{0\\0\\0\\1}[/mm] aus [mm]\IR^4[/mm] usw. da hast du aber
> schon genau die lin. Abb von P nach [mm]\IR^4.[/mm] in Gedanken bzw.
> realitaet gemacht.
>
> (Das mit V nach W, wenn beide [mm]K^n[/mm] sind hast du richtig.)
> Gruss leduart
Achso...
Also wenn ich zwei nicht-Tupel-Vektorräume V und W habe (z.B. VR der Polynome), dann muss ich deren Basen erst in Tupel aus [mm] K^n [/mm] und [mm] K^m [/mm] umschreiben?
Und mit diesen neuen Basen bastel ich dann meine zur Abbildung gehörende Matrix?
Wobei dann die Matrix, die zur Abbildung von [mm] K^n [/mm] nach [mm] K^m [/mm] gehört, die gleiche Matrix ist, die zur Abbildung von V nach W gehört?
Die Abbildung zwischen [mm] K^n [/mm] und [mm] K^m, [/mm] die ich dann dafür brauche, um mit der neu ermittelte Basis die Matrix zu erstellen, ist das dann diese Kompostion der drei anderen Abbildungen [mm] ($g:K^n \to K^m, g=f_{w_i} \circ [/mm] f [mm] \circ f^{-1}_{v_j}$)?
[/mm]
Und wenn ich diese Matrix dann habe, dann kann ich sie auf alle Elemente von V (z.B. Polynome) anwenden, indem ich die Elemente aus V dann auch erst wieder als Tupel darstelle, also als [mm] K^n, [/mm] und dann Matrixmultiplikation mache. Und mein Ergebnistupel kann ich dann danach einfach wieder in Nicht-Tupel-Schreibweise zurück transformieren und hab dann quasi den Funktionswert eines Polynoms unter der Abbildung von V nach W gefunden?
LG, Nadine
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:19 So 25.10.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
> Also wenn ich zwei nicht-Tupel-Vektorräume V und W habe
> (z.B. VR der Polynome), dann muss ich deren Basen erst in
> Tupel aus [mm]K^n[/mm] und [mm]K^m[/mm] umschreiben?
>
> Und mit diesen neuen Basen bastel ich dann meine zur
> Abbildung gehörende Matrix?
>
> Wobei dann die Matrix, die zur Abbildung von [mm]K^n[/mm] nach [mm]K^m[/mm]
> gehört, die gleiche Matrix ist, die zur Abbildung von V
> nach W gehört?
>
> Die Abbildung zwischen [mm]K^n[/mm] und [mm]K^m,[/mm] die ich dann dafür
> brauche, um mit der neu ermittelte Basis die Matrix zu
> erstellen, ist das dann diese Kompostion der drei anderen
> Abbildungen ([mm]g:K^n \to K^m, g=f_{w_i} \circ f \circ f^{-1}_{v_j}[/mm])?
>
Sry, aber ich verstehe echt nicht, wass hier jetzt deine f's sind...
Wenn V und W Vektorräume von Polynomen sind und du eine lineare Abbildung zwischen die beiden gegeben hast, dann können mehrere Sachen gesucht sein.
Wenn du dann bloss eine Darstellungsmatrix der linearen Abbildugn möchtest, dann reicht es, wenn du die Standardbasis der Vektorräume betrachtest und dann die Basisvektoren mit deiner Abbildung abbildest. Ich meine, selbst der Vektorraum der Polynome hat eine sehr einfache Standardbasis (man muss einfach wissen, wass die Vektorschreibweise bedeutet).
Die Bilder deiner Vektoren sind dann die Spalten der darstellenden Matrix.. mehr musst du nicht machen
Wenn du jetzt aber die darstellende Matrix bezüglich konkreten Basen haben möchtest, welche nicht die Standardbasen sind, dann musst du eben mit dieser Basistransformation arbeiten.
> Und wenn ich diese Matrix dann habe, dann kann ich sie auf
> alle Elemente von V (z.B. Polynome) anwenden, indem ich die
> Elemente aus V dann auch erst wieder als Tupel darstelle,
> also als [mm]K^n,[/mm] und dann Matrixmultiplikation mache. Und mein
> Ergebnistupel kann ich dann danach einfach wieder in
> Nicht-Tupel-Schreibweise zurück transformieren und hab
> dann quasi den Funktionswert eines Polynoms unter der
> Abbildung von V nach W gefunden?
>
> LG, Nadine
Aber da musst du natürlich berücksichtigen (bzw. im Kopf behalten), dass du deine Darstellung bezüglich 2 konkreten Basen hast.
Grüsse, Amaro
P.S: Ich stelle das als Mitteilung rein, da ich nicht weiss, ob dies deine Frage beantwortet.. :)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 So 25.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> Wenn du jetzt aber die darstellende Matrix bezüglich
> konkreten Basen haben möchtest, welche nicht die
> Standardbasen sind, dann musst du eben mit dieser
> Basistransformation arbeiten.
>
> > Und wenn ich diese Matrix dann habe, dann kann ich sie auf
> > alle Elemente von V (z.B. Polynome) anwenden, indem ich die
> > Elemente aus V dann auch erst wieder als Tupel darstelle,
> > also als [mm]K^n,[/mm] und dann Matrixmultiplikation mache. Und mein
> > Ergebnistupel kann ich dann danach einfach wieder in
> > Nicht-Tupel-Schreibweise zurück transformieren und hab
> > dann quasi den Funktionswert eines Polynoms unter der
> > Abbildung von V nach W gefunden?
>
> Aber da musst du natürlich berücksichtigen (bzw. im Kopf
> behalten), dass du deine Darstellung bezüglich 2 konkreten
> Basen hast.
Das mit der Basistransformation verstehe ich nicht... sowas hatten wir irgendwie nicht.
Alles was wir hatten, habe ich in die eine Frage reingeschrieben... :-(
Ich hab es irgendwie so verstanden, dass es egal ist, welche Basen man hat, dass man dann halt nur für verschiedene Basen auch verschiedene darstellende Matrizen hat.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 So 25.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. was du "umschreiben" nennst ist genau der Isomorphismus von V nach [mm] K^n [/mm] von der du im ersten post geredet hast,
Ich zitier dich:
"Möchte ich dann aber die Matrix für eine allgemeine lineare Abbildung $ f:V [mm] \to [/mm] W $, wo V und W nicht zwangsweise $ [mm] K^n [/mm] $ und $ [mm] K^m [/mm] $ sind, so muss ich erst einen Umweg gehen, indem ich eine Abbildung $ [mm] f_1: [/mm] V [mm] \to K^n [/mm] $ (Isomorphismus) und eine Abbildung $ [mm] f_2: [/mm] W [mm] \to K^m [/mm] $ bilde.
Das hat du genau mit deinem "umschreiben" gemacht, jedem Vektor aus V einen Vektor aus [mm] K^n [/mm] zugeordnt und zwar linear.
Welche Basen man dabei verwendet ist egal. Es muss nur klar sein, dass es verschiedene Basen gibt.
Wenn man 2 verschiedene Basen etwa fur [mm] K^n [/mm] hat, und ne Abb, dann sieht die matrix fuer die verschiedenen Basen eben verschieden aus.
man kann die 2 matrices einfach herstellen, oder man hat ne Matrix die die einen basen in die anderen umrechnet, und verknuepft dann die 2.
Diese "Basistransformation lernt ihr sicher demnaechst, sie muss dich davor nicht kuemmern.
