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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Mo 25.01.2010 | | Autor: | ehaefner |
| Aufgabe | In Abhängigkeit vom Parameter c [mm]\in \IR[/mm] seien die Vektoren [mm] v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} , v_3 = \begin{pmatrix} 1\\ 2*c-1 \\ 1-c \end{pmatrix} \in \IR^3[/mm], sowie [mm] w_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} , w_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} , w_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \in \IR^4 [/mm] gegeben.
1. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von c die Dimension des von [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] aufgespannten Unterraums von [mm] \IR^3 [/mm]
2. Untersuchen Sie, für welche Werte von c es (i) keine, (ii) genau eine, (iii) mehr als eine lineare Abbildung [mm] f: \IR^3 \rightarrow \IR^4 [/mm] mit [mm] f(v_1) = w_1 , f(v_2) = w_2 , f(v_3) = w_3[/mm] gibt.
3. Nun sei c = 0 sowie [mm] f: \IR^3 \rightarrow \IR^4 [/mm] die lineare Abbildung mit [mm] f(v_1) = w_1 , f(v_2) = w_2 , f(v_3) = w_3 [/mm]. Bestimmen Sie die Dimension von Bild (f) und untersuchen Sie, ob f injektiv bzw. surjektiv ist. |
Diese Aufgabe habe ich als Übungsaufgabe zu lösen.
Ich denke, dass ich 1. habe. Ich habe die drei Vektoren als Spalten einer Matrix geschrieben und dann in ZSF umgeformt. Für c=1 entsteht dann in der dritten Zeile eine Nullzeile, somit wäre der Rang der Matrix und damit auch die Dimension = 2, für c ungleich 1 wäre der Rang der Matrix und damit die Dimension = 3, oder?
Aber beim zweiten Teil komme ich nicht weiter.
Ich brauche, wenn ich es richtig verstanden habe, eine lineare Abbildung die [mm] v_1 [/mm] auf [mm] w_1 [/mm], [mm] v_2 [/mm] auf [mm] w_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] auf [mm] w_3 [/mm] abbildet. die "v-Vektoren" sind, wenn man sie transponiert betrachtet 1x3 Vektoren, die "w-Vektoren" 1x4 Vektoren. Um einen 1x3 Vektor auf einen 1x4 Vektor abbilden zu können, müsste ich den 1x3 Vektor mit einer 3x4 Matrix multiplizieren.
Also hatte ich mir überlegt ob es eine Matrix C gibt, mit der man die "v-Vektoren" multipliziert um die "w-Vektoren" zu erhalten.
Als Ansatz habe ich dann folgendes geschrieben:
[mm] ( 1 \qquad 1 \qquad 0) * \begin{pmatrix}
c_1_1 & c_1_2 & c_1_3 & c_1_4 \\
c_2_1 & c_2_2 & c_2_3 & c_2_4 \\
c_3_1 & c_3_2 & c_3_3 & c_3_4
\end{pmatrix} = ( 1 \qquad 0 \qquad 2 \qquad 1)[/mm]
analog für jeweils die beiden anderen Vektoren.
Hier hab ich aber keine Ahnung ob das der richtige Ansatz ist, da ich nicht weiß wie ich daraus jetzt diese Matrix C ermitteln kann.
Ich hatte das dann noch ausmultipliziert und hatte dann für die Abbildung von [mm] v_1 [/mm] nach [mm] w_1 [/mm] folgendes da stehen:
[mm] \begin{pmatrix} c_1_1 + c_2_1 \\ c_1_2 + c_2_2\\ c_1_3 + c_2_3\\ c_1_4 + c_2_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
wieder auch analog für die jeweils anderen zwei Vektoren, nur dass da das "Ergebnis" natürlich anders aussieht.
Jetzt weiß ich aber nicht wie ich weiter machen soll.
Zu drittens: Das Bild von f sind ja die Vektoren [mm] w_1 [/mm] bis [mm] w_3 [/mm]. Muss ich hier dann um die Dimension zu bestimmen, wieder so vorgehen wie in 1.?