Was du mit den fs sagen wolltest hab ich auch nicht kapiert. ohne, dass du zu jedem f sagst, was es tut, kann man nichts ueber die Verknuepfung sagen.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 So 25.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Leduart!
Danke für die Antwort!
> 1. was du "umschreiben" nennst ist genau der
> Isomorphismus von V nach [mm]K^n[/mm] von der du im ersten post
> geredet hast,
> Ich zitier dich:
> "Möchte ich dann aber die Matrix für eine allgemeine
> lineare Abbildung [mm]f:V \to W [/mm], wo V und W nicht zwangsweise
> [mm]K^n[/mm] und [mm]K^m[/mm] sind, so muss ich erst einen Umweg gehen, indem
> ich eine Abbildung [mm]f_1: V \to K^n[/mm] (Isomorphismus) und eine
> Abbildung [mm]f_2: W \to K^m[/mm] bilde.
> Das hat du genau mit deinem "umschreiben" gemacht, jedem
> Vektor aus V einen Vektor aus [mm]K^n[/mm] zugeordnt und zwar
> linear.
> Welche Basen man dabei verwendet ist egal. Es muss nur
> klar sein, dass es verschiedene Basen gibt.
> Wenn man 2 verschiedene Basen etwa fur [mm]K^n[/mm] hat, und ne
> Abb, dann sieht die matrix fuer die verschiedenen Basen
> eben verschieden aus.
> man kann die 2 matrices einfach herstellen, oder man hat
> ne Matrix die die einen basen in die anderen umrechnet, und
> verknuepft dann die 2.
> Diese "Basistransformation lernt ihr sicher demnaechst,
> sie muss dich davor nicht kuemmern.
Also war meine Zusammenfassung auf deine Antwort (die du hier grade zietiert hast) dann soweit richtig?
> Was du mit den fs sagen wolltest hab ich auch nicht
> kapiert. ohne, dass du zu jedem f sagst, was es tut, kann
> man nichts ueber die Verknuepfung sagen.
Ich meinte das hier:
[mm] $v_1,...,v_n \in [/mm] V$ Basis [mm] \rightarrow $f_{v_j}:V \to K^n$ [/mm] isomorph, [mm] v=\summe_{j=1}^{n}a_jv_j \mapsto \summe_{j=1}^{n}a_je_j
[/mm]
[mm] $w_1,...,w_m \in [/mm] W$ Basis [mm] \rightarrow $f_{w_i}:W \to K^m$ [/mm] isomorph, [mm] w=\summe_{j=1}^{m}a_jv_j \mapsto \summe_{j=1}^{m}a_je_j
[/mm]
[mm] $v_1,...,v_n \in [/mm] V$ Basis und [mm] $w_1,...,w_m \in [/mm] V$ Basis [mm] $\rightarrow [/mm] Hom(V,W) [mm] \to [/mm] M(m [mm] \times [/mm] n,K), f [mm] \mapsto M_f$ [/mm] isomorph
[mm] $Hom(K^n,K^m) \to [/mm] M(m [mm] \times [/mm] n,K)$ isomorph
Diese Isomorphien sind verträglich: Sei $f:V [mm] \to [/mm] W$. Dann definieren wir $g: [mm] g=f_{w_i} \circ [/mm] f [mm] \circ f^{-1}_{v_j}$
[/mm]
Was haben [mm] M_f [/mm] und [mm] $M_g$ [/mm] miteinander zu tun?
[mm] M_f=M_g [/mm]
Also wenn jetzt V und W z.B. Vektorräume der Polynome sind, wähle ich aus beiden eine Basis und rechne diese um in Tupel aus [mm] K^n [/mm] und [mm] K^m.
[/mm]
Zwischen V und W herrscht eine lineare Abbildung f mit zugehöriger Matrix [mm] M_f.
[/mm]
Und zwischen [mm] K^n [/mm] und [mm] K^m [/mm] kann ich einen Isomorphismus g finden, der dann die Komposition [mm] $g=f_{w_i} \circ [/mm] f [mm] \circ f^{-1}_{v_j}$ [/mm] ist.
Für die Abbildung zwischen [mm] K^n [/mm] und [mm] K^m [/mm] gibt es dann die Matrix [mm] M_g.
[/mm]
Erhalte ich [mm] M_g [/mm] dann durch einsetzen der "neuen Basisvektoren" in die Komposition?
Vielleicht könntest du mir ein konkretes Beispiel geben, an dem ich es einfach mal berechnen kann?
Vielleicht wird mir dann die Theorie ein bisschen klarer.
In meinen Unterlagen habe ich keins.
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Mo 26.10.2009 | | Autor: | DaMenge |
Hi zusammen,
vielleicht versuche ich hier auch mal eine etwas vereinfachte Antwort:
> Vielleicht könntest du mir ein konkretes Beispiel geben,
> an dem ich es einfach mal berechnen kann?
> Vielleicht wird mir dann die Theorie ein bisschen klarer.
> In meinen Unterlagen habe ich keins.
ich versuche es mal:
Wir nehmen V="Polynome bis einschl. Grad 2" und W="Polynome bis einschl. Grad 1" und unsere lineare Abbildung f:V->W soll die normale "Ableitung" werden, ok?
Gesucht ist jetzt [mm] $M_f$ [/mm] also die Matrix, die zur Ableitung gehoert.
Erstmal muessen wir festhalten, dass eine Matrix eine Abbildung von [mm] $K^n$ [/mm] nach [mm] $K^m$ [/mm] ist, d.h. wir koennen bspw nicht das Polynom [mm] $3x^2+4x-4$ [/mm] an eine Matrix multiplizieren, sondern muessen aus solchen Polynomen erstmal einen "Vektor" machen.
[kritischer Hinweis: jedes Element eines Vektorraumes heisst Vektor, also auch die Polynome, aber im normalen Sprachgebrauch redet man von den Zahlentupeln als Vektoren!!]
Wir wollen also ein Tupel erstellen, dass unserem Polynom entspricht und das wir dann an die gesuchte Matrix multiplizieren koennen.
Also waehlen wir die kanonische Basis bei den Polynomen und erhalten somit die Zuordnung [mm] $f_1$, [/mm] die einem Polynom einen Zahlentupel aus [mm] $K^n$ [/mm] zuordnet. (Dasselbe Spiel machen wir fuer die Abbildung [mm] $f_2$ [/mm] von W nach [mm] $K^m$), [/mm] Wenn wir also f(v) suchen, machen wir :
1) v umwandeln in ein Tupel (also nach [mm] $K^n$ [/mm] abbilden)
2) Die (gesuchte) Matrix [mm] $M_f$ [/mm] auf diesen Vektor anwenden
3) das Ergebnis ist ein Element aus [mm] $K^m$, [/mm] das wir zurueck nach W wandeln muessen
Dies ergibt also die wunderbare Gleichung: (beachte, dass v von rechts multipliziert wird)
$f(v)= [mm] f_2^{-1} \cdot M_f \cdot f_1 [/mm] (v)$
Wenn wir also die Matrix suchen ergibt sich: $ [mm] M_f [/mm] = [mm] f_2 \circ [/mm] f [mm] \circ f_1^{-1}$ [/mm] als Komposition!
[kritischer Hinweis: dies entspricht deiner Formel oben fuer g, oder? Das liefert dir deinen gesuchten Zusammenhang von f und g, naemlich: f ist lineare Abbildung von V nach W und g ist die dazugehoerige von [mm] $K^n$ [/mm] nach [mm] $K^m$, [/mm] also gerade die gesuchte Matrix. [mm] $f_1$ [/mm] und [mm] $f_2$ [/mm] beschreiben hier die Umwandlung der Vektoren in Zahlentupeln, dies impliziert eine Wahl von Basis!]
Das ungefaehr wollte wohl der Autor in deiner urspruenglich zitierten Textstelle sagen. Der einzige wirkliche Unterschied zur anderen (einfacheren) zitierten Stelle ist: Der andere Autor ist davon ausgegangen, dass "Vektoren" die netten Zahlentupeln sind, also dass Vektoren schon im [mm] $K^n$ [/mm] leben und deshalb keine Umwandlung noetig ist.
Diese vereinfachte Ansicht ist daher nicht falsch oder so, sie ist halt nur etwas ungenauer, weil sie einen kleinen technischen Aspekt nicht explizit beschreibt (naemlich, dass man bspw Polynome erst in Tupeln umwandeln muss, bevor man sie mit einer Matrix multiplizieren kann).
Zusammenfassend also: Lineare Abbildungen von endl. dim. VRs kann man als Matrix schreiben, bevor man diese aber verwenden kann, muss man evtl erst noch die Vektoren aus V bzw W in solche aus [mm] $K^n$ [/mm] bzw [mm] $K^m$ [/mm] umwandeln.
ohh, jetzt hab ich mich zwar immer an das Beispiel gehalten, es aber nicht durchgerechnet. Magst du mal versuchen, ob du die Matrix zu meinem oben genannten Beispiel mit der obigen Formel berechnen kannst?
LG, DaMenge
p.s. : sag bitte bescheid, wenn Teile deiner Frage ganz beantwortet wurden.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Mo 26.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo DaMenge!
Vielen Dank für dein Beispiel und deine Erklärungen!
> ich versuche es mal:
> Wir nehmen V="Polynome bis einschl. Grad 2" und W="Polynome
> bis einschl. Grad 1" und unsere lineare Abbildung f:V->W
> soll die normale "Ableitung" werden, ok?
> Gesucht ist jetzt [mm]M_f[/mm] also die Matrix, die zur Ableitung
> gehoert.
>
> Erstmal muessen wir festhalten, dass eine Matrix eine
> Abbildung von [mm]K^n[/mm] nach [mm]K^m[/mm] ist, d.h. wir koennen bspw nicht
> das Polynom [mm]3x^2+4x-4[/mm] an eine Matrix multiplizieren,
> sondern muessen aus solchen Polynomen erstmal einen
> "Vektor" machen.
> [kritischer Hinweis: jedes Element eines Vektorraumes
> heisst Vektor, also auch die Polynome, aber im normalen
> Sprachgebrauch redet man von den Zahlentupeln als
> Vektoren!!]
> Wir wollen also ein Tupel erstellen, dass unserem Polynom
> entspricht und das wir dann an die gesuchte Matrix
> multiplizieren koennen.
>
> Also waehlen wir die kanonische Basis bei den Polynomen und
> erhalten somit die Zuordnung [mm]f_1[/mm], die einem Polynom einen
> Zahlentupel aus [mm]K^n[/mm] zuordnet. (Dasselbe Spiel machen wir
> fuer die Abbildung [mm]f_2[/mm] von W nach [mm]K^m[/mm]), Wenn wir also f(v)
> suchen, machen wir :
> 1) v umwandeln in ein Tupel (also nach [mm]K^n[/mm] abbilden)
> 2) Die (gesuchte) Matrix [mm]M_f[/mm] auf diesen Vektor anwenden
> 3) das Ergebnis ist ein Element aus [mm]K^m[/mm], das wir zurueck
> nach W wandeln muessen
>
> Dies ergibt also die wunderbare Gleichung: (beachte, dass v
> von rechts multipliziert wird)
> [mm]f(v)= f_2^{-1} \cdot M_f \cdot f_1 (v)[/mm]
>
> Wenn wir also die Matrix suchen ergibt sich: [mm]M_f = f_2 \circ f \circ f_1^{-1}[/mm]
> als Komposition!
>
> [kritischer Hinweis: dies entspricht deiner Formel oben
> fuer g, oder? Das liefert dir deinen gesuchten Zusammenhang
> von f und g, naemlich: f ist lineare Abbildung von V nach W
> und g ist die dazugehoerige von [mm]K^n[/mm] nach [mm]K^m[/mm], also gerade
> die gesuchte Matrix. [mm]f_1[/mm] und [mm]f_2[/mm] beschreiben hier die
> Umwandlung der Vektoren in Zahlentupeln, dies impliziert
> eine Wahl von Basis!]
>
> Das ungefaehr wollte wohl der Autor in deiner urspruenglich
> zitierten Textstelle sagen. Der einzige wirkliche
> Unterschied zur anderen (einfacheren) zitierten Stelle ist:
> Der andere Autor ist davon ausgegangen, dass "Vektoren" die
> netten Zahlentupeln sind, also dass Vektoren schon im [mm]K^n[/mm]
> leben und deshalb keine Umwandlung noetig ist.
> Diese vereinfachte Ansicht ist daher nicht falsch oder so,
> sie ist halt nur etwas ungenauer, weil sie einen kleinen
> technischen Aspekt nicht explizit beschreibt (naemlich,
> dass man bspw Polynome erst in Tupeln umwandeln muss, bevor
> man sie mit einer Matrix multiplizieren kann).
> Zusammenfassend also: Lineare Abbildungen von endl. dim.
> VRs kann man als Matrix schreiben, bevor man diese aber
> verwenden kann, muss man evtl erst noch die Vektoren aus V
> bzw W in solche aus [mm]K^n[/mm] bzw [mm]K^m[/mm] umwandeln.
>
> ohh, jetzt hab ich mich zwar immer an das Beispiel
> gehalten, es aber nicht durchgerechnet. Magst du mal
> versuchen, ob du die Matrix zu meinem oben genannten
> Beispiel mit der obigen Formel berechnen kannst?
>
> LG, DaMenge
>
> p.s. : sag bitte bescheid, wenn Teile deiner Frage ganz
> beantwortet wurden.
So, dann versuche ich die Matrix mal zu berechnen:
V = "Polynome bis einschließlich Grad 2"
W = "Polynome bis einschließlich Grad 1"
$f:V [mm] \to [/mm] W$ mit $v [mm] \mapsto [/mm] f'(v)$
Gesucht ist Matrix [mm] M_f [/mm] die zur Abbildung f gehört.
So, dann muss ich ja zuerst eine Basis in V und eine Basis in W wählen, die ich dann erst in Tupel umrechnen muss, um mit diesen Basis-Tupeln die Matrix zu bestimmen.
Als Basis in V wähle ich [mm] $B_V=\{1,t,t^2\}$, [/mm] also $dim(V)=3$.
Als Basis in W wähle ich [mm] $B_W=\{1,t\}$, [/mm] also $dim(W)=2$.
Nun wandle ich das in Tupel um, und zwar im Fall von V mit der Abbildung [mm] $f_{v_j}:V \to K^n$, $v=\summe_{j=1}^{n}a_jv_j \mapsto \summe_{j=1}^{n}a_je_j$ [/mm] und im Fall von W mit der Abbildung [mm] $f_{w_i}:V \to K^m$, $w=\summe_{j=1}^{m}a_jw_j \mapsto \summe_{j=1}^{m}a_je_j$.
[/mm]
Dabei sind [mm] e_j [/mm] immer die Einheitsvektoren von [mm] K^n [/mm] bzw. [mm] K^m.