Ich hoffe mir kann jemand helfen! Schon mal vielen Dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:18 Mo 25.01.2010 | | Autor: | jarna37 |
| Aufgabe | In Abhängigkeit vom Parameter c [mm] \in \IR [/mm] seinen die Vektoren [mm] v_1=(1,1,0)^T, v_2=(2,1,2)^T, v_3=(1,2c-1,1-c)^T \in \IR^3, [/mm] sowie [mm] w_1=(1,0,2,1)^T, w_2=(1,1,0,3)^T, w_3=(0,2,1,1)^T \in \IR^4 [/mm] gegeben.
b) Untersuchen Sie, für welche Werte von c es keine, genau eine und mehr als einelineare Abbildung f: [mm] \IR^3 \to \IR^4 [/mm] mit [mm] f(v_1)=w_1, f(v_2)=w_2 [/mm] und [mm] f(v_3)=w_3 [/mm] gibt.
c) Nun sein c=0 sowie f: [mm] \IR^3 \to \IR^4 [/mm] die lineare Abbildung mit [mm] f(v_1)=w_1, f(v_2)=w_2 [/mm] und [mm] f(v_3)=w_3. [/mm] Bestimmen Sie die Dimension von Bild(f) und untersuchen Sie, ob f injektiv bzw. surjektiv ist. |
Hallo erstmal!
Also, die obere Aufgabe ist im Moment mein Problem. Eigentlich sind das 2 Teilaufgaben. In der ersten Teilaufgabe musste man die Dimension des Unterraums durch [mm] v_1, v_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] aufgespannt bestimmt, was auch ganz gut geklappt hat. Allerdings ist mir der Rest ein Rätsel. Wie kann ich [mm] f(v_1)=w_1 [/mm] rechnerisch verstehen? Vektor v1 wird auf Vektor w1 abgebildet. Aber ich habe ja gar keine Abbildungsmatrix oder ähnliches... Kann mir bei der Aufgabe bitte jemand helfen?
Bei c) habe ich eine Ahnung... die ist aber mehr geraten und aus Lösungen anderer Aufgaben zusammengebastelt... Da die Dimension des Bildraums größer als die Dimension des Urbildraumes ist, müsste die Abbildung injektiv sein?
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen :)
Viele Grüße, Kira
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> In Abhängigkeit vom Parameter c [mm]\in \IR[/mm] seien die Vektoren
> [mm]v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} , v_3 = \begin{pmatrix} 1\\ 2*c-1 \\ 1-c \end{pmatrix} \in \IR^3[/mm],
> sowie [mm]w_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} , w_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} , w_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \in \IR^4[/mm]
> gegeben.
>
> 1. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von c die Dimension des
> von [mm]v_1, v_2, v_3[/mm] aufgespannten Unterraums von [mm]\IR^3[/mm]
>
> 2. Untersuchen Sie, für welche Werte von c es (i) keine,
> (ii) genau eine, (iii) mehr als eine lineare Abbildung [mm]f: \IR^3 \rightarrow \IR^4[/mm]
> mit [mm]f(v_1) = w_1 , f(v_2) = w_2 , f(v_3) = w_3[/mm] gibt.
>
> 3. Nun sei c = 0 sowie [mm]f: \IR^3 \rightarrow \IR^4[/mm] die
> lineare Abbildung mit [mm]f(v_1) = w_1 , f(v_2) = w_2 , f(v_3) = w_3 [/mm].
> Bestimmen Sie die Dimension von Bild (f) und untersuchen
> Sie, ob f injektiv bzw. surjektiv ist.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wie Du siehst, hat eine Kommilitonin auch Probleme mit dieser Aufgabe, und ich wende mich an Euch beide.
> Diese Aufgabe habe ich als Übungsaufgabe zu lösen.
> Ich denke, dass ich 1. habe. Ich habe die drei Vektoren
> als Spalten einer Matrix geschrieben und dann in ZSF
> umgeformt.
Das ist auf jeden Fall eine sinnvolle Vorgehensweise.