[/mm]
Dann habe ich für die Basis von V:
$1 [mm] \in B_V=1*1+0*t+0*t^2 \mapsto 1*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+0*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+0*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}$
[/mm]
$t [mm] \in B_V=0*1+1*t+0*t^2 \mapsto 0*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+1*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+0*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}$
[/mm]
[mm] $t^2 \in B_V=0*1+0*t+1*t^2 \mapsto 0*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+0*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+1*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}$
[/mm]
Und für die Basis von W:
$1 [mm] \in B_W=1*1+0*t \mapsto 1*\vektor{1 \\ 0}+0*\vektor{0 \\ 1}=\vektor{1 \\ 0}$
[/mm]
$t [mm] \in B_W=0*1+1*t \mapsto 0*\vektor{1 \\ 0}+1*\vektor{0 \\ 1}=\vektor{0 \\ 1}$
[/mm]
So, jetzt kann ich ja zwischen [mm] K^n [/mm] und [mm] K^m [/mm] eine weitere Abbildung g finden, für die dann gilt: [mm] $g=f_{w_i} \circ [/mm] f [mm] \circ f_{v_j}^{-1}$.
[/mm]
[Frage 1: Das müsste ja dann die Kompostion, die du auch hast, wobei du dann schon g direkt durch [mm] M_f [/mm] ersetzt hast, oder? Warum kann man g direkt durch [mm] M_f [/mm] ersetzen? Liegt das an dieser Anmerkung aus meiner Vorlesung, dass die zu g gehörige Matrix [mm] M_g [/mm] gleich der Matrix [mm] M_f [/mm] ist? Das finde ich etwas verwirrend, weil ich dachte, dass jede lineare Abbildunge eine andere Matrix hat (zwischen lin. Abbildungen und Matrizen gibt es ja einen Isomorphismus) und hier haben zwei verschiedenen lineare Abbildnungen (nämlich einmal f und einmal g) die gleiche Matrix, weil [mm] $M_f=M_g$?]
[/mm]
[Frage 2: Wie kommst du bei deiner Komposition $ [mm] M_f [/mm] = [mm] f_2 \circ [/mm] f [mm] \circ f_1^{-1} [/mm] $ auf das Produkt $ f(v)= [mm] f_2^{-1} \cdot M_f \cdot f_1 [/mm] (v) $?]
So, um die Matrix [mm] M_g [/mm] zu bestimmen, muss ich ja nun meine umgeschriebenen Basiselemente in g einsetzen richtig?
[Frage: Die Basistupoel, die ich nun berechnet habe, sind doch die zur Basis von V entsprechende Basis im [mm] K^n, [/mm] richtig? Und die Tupel bilden deshalb wieder eine Basis, weil durch das umschreiben der Polynom-Basis in ein Tupel die lineare Unabhängigkeit nicht verloren geht, und die Dimension bleibt ja auch gleich, richtig?
Was würde passieren, wenn ich nun im [mm] K^n [/mm] eine andere Basis wählen würde?]
Also habe ich:
[mm] $g(\vektor{1 \\ 0 \\ 0})=(f_{w_i} \circ [/mm] f [mm] \circ f_{v_j}^{-1})(\vektor{1 \\ 0 \\ 0})=f_{w_i}(f(f_{v_j}^{-1}(\vektor{1 \\ 0 \\ 0})=f_{w_i}(f(1))=f_{w_i}(0)$ [/mm] (*) [mm] $=\vektor{0 \\ 0}$ [/mm] (**)
(*): Hier hab ich f angewendet und die Ableitung gebildet
(**): Hier hab ich 0 (was ja nun wieder ein Polynom ist, wieder in die Abbildung eingesetzt, die daraus ein Tupel macht.
[mm] $g(\vektor{0 \\ 1 \\ 0})=(f_{w_i} \circ [/mm] f [mm] \circ f_{v_j}^{-1})(\vektor{0 \\ 1 \\ 0})=f_{w_i}(f(f_{v_j}^{-1}(\vektor{0 \\ 1 \\ 0})=f_{w_i}(f(t))=f_{w_i}(1)=\vektor{1 \\ 0}$
[/mm]
[mm] $g(\vektor{0 \\ 0 \\ 1})=(f_{w_i} \circ [/mm] f [mm] \circ f_{v_j}^{-1})(\vektor{0 \\ 0 \\ 1})=f_{w_i}(f(f_{v_j}^{-1}(\vektor{0 \\ 0 \\ 1})=f_{w_i}(f(t^2))=f_{w_i}(2t)=\vektor{0 \\ 2}$
[/mm]
So, und nun muss ich die Bilder der Basis-Tupel noch als Linearkombination der Basis von [mm] K^m [/mm] darstellen, und die Koeffizienten, die ich dann erhalte, sind die Einträge der Matrix. Nehme ich dann als Basis von [mm] K^m [/mm] die Basis aus W, die ich in Tupel umgerechnet habe? Das wären dann die Einheitsvektoren aus [mm] K^2 [/mm] und ich hätte die Koeffizienten 0 und 0, die Koeffizienten 1 und 0 und die Koeffizienten 0 und 2.
[Frage: Was wäre auch hier, wenn ich eine andere Basis wählen würde?]
Damit erhalte ich die Matrix [mm] M_g=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 }, [/mm] die dann nach der Anmerkung aus meiner Vorlesung gleich der Matrix [mm] M_f [/mm] ist.
Ist es soweit richtig?
LG, Nadine
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 Mo 26.10.2009 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ja das sieht schonmal sehr gut und richtig aus.
Ich kann dir leider erst heut Nachmittag/Abend auf deine Teilfragen antworten, aber dein Ergebnis ist schon sehr richtig.
Als "Zusatzaufgabe" : versuch doch jetzt mal das Bild von dem Polynom $ [mm] 3x^2+4x-4 [/mm] $ mithilfe deiner Matrix auszurechnen. (Vergleiche dies auch mit dem Bild von f, was ja gerade der ableitung entspricht)
btw: ich haette die Basen so gewaehlt: $ [mm] B_V=\{t^2,t,1\} [/mm] $ und $ [mm] B_W=\{t,1\} [/mm] $ , also gerade umgekehrte Reihenfolge.
Dies *ist* eine (leicht) andere Basis! Hier kannst du ohne grosse neue Rechnungen selbst auf die neue Matrix dafuer kommen. Vielleicht beantwortest du ja damit selbst deine Fragen?
(dies halte ich auch fuer den besten Weg, denn so lernst du am meisten und hast auch noch Erfolgserlebnisse..)
LG + sehr gute Arbeit! (melde mich spaeter nochmal, falls noch Fragen offen sind)
DaMenge
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Mo 26.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo DaMenge!
> Als "Zusatzaufgabe" : versuch doch jetzt mal das Bild von
> dem Polynom [mm]3x^2+4x-4[/mm] mithilfe deiner Matrix auszurechnen.
> (Vergleiche dies auch mit dem Bild von f, was ja gerade der
> ableitung entspricht)
Also ich hab erstmal das Bild von [mm] 3x^2+4x-4 [/mm] direkt mit der Abbildung f berechnet, ich erhalte dann $6x+4$.
So, nun als Matrixmultiplikation:
Ich muss [mm] 3x^2+4x-4 [/mm] erstmal wieder als Tupel schreiben.
Dazu nehme ich wieder die Abbildung [mm] $v=\summe_{j=1}^{n}a_jv_j \mapsto \summe_{j=1}^{n}a_je_j$
[/mm]
Dazu muss ich das Polynom erstmal als Linearkombination bzgl. der Basis schreiben, die ich vorhin gewählt habe:
[mm] 3x^2+4x-4=-4*1+4*x+3*x^2
[/mm]
Nun bilde ich ab: [mm] $-4*1+4*x+3*x^2 \mapsto -4*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+4*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+3*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}=\vektor{-4 \\ 4 \\ 3}$
[/mm]
Nun wende ich die Matrix darauf an:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 }*\vektor{-4 \\ 4 \\ 3}=\vektor{4 \\ 6}
[/mm]
So, nun müsste ich die Abbildung [mm] $v=\summe_{j=1}^{n}a_jv_j \mapsto \summe_{j=1}^{n}a_je_j$ [/mm] einfach umdrehen können, weil es ja ein Isomorphismus ist, also eine eindeutige Umkehrfunktion besitzt, oder (und statt n wähle ich m, weil ich es ja jetzt für W mache, der ja eine andere Dimension hat)?
Also: [mm] $w=\summe_{j=1}^{m}a_je_j \mapsto\summe_{j=1}^{m}a_jw_j$ [/mm]
Dabei sind [mm] w_j [/mm] die Basiselemente von W wie ich sie zu Beginn gewählt habe.
Also hab ich: [mm] $w\vektor{4 \\ 6}$, $w=\summe_{j=1}^{m}a_je_j=4*\vektor{1 \\ 0}+6*\vektor{0 \\ 1} \mapsto [/mm] 4+1+6*x=6x+4 $
Und das ist das gleiche wie oben 
Stimmt das so?
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Mo 26.10.2009 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Nadine,
kurz und schmerzlos: alles vollkommen richtig! Glückwunsch, ich denke, damit hast du eine deiner Fragen in deinem ursprünglichen Thread selbst beantwortet, oder?
LG, DaMenge
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Mo 26.10.2009 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Nadine,
du weisst ja mittlerweile schon, dass du die richtige Matrix raus bekommen hast, dann kann ich ja nur schnell deine Teilfragen beantworten. (Aber ich gehe mal stark davon aus, dass du diese nur zur Bestätigung gefragt hast, weil du ja auch insgesamt alles richtig hast.)
> So, jetzt kann ich ja zwischen [mm]K^n[/mm] und [mm]K^m[/mm] eine weitere
> Abbildung g finden, für die dann gilt: [mm]g=f_{w_i} \circ f \circ f_{v_j}^{-1}[/mm].
>
> [Frage 1: Das müsste ja dann die Kompostion, die du auch
> hast, wobei du dann schon g direkt durch [mm]M_f[/mm] ersetzt hast,
> oder? Warum kann man g direkt durch [mm]M_f[/mm] ersetzen? Liegt das
> an dieser Anmerkung aus meiner Vorlesung, dass die zu g
> gehörige Matrix [mm]M_g[/mm] gleich der Matrix [mm]M_f[/mm] ist? Das finde
> ich etwas verwirrend, weil ich dachte, dass jede lineare
> Abbildunge eine andere Matrix hat (zwischen lin.
> Abbildungen und Matrizen gibt es ja einen Isomorphismus)
> und hier haben zwei verschiedenen lineare Abbildnungen
> (nämlich einmal f und einmal g) die gleiche Matrix, weil
> [mm]M_f=M_g[/mm]?]
>
*g*, ja du hast einen Isomorphismus zwischen Matrizen und linearen Abbildungen (wenn due entspr Basen fest gewählt hast), ABER du musst schon die gleiche Art von linearen Abbildungen betrachten! f geht doch von V nach W und g von [mm] K^n [/mm] nach [mm] K^m.
[/mm]
D.h. du hast einen Isomorphismus von $Hom(V,W) [mm] \to [/mm] Mat(n,m)$, aber g liegt ja gar nicht in $Hom(V,W)$, also hast du hier nichts widersprüchliches entdeckt.
btw: du hast ja auch einen natürlichen Isomorphismus von $Mat(n,m) [mm] \to Hom(K^n,K^m)$ [/mm] (die einzigen Unterschiede wären Definitionsdetails) und g liegt im letzteren, also sind f und g kanonisch isomorph. (deshalb unterscheidet man selten zwischen ihnen und ja, g stellt die Darstellungsmatrix [mm] $M_f$ [/mm] dar...)
> [Frage 2: Wie kommst du bei deiner Komposition [mm]M_f = f_2 \circ f \circ f_1^{-1}[/mm]
> auf das Produkt [mm]f(v)= f_2^{-1} \cdot M_f \cdot f_1 (v) [/mm]?]
Oha, Vorsicht: ich habe dieses "Produkt" zuerst gehabt, weil es die natürlich Aufgabe der Darstellungsmatrix ist, diese letzte Gleichung zu erfüllen. Ich kann sie auch leicht verändert aufschreiben ,wenn dir dies lieber ist: $f(v)= [mm] f_2^{-1} \left( M_f \cdot f_1 (v) \right) [/mm] $
[Die erklärung findest du oben nummeriert 1.) bis 3.) ]
So, daraus *schliesse* ich nun, dass gilt: [mm]M_f = f_2 \circ f \circ f_1^{-1}[/mm] (ist ne einfache Umformung)
Und dann hattest *du* deine Funktion g genauso definiert (ich hätte gar nicht erst einen neuen Namen dafür eingeführt, sondern ihn direkt bei [mm] $M_f$ [/mm] belassen! Aber du wolltest ja den Zusammenhang zw. f und g heraus finden..)
>
> So, um die Matrix [mm]M_g[/mm] zu bestimmen, muss ich ja nun meine
> umgeschriebenen Basiselemente in g einsetzen richtig?
wenn g eine Abbildung [mm] $K^n \to K^m$ [/mm] ist, dann ist es schwer diese nicht als Matrix darzustellen, oder? wie oben schon gesagt: Natürlicher Isomorphismus $Mat(n,m) [mm] \to Hom(K^n,K^m)$
[/mm]
Dieser Isomorphismus ist sogar soo natürlich, dass ich fast sagen würde [mm] $g=M_g$ [/mm] (alle anderen Darstellungen von g sind unpraktisch [oder vergesse ich gerade etwas?])
>
> [Frage: Die Basistupoel, die ich nun berechnet habe, sind
> doch die zur Basis von V entsprechende Basis im [mm]K^n,[/mm]
> richtig? Und die Tupel bilden deshalb wieder eine Basis,
> weil durch das umschreiben der Polynom-Basis in ein Tupel
> die lineare Unabhängigkeit nicht verloren geht, und die
> Dimension bleibt ja auch gleich, richtig?
> Was würde passieren, wenn ich nun im [mm]K^n[/mm] eine andere
> Basis wählen würde?]
>
Das ist richtig, die Funktionen [mm] $f_1$ [/mm] und [mm] $f_2$ [/mm] sind Isomorphismen!
Wenn du eine andere Basis von [mm] K^n [/mm] wählst, muss diese ebenso n-dimensional und die Abbildung immernoch linear sein -> du erhälst wieder einen Isomorphismus!
Deine übrigen Rechnungen sind richtig. Aber auch besonders einfach, weil du ja eine einfache Basis gewählt hast, richtig?
> [Frage: Was wäre auch hier, wenn ich eine andere Basis
> wählen würde?]