Alternativ könnte man die Determinante der Matrix berechnen und nachsehen, für welche c sie ungleich 0 wird. In diesen Fällen wären die Vektoren linear abhängig.
> Für c=1 entsteht dann in der dritten Zeile eine
> Nullzeile, somit wäre der Rang der Matrix und damit auch
> die Dimension
des von den drei Vektoren aufgespannten Unterraumes
> = 2, für c ungleich 1 wäre der Rang der
> Matrix und damit die Dimension = 3, oder?
Ja, richtig.
>
> Aber beim zweiten Teil komme ich nicht weiter.
> Ich brauche, wenn ich es richtig verstanden habe, eine
> lineare Abbildung die [mm]v_1[/mm] auf [mm]w_1 [/mm], [mm]v_2[/mm] auf [mm]w_2[/mm] und [mm]v_3 [/mm]
> auf [mm]w_3[/mm] abbildet.
Ja, genau.
Du machst es Dir mit dem von Dir versuchten Ansatz über die Darstellungsmatrix unnötig schwer.
Man kann hier sehr "billig" wegkommen, wenn man zwei Sätzen, die Ihr sicher auch in der Vorlesung hattet, Beachtung schenkt:
a) Lineare Abbildungen sind durch die Angabe ihrer Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt
b) Linear abhängige Vektoren werden durch lineare Abbildungen auf linear abhängige Vektoren abgebildet.
Mit a) bist Du schonmal ziemlich weit aus dem Schneider:
Du hattest ja zuvor festgestellt, daß für [mm] c\not=1 [/mm] die drei [mm] v_i [/mm] linear unabhängig sind.
Sie sind also eine Basis des [mm] \IR^3, [/mm] und nun kann man mit a) kommen. Nämlich?
Jetzt müssen wir noch den Fall c=1 untersuchen:
Die Vektoren [mm] v_i [/mm] sind hier linear abhängig, es ist [mm] v_3=-3v_1+2v_2.
[/mm]
Da [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] linear unabhängig sind, macht uns die Zuweisung [mm] f(v_1):=w_1, f(v_2):=w_2 [/mm] keinerlei Scherereien.
Sie legt aber, da [mm] v_3 [/mm] eine Linearkombination von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] ist, aufgrund der Linearität von f den Funktionswert für [mm] v_3 [/mm] fest.
Es muß nämlich gelten
[mm] f(v_3)=f(-3v_1+2v_2) [/mm] = ... (Linearität nutzen, und den Funktionswert ausrechnen und mit [mm] w_3 [/mm] vergleichen.)
Ist [mm] f(v_3) [/mm] wirklich [mm] =w_3 [/mm] , dann gibt es so eine lineare Abbildung, das nachdenken darüber, ob es nur eine oder möglicherweise mehrere gibt, würde ich zunächst gerne Euch überlassen.
Ist aber das oben augerechnete [mm] f(v_3) [/mm] nun [mm] \not=w_3, [/mm] so gibt es keine lineare Abbildung mit den geforderten Eigenschaften.
Da ich nun schon ahne, daß mindestens einer von Euch die Stirn runzelt und sagt: aha. und wie sieht die Abbildung nun aus?,
will ich noch zeigen, wie man sie schön angeben kann.
Ich beziehe mich jetzt auf den Fall [mm] c\not=1, [/mm] für welchen wir ja die Existenz und Eindeutigkeit von f bereits festgestellt hatten:
Da [mm] (v_1, v_2, v_3) [/mm] eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ist, können wir jedes [mm] v\in \IR^3 [/mm] schreiben als [mm] v=av_1+bv_2+cv_3 [/mm] mit passenden Koeffizienten [mm] a,b,c\in \IR.
[/mm]
Wenn wir nun definieren [mm] f(v):=aw_1+bw_2+cw_2 [/mm] für [mm] v=av_1+bv_2+cv_3, [/mm] so steht die Zuordnungsvorschrift für eine Funktion f,
welche erstens linear ist und für welche zweitens [mm] f(v_i)=w_1 [/mm] ist. (Probiert's aus!)