Naja, du müsstest dir halt die Darstellung bzgl dieser anderen Basis überlegen (also ausrechnen) und diese dann verwenden. Ist mehr Rechenaufwand (ausser die Basis ist aehnlich einfach, wie ich ja als Zusatzaufgabe vorgeschlagen hatte) aber du bekommst halt nur eine andere Matrix raus. Dies sollte dich aber nicht verwundern, denn wir haben ja schon heraus gefunden, dass die Eindeutigkeit der  Darstellungsmatrix (<- klick mich) von der Wahl der Basen abhängig ist, richtig?
Also zusammenfassend: Hast du perfekt erledigt - ich denke, du hast es recht gut verstanden - keine Sorge, die "Leichtigkeit" mit den Begriffen umzugehen kommt erst mit der Übung/Praxis. Irgendwann wirst du das hier lesen und zu dir dann sagen: ja logisch - wieso hatte ich damit nochmal ein Problem?
(Bist also auf besten Wegen)
LG, DaMenge
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Mo 26.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo DaMenge!
Danke für deine Mühe!
Du hattest ja gesagt, dass eine Matrix eine Abbildung von [mm] K^n [/mm] nach [mm] K^m [/mm] ist, und somit nicht mit Polynomen multipliziert werden kann.
Aber reicht es dann nicht, nur die Vektoren umzuwandeln, deren Bild ich berechnen will?
Ich meine das so: ich habe ja jetzt um die Matrix zu ermitteln ziemlich viel Aufwand betrieben, erst die Basisvektoren umgerechnet, dann die Komposition berechnet.
Kann man das nicht direkt mit dieser Formel hier machen:
[mm] M_{f,\{v_j\},\{w_i\}} [/mm] ist die Matrix [mm] (a_{ij}) [/mm] wobei die [mm] a_{ij} [/mm] gegeben sind durch [mm] f(v_j)=\summe_{i=1}^{m}a_{ij}w_i
[/mm]
Diese Formel hab ich ja auch in meiner ersten Variante benutzt, aber erst ganz am Ende, wo ich dann die Basistupel mit der Abbildung g abgebildet habe.
Jetzt habe ich es mal direkt damit versucht (also direkt die Basispolynome in die Abbildung f gesteckt) und komme aufs gleiche Ergebnis:
Basis von V: [mm] $\{1,t,t^2\}$
[/mm]
Basis von W: [mm] $\{1,t\}$
[/mm]
Einsetzen in die Formel:
$f(1)=0=0*1+0*t$
$f(t)=1=1*1+0*t$
[mm] $f(t^2)=2t=0*1+2*t$
[/mm]
Wenn ich diese Koeffizienten in die Matrix eintrage, krieg ich die selbe Matrix:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 }
[/mm]
[Womit ich wieder bei dem Punkt wäre, dass die Matrizen von f und von g scheinbar wirklich gleich sind  ]
Kann ich mir dann nicht den Weg mit dieser ganzen Umrechnerei und der Komposition sparen?
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Mo 26.10.2009 | | Autor: | DaMenge |
Hallo ncohmal,
ja also mal technisch gesehen, wolltest du vorher hauptsächlich erklärt haben, wie das mit den Abbildungen [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] und der komischen Komposition funktioniert. Und wir haben ja auch versucht, dir diese *Theorie* etwas näher zu bringen, du selbst wolltest dann zu dieser *Theorie* auch ein Beispiel rechnen!
Hättet wir wirklich sagen sollen: Du Nadine, vergiss das alles, was du in den Büchern lesen kannst und mach es lieber auf folgende Art : ...
? Wäre dir damit ursprünglich geholfen gewesen?
(Sind die ursprünglichen Fragen denn jetzt geklärt?^^ )
Aber es ist ja ok, wenn du dir Gedanken machst und überlegst, ob es nicht auch anders geht (gute Initiative übrigens!), aber ein neuer Thread wäre da , imho, besser gewesen. (Aufgabe des Mods erfüllt^^)
Aber naja, ich will ja auch ne Antwort schreiben:
> Kann man das nicht direkt mit dieser Formel hier machen:
>
> [mm]M_{f,\{v_j\},\{w_i\}}[/mm] ist die Matrix [mm](a_{ij})[/mm] wobei die
> [mm]a_{ij}[/mm] gegeben sind durch [mm]f(v_j)=\summe_{i=1}^{m}a_{ij}w_i[/mm]
Also wenn du es genau nimmst, hast du hier nur einen der wichtigsten Sätze in diesem Zusammenhang sehr mathematisch ausgedrückt, nämlich: "Die Bilder der Basisvektoren stehen als Spalten in der Darstellungsmatrix." (Zusatz: bei Wahl von geeigneten Basen)
[beachte, dass du bei jedem [mm] v_j [/mm] das entspr j gerade fest gewählt betrachtest..]
>
> Diese Formel hab ich ja auch in meiner ersten Variante
> benutzt, aber erst ganz am Ende, wo ich dann die Basistupel
> mit der Abbildung g abgebildet habe.
>
> Jetzt habe ich es mal direkt damit versucht (also direkt
> die Basispolynome in die Abbildung f gesteckt) und komme
> aufs gleiche Ergebnis:
>
> Basis von V: [mm]\{1,t,t^2\}[/mm]
>
> Basis von W: [mm]\{1,t\}[/mm]
>
> Einsetzen in die Formel:
>
> [mm]f(1)=0=0*1+0*t[/mm]
>
> [mm]f(t)=1=1*1+0*t[/mm]
>
> [mm]f(t^2)=2t=0*1+2*t[/mm]
>
> Wenn ich diese Koeffizienten in die Matrix eintrage, krieg
> ich die selbe Matrix:
der springende Punkt ist hier der letzte Satz!
du kannst ja nicht einfach Polynome in deine Matrix eintragen, deshalb nimmst du die Koeffizienten. Aber wenn du die Menge der Koeffizienten als Tupel betrachtest, dann erhälst du gerade deine "aufwendigen" Abbildungen nach [mm] $K^n$ [/mm] bzw [mm] K^m. [/mm] Also eigentlich machst du hier das Gleiche, aber machst diese Umwandlung mit [mm] f_1 [/mm] wieder schnell implizit bzw im Kopf bzw auf kanonische Art...
btw:Genau deshalb sind hier auch viele Autoren etwas ungenau und besprechen die Abbildungen [mm] f_1 [/mm] usw gar nicht, sondern reden gleich von den Koeffizienten vor den Basisvektoren...
Wenn du mir wirklich nicht glaubst, dass du eigentlich dasselbe machst, dann versuche doch mal die Matrix zu bestimmen, wenn due als Basis von V die folgenden drei Polynome nimmst: [mm] $P_1(x) [/mm] := 2x, [mm] P_2(x) [/mm] := 1 - x, [mm] P_3(x) [/mm] := x - [mm] x^2$
[/mm]
Dann wirst du sehen, dass man die Koeffizienten nicht sofort ablesen kann, was dann auf die gleiche nervige Rechnung wie zuvor raus läuft.
[bekommst aber kein Fleiß-Bienchen dafür!] :-P
LG, DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Mo 26.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo DaMenge!
> aber ein neuer Thread wäre da , imho, besser
> gewesen. (Aufgabe des Mods erfüllt^^)
Oh, ich dachte, es passt noch ganz gut hier rein, deshalb hab ich keinen neuen aufgemacht.
> der springende Punkt ist hier der letzte Satz!
> du kannst ja nicht einfach Polynome in deine Matrix
> eintragen, deshalb nimmst du die Koeffizienten.
> Aber wenn
> du die Menge der Koeffizienten als Tupel betrachtest, dann
> erhälst du gerade deine "aufwendigen" Abbildungen nach [mm]K^n[/mm]
> bzw [mm]K^m.[/mm] Also eigentlich machst du hier das Gleiche, aber
> machst diese Umwandlung mit [mm]f_1[/mm] wieder schnell implizit bzw
> im Kopf bzw auf kanonische Art...
Hmm, also eigentlich habe ich die Koeffizienten nur genommen, weil die Formel es mir so sagte...
> Wenn du mir wirklich nicht glaubst, dass du eigentlich
> dasselbe machst, dann versuche doch mal die Matrix zu
> bestimmen, wenn due als Basis von V die folgenden drei
> Polynome nimmst: [mm]P_1(x) := 2x, P_2(x) := 1 - x, P_3(x) := x - x^2[/mm]
>
> Dann wirst du sehen, dass man die Koeffizienten nicht
> sofort ablesen kann, was dann auf die gleiche nervige
> Rechnung wie zuvor raus läuft.
Hmm, also wenn du mir jetzt die Basis von V direkt schon gibst, muss ich sie doch nur noch in f einsetzen (in f kann ich ja Polynome einsetzen), bastel mir das Ergebnis dann als Linearkombination mit Basiselementen von W, und schreibe die Koeffizienten davon dann in die Matrix. Wenn ich jetzt als Basis für W wieder die Monombasis nehme, dann erhalte ich:
[mm] p_1(x)=2x \Rightarrow p_1'(x)=2 \Rightarrow [/mm] 2 ist dargestellt als Linearkombination mit der Monombasis 2*1+0*x
[mm] p_2(x)=1-x \Rightarrow p_2'(x)=-1 \Rightarrow [/mm] -1 ist dargestellt als Linearkombination mit der Monombasis -1*1+0*x
[mm] p_3(x)=x-x^2 \Rightarrow p_1'(x)=1-2x \Rightarrow [/mm] 1-2x ist dargestellt als Linearkombination mit der Monombasis 1*1+(-2)*x
Damit erhalte ich die Matrix (durch eintragen der Koeffizienten):
[mm] \pmat{ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 }
[/mm]
Auch hier habe ich - meine ich zumindest ;) - die Polynome nicht direkt im Kopf in Tupel umgeform, sondern ich habe einfach nur ganz stur
> $ [mm] M_{f,\{v_j\},\{w_i\}} [/mm] $ ist die Matrix $ [mm] (a_{ij}) [/mm] $ wobei die
> $ [mm] a_{ij} [/mm] $ gegeben sind durch $ [mm] f(v_j)=\summe_{i=1}^{m}a_{ij}w_i [/mm] $
angewendet und die Koeffizienten in die Matrix geschrieben.
Hmm, ich glaub ich steh grad aufm Schlauch...
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:45 Di 27.10.2009 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Nadine,
> Auch hier habe ich - meine ich zumindest ;) - die Polynome
> nicht direkt im Kopf in Tupel umgeform, sondern ich habe
> einfach nur ganz stur
> > [mm]M_{f,\{v_j\},\{w_i\}}[/mm] ist die Matrix [mm](a_{ij})[/mm] wobei die
> > [mm]a_{ij}[/mm] gegeben sind durch
> [mm]f(v_j)=\summe_{i=1}^{m}a_{ij}w_i[/mm]
> angewendet und die Koeffizienten in die Matrix
> geschrieben.
Du hast natuerlich teilweise recht: das Beispiel wird erst dann interessant, wenn du dieselbe Basis auch fuer W (oder nur fuer W) waehlst, sorry
Die Formel sagt dir naemlich: nimm die Koeffizienten, die vor den Basis-polynomen stehen!
Es gilt: [mm] $f(v_{j'})=\summe_{i=1}^{m}a_{ij'}w_i [/mm] = [mm] \pmat{a_{1j' & a_{2j'} & \ldots & a_{mj'}}} \cdot \pmat{w_1\\ \vdots \\ w_m}$
[/mm]
Und hier siehst du dein Tupel ja sogar...
Hoffe, es wird klar, was ich meine.
LG, DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 So 25.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe jetzt aus noch einem anderen Buch eine Aussage vorgekramt, wo ich auch gar nichts mehr verstehe...
Da steht:
Nach Satz stehen die linearen Abbildungen eines n-dimensionales K-Vektorraums V in einen m-dimensionalen K-Vektorraum W in umkehrbar eindeutiger Beziehung mit den $m [mm] \times [/mm] n$-Matrizen über K, kurz gesagt, es [mm] gilt:$Hom_K(V,W)\cong K^{m,n}$.
[/mm]
Es muss aber beachtet werden, dass der Herstellung einer solchen umkehrbar eindeutigen Beziehung zwischen den linearen Abbildungen aus [mm] Hom_K(V,W) [/mm] und den Matrizen aus [mm] K^{m,n} [/mm] die willkührliche Wahl von Basen in V und W zugrunde liegt. Diese Willkühr bei der Basiswahl verbietet es, lineare Abbildungen beliebiger (endlich-dimensionaler) K-Vektorräume mit Matrizen entsprechenden Formats über K einfach zu identifizieren.
Anders verhält sich dies aber, wenn wir nur K-Vektorräume der Gestalt [mm] K^n [/mm] betrachten. Jedes [mm] K^n [/mm] besitzt nämlich eine auf natürliche Weise vor allen anderen Basen ausgezeichnete Basis, nämlich seine kanonische Basis. Ist daher A eine beliebige Matrix aus [mm] K^{m,n}, [/mm] so wollen wir mit dem selben Buchstaben A auch die lineare Abbildung von [mm] K^n [/mm] nach [mm] K^m [/mm] bezeichnen, deren Koordinatenmatrix bzgl. der kanonischen Basen von [mm] K^n [/mm] und [mm] K^m [/mm] gerade A ist. Wir wollen also einander entsprechende Elemente von [mm] Hom_K(K^n,K^m) [/mm] und [mm] K^{m,n} [/mm] miteinander 'identifizieren': [mm] Hom_K(K^n,K^m)=K^{m,n} [/mm]
So, irgendwie hilft es mir auch nicht wirklich weiter.
Wenn ich umkehrbar eindeutige Beziehungen (also Isomorphismen) zwischen Matrizen und linearen Abbildunge habe, wieso kann ich die Matrizen nicht mit den Abbildunge identifizieren? Ich hab doch für jede (willkürliche) Basiswahl genau eine Matrix, wo ist dann das Problem? Und wieso klappt es plötzlich, wenn ich [mm] K^n [/mm] und [mm] K^m [/mm] habe? Und wieso ist bei [mm] K^n [/mm] und [mm] K^m [/mm] die Menge aller linearen Abbildungen gleich den den [mm] K^{m,n}-Matrizen?
[/mm]
Ich versteh bei diesem Thema wirklich so gut wie gar nichts.
Die ganzen Zusammenhänge zwischen Matrizen und linearen Abbildungen sind mit ein einziges Rätsel.
Ich habe zwar viele Bücher hier liegen, aber auch die helfen mir nicht weiter, weil ich das Gefühl hab, in jedem steht was anderes...
Ich hoffe, das mir nochmal jemand weiterhelfen kann.
Vielen Dnak schonmal.
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:17 Mo 26.10.2009 | | Autor: | DaMenge |
Hallo zusammen,
ich wollte nur schnell erstmal hier antworten, denn bei der anderen Frage finde ich die Antwort(en) von leduart vollkommen richtig. (Viell druecke ich es dann nochmal anders aus - vielleicht hilft eine andere Darstellung ja)
> Nach Satz stehen die linearen Abbildungen eines
> n-dimensionales K-Vektorraums V in einen m-dimensionalen
> K-Vektorraum W in umkehrbar eindeutiger Beziehung mit den [mm]m \times n[/mm]-Matrizen
> über K, kurz gesagt, es gilt:[mm]Hom_K(V,W)\cong K^{m,n}[/mm].