Nun zu der Matrixgeschichte.
man könnte so einen Weg wählen, hätte einen Schwung Gleichungssysteme zu lösen, und würde bei korrekter rechnung auch zu den richtigen Ergebnissen kommen.
Aber der Weg ist nicht schnell, und er ist in Anbetracht dessen, was man gelernt hat, nicht geschickt.
> die "v-Vektoren" sind, wenn man sie
> transponiert betrachtet 1x3 Vektoren,
Mach das nicht! Die v-Vektoren sind Spalten und die w-Vektoren auch. Wenn man sie nach Lust und Laune hinlegt und wieder aufrichtet, kann man sich selbst ganz kirre machen. Ich rate Dir dringend, sowas nicht zu tun.
Wenn ich nun einen Spaltenvektor v mit einer Matrix multiplizieren möchte, so geht das immer so, daß die Matrix auf der linken Seite an v heranmultipliziert wird,
(statt f(v) hat man dann halt A*v), und das Ergebnis dieser Multiplikation ist wieder ein Spaltenvektor - wie gewünscht.
Da die Abbildung aus dem [mm] \IR^3 [/mm] in den [mm] \IR^4 [/mm] geht, könntest Du also bei genügend Leidensfähigkeit eine passende 4x3-Matrix suchen, und dann ein Gleichungssystem mit 12 Variablen lösen.
Soviel dazu.
> Zu drittens: Das Bild von f sind ja die Vektoren [mm]w_1[/mm] bis
> [mm]w_3 [/mm].
Nicht ganz: diese drei Vektoren sind ein Erzeugendensystem des Bildes.
Im Bild sind ja viel mehr Vektoren als diese drei enthalten - das solltest Du Dir unbedingt klarmachen.
> Muss ich hier dann um die Dimension zu bestimmen,
> wieder so vorgehen wie in 1.?
Genau. Du schaust, welche Dimension der Raum hat, den [mm] w_1, w_2, w_3 [/mm] aufspannen. (Rangbestimmung)
Zum weiteren Vorgehen:
der Startraum, der [mm] \IR^3, [/mm] hat die Dimension 3.
Wenn die Abbildung injektiv ist, werden linear unabhängige Vektoren auf linear unabhängige Abgebildet.
In diesem Falle hätte das Bild also die Dimension 3.
Surjektiv: wenn die Abbildung surjektiv ist, muß der komplette Zielraum, der [mm] \IR^4 [/mm] erwischt werden. Dieser hat die Dimension 4.
Also müßte im Falle der Surjektivität das Bild die Dimension 4 haben.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:17 Di 26.01.2010 | | Autor: | ehaefner |
Wow, schon mal vielen, vielen Dank für diese ausführliche Antwort!!!
Zu 3. da hatte ich mich gestern schon mal noch rangesetzt und rausbekommen, dass der Rang der Matrix der w-Vektoren 3 ist. Wir haben das mit der Injektivität und der Surjektivität über notwendige und hinreichende Bedingung definiert.
Für Injektivität war das wie folgt:
notwendig: Rang n kleiner gleich Rang m, das ist hier erfüllt, da vom [mm]\IR^3 [/mm] in den [mm] \IR^4 [/mm] abgebildet wird.
hinreichend: Rang A = n, das ist hier auch erfüllt, da ich ja herausbekommen habe, dass der Rang der w-Vektoren 3 ist. Also ist die Abbildung injektiv.
Nun noch zur zweitens. Unser Dozent legt sich die Vektoren auch immer grad so, wie es ihm grad passt also mal transponiert, mal nicht, deswegen kannte ich das leider nicht anders...
und zu dem von Dir benannten Satz a) Lineare Abbildungen sind durch die Angabe ihrer Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt
muss ich erst noch schauen ob wir den schon gemacht haben, da wir erst letzte Woche mit den linearen Abbildungen angefangen haben.
Ich werde mir den zweite Teil mit deinen Hilfestellungen nochmals anschauen und mich dann wieder melden, wenn noch Fragen sein sollten!
Nochmals vielen Dank!
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