>
Jap, hier steht : lineare Abbildungen kann man eineindeutig mit Matrizen (fuer endlichdimensionale VR) identifizieren. siehe auch: diesen alten Beitrag
Aber man muss aufpassen:
> Es muss aber beachtet werden, dass der Herstellung einer
> solchen umkehrbar eindeutigen Beziehung zwischen den
> linearen Abbildungen aus [mm]Hom_K(V,W)[/mm] und den Matrizen aus
> [mm]K^{m,n}[/mm] die willkührliche Wahl von Basen in V und W
> zugrunde liegt. Diese Willkühr bei der Basiswahl verbietet
> es, lineare Abbildungen beliebiger (endlich-dimensionaler)
> K-Vektorräume mit Matrizen entsprechenden Formats über K
> einfach zu identifizieren.
Hier sagt der Autor, dass diese Identifizierung nur dann eineindeutig ist, wenn man sich auf (willkuerliche) Basen festlegt. Denn dieselbe Abbildung hat bei anderen Basen auch eine andere Matrix! Also kann man eine Abbildung erst dann mit einer Matrix identifizieren, wenn man die Wahl der Basen festlegt. oder:
>
> Anders verhält sich dies aber, wenn wir nur K-Vektorräume
> der Gestalt [mm]K^n[/mm] betrachten. Jedes [mm]K^n[/mm] besitzt nämlich eine
> auf natürliche Weise vor allen anderen Basen
> ausgezeichnete Basis, nämlich seine kanonische Basis. Ist
> daher A eine beliebige Matrix aus [mm]K^{m,n},[/mm] so wollen wir
> mit dem selben Buchstaben A auch die lineare Abbildung von
> [mm]K^n[/mm] nach [mm]K^m[/mm] bezeichnen, deren Koordinatenmatrix bzgl. der
> kanonischen Basen von [mm]K^n[/mm] und [mm]K^m[/mm] gerade A ist. Wir wollen
> also einander entsprechende Elemente von [mm]Hom_K(K^n,K^m)[/mm] und
> [mm]K^{m,n}[/mm] miteinander 'identifizieren':
> [mm]Hom_K(K^n,K^m)=K^{m,n}[/mm]
Man kann auch dann diese Identifizierung vornehmen, wenn eine kanonische Basis bekannt ist, denn dann beschreibt das "Fehlen der Wahl einer Basis" gerade die Wahl der kanonischen Basis (denn diese ist 'vor allen anderen Basen ausgezeichnet')
> Wenn ich umkehrbar eindeutige Beziehungen (also
> Isomorphismen) zwischen Matrizen und linearen Abbildunge
> habe, wieso kann ich die Matrizen nicht mit den Abbildunge
> identifizieren? Ich hab doch für jede (willkürliche)
> Basiswahl genau eine Matrix, wo ist dann das Problem?
Es gibt kein Problem, du hast recht! Der Autor moechte nur den allgemeinen Fall auch betonen (wo jemand von anderen Basen spricht und deshalb andere Matrizen erhaelt.)
> Und
> wieso klappt es plötzlich, wenn ich [mm]K^n[/mm] und [mm]K^m[/mm] habe? Und
> wieso ist bei [mm]K^n[/mm] und [mm]K^m[/mm] die Menge aller linearen
> Abbildungen gleich den den [mm]K^{m,n}-Matrizen?[/mm]
Weil hier der Autor von kanonischen Basen ausgeht und er/sie es sich dadurch leichter macht.
>
> Ich versteh bei diesem Thema wirklich so gut wie gar
> nichts.
> Die ganzen Zusammenhänge zwischen Matrizen und linearen
> Abbildungen sind mit ein einziges Rätsel.
> Ich habe zwar viele Bücher hier liegen, aber auch die
> helfen mir nicht weiter, weil ich das Gefühl hab, in jedem
> steht was anderes...
>
Ich glaube, du verstehst das schon ganz gut - du machst es dir ein wenig kompliziert. Ich versuche es nochmal kurz zusammen zu fassen:
lineare Abbildungen von endl.dim. VRs kann man als Matrix darstellen, aber diese Darstellung ist erst dann eineindeutig, wenn man die Basen festwaehlt! Wenn man nichts zu den Basen sagt, dann sind meistens die kanonischen Basen gemeint.
(imho: man koennte auch einfach *immer* die Basen explizit erwaehnen, dann halt auch die kanonischen)
hoffe, dies hilft ein wenig.
LG, DaMenge
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 Mo 26.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo DaMenge!
Danke für die Erklärungen!
Ich denke, es ist mir jetzt klarer
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:35 Mo 26.10.2009 | | Autor: | DaMenge |
Hallo nochmal,
eine Frage blieb ja auch noch teilweise beantwortet vorher:
> Kann ich diese Matrix nun auf alle Elemente aus V anwenden,
> und bekomme dann direkt den zugehörigen Funktionswert?
>
Also, wenn du deine Matrix mithilfe von fest-gewaehlten Basen erstellt hast (Spalten der Matrix sind Bilder der Basisvektoren von V bzgl der Basis von W), dann kannst du jeden Vektor aus V an diese Matrix multiplizieren, ABER:
1) ein "Vektor aus V" muss fuer eine solche Multiplikation ein Zahlentupel sein, deshalb hat leduart ja richtig geschrieben, dass du evtl zuerst die Umwandlung in [mm] $K^n$ [/mm] etc brauchst.
2) selbst wenn deine Vektoren in V schon Zahlentupeln sind (oder auch, wenn sie schnell dazu gemacht werden koennen wie bei den Polynomen), dann muessen sie in derselben Basisdarstellung gegeben sein (bzgl der du deine Matrix erstellt hast)
und auf diesen zweiten Punkt wollte Arcesius hinaus! Wenn du naemlich deine Matrix bzgl irgendwelcher Basen erstellt hast, musst du deinen Vektor aus v (der ja erstmal nur in kanonische Form gegeben ist) in die gleiche Basis umwandeln.
Wie schon richtig beschrieben, brauchst du dazu die Transformationsformel (<- klick mich), diese sieht sehr aehnlich aus, wie unsere andere Formel fuer die Matrix als Komposition der einzelnen Abbildungen, aber der Sinn war hier ein anderer.
(Da du diesen Bereich aber anscheinend noch nicht hattest, ist es evtl zu frueh sich damit zu beschaeftigen..)
Insgesamt koenntest du evtl noch den Artikel Darstellungsmatrix (<- klick mich) lesen.
Falls noch Fragen offen sind, kannst du uns ja nochmal darauf hinweisen.
LG, DaMenge
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Mo 26.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Danke, DaMenge!
Das konnte ich ja dank deinem Beispiel ausprobieren
LG, Nadine
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:37 Di 27.10.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
> Danke, DaMenge!
>
> Das konnte ich ja dank deinem Beispiel ausprobieren
>
Ne, noch nicht ganz ;) In seinem Beispiel mussten die Basen nicht mehr verändert werden.. man konnte also schon mit ihnen rechnen.
Aber mach dir keinen Kopf.. bald werdet ihr die Methode für allgemeine Basen lernen.. dann kannst du auf diesen Thread zurückkommen und alles nochmals lesen.. ;)
> LG, Nadine
Grüsse, Amaro
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