Lineare Abbildung < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei die lineare Abbildung L : [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR^{3} [/mm] gegeben durch
L( [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] ) := [mm] \vektor{3x_{1} + 2x_{2} - 4x_{3} \\ x_{1} - 5x_{2} + 3x_{3}}
[/mm]
bezüglich der Standardbasen [mm] B_{1} [/mm] = ( [mm] e_{1}, e_{2}, e_{3} [/mm] ) von [mm] \IR^{3} [/mm] und [mm] B_{2} [/mm] = [mm] (e_{1},e_{2}) [/mm] von [mm] \IR^{2}.
[/mm]
Bestimmen Sie die Matrix der linearen Abbildung L bezüglich der Basen
[mm] L_{1} [/mm] = ( [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0},\vektor{1 \\ 0 \\ 0}) [/mm] von [mm] \IR^{3} [/mm] und [mm] L_{2} [/mm] = ( [mm] \vektor{1 \\ 3 }, \vektor{2 \\ 5}) [/mm] von [mm] \IR^{2} [/mm] |
Ich habe keinen Ansatz, wie das funktionieren könnte, da ich keinen WIssensfundus über Abbildungen habe. Vermutlich steckt einfaches multiplizierne von matrizen und co dahinter, aber ich wäre über eine helfende Hand glücklich, die mir zeigt welche genau (am besten auch warum) an diesem oder einem ähnlichen Beispiel zu machen sind.
Vielen Dank und ich bin dem Forum treu ergeben.
|
|
| |
|
Hallo,
> Sei die lineare Abbildung L : [mm]\IR[/mm]-->[mm]\IR^{3}[/mm]
ääh, von wo nach wo bildet L ab?
> gegeben durch
>
> L( [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}[/mm] ) := [mm]\vektor{3x_{1} + 2x_{2} - 4x_{3} \\ x_{1} - 5x_{2} + 3x_{3}}[/mm]
>
> bezüglich der Standardbasen [mm]B_{1}[/mm] = ( [mm]e_{1}, e_{2}, e_{3}[/mm] ) von [mm]\IR^{3}[/mm] und[mm]B_{2}[/mm] = [mm](e_{1},e_{2})[/mm] von [mm]\IR^{2}.[/mm]
>
> Bestimmen Sie die Matrix der linearen Abbildung L
> bezüglich der Basen
>
> [mm]L_{1}[/mm] = ( [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0},\vektor{1 \\ 0 \\ 0})[/mm]
> von [mm]\IR^{3}[/mm] und [mm]L_{2}[/mm] = ( [mm]\vektor{1 \\ 3 }, \vektor{2 \\ 5})[/mm] von [mm]\IR^{2}[/mm]
> Ich habe keinen Ansatz, wie das funktionieren könnte, da
> ich keinen WIssensfundus über Abbildungen habe.
Das solltest du schleunigst ändern durch Nacharbeiten der VL!
> Vermutlich
> steckt einfaches multiplizierne von matrizen und co
> dahinter, aber ich wäre über eine helfende Hand
> glücklich, die mir zeigt welche genau (am besten auch
> warum) an diesem oder einem ähnlichen Beispiel zu machen
> sind.
Puh, ich empfehle wieder einen scharfen Blick ins LA-Buch, wahlweise Mitschrift oder Skript.
Entweder du rechnest die Darstellungsmatrix bzgl. der Basen [mm] $L_1, L_2$ [/mm] zu Fuß aus - wie geht das noch gleich?
Oder du suchst mal nach "Basiswechselmatrix" in deiner Mitschrift.
Die Darstellungsmatrix bzgl. der Standardbasen [mm] $B_1, B_2$ [/mm] steht ja quasi da.
Wie geht das noch mit dem Basiswechsel?
Ein bisschen solltest du dich schon schlau machen, wir können (und wollen) ja nicht deine VL ersetzen oder nachkauen ...
>
> Vielen Dank und ich bin dem Forum treu ergeben.
Das ist schön zu hören ...
Geh's mal an ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Also auf mein Beispiel bezogen habe ich nach deinen ausführungen mal auf additivität überprüft.
L(( [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}})) [/mm] = [mm] (\vektor{x_{1}*x_{2} \\ x_{1}+x_{3}} [/mm] )
L((x+y)) = L (( [mm] \vektor{x_{1} + y_{1}\\ x_{2}+y_{2} \\ x_{3} + y_{3}} [/mm] ))
= ( [mm] \vektor{(x_{1} + y_{1})(x_{2}+y_{2}) \\ (x_{1} + y_{1})+(x_{3} + y_{3})} [/mm] )
= [mm] \vektor{x_{1}x_{2} +x_{1}y_{2} + y_{1}x_{2}+y_{1}y_{2} \\ x_{1}+y_{1} + x_{3} + y_{3}}
[/mm]
Entschuldigt, dass die Formatierung irgendwie unzureichend ist :(
Die Mischterme würde ich nicht erhalten bei einfacher addition von den 2 Abbildungen und deshalb nicht linear. Ist das so korrekt?
|
|
|
| |
|
> Also auf mein Beispiel bezogen habe ich nach deinen
> ausführungen mal auf additivität überprüft.
>
> L(( [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}))[/mm] =
> [mm](\vektor{x_{1}*x_{2} \\ x_{1}+x_{3}}[/mm] )
>
> L((x+y)) = L (( [mm]\vektor{x_{1} + y_{1}\\ x_{2}+y_{2} \\ x_{3} + y_{3}}[/mm]
> ))
>
> = ( [mm]\vektor{(x_{1} + y_{1})(x_{2}+y_{2}) \\ (x_{1} + y_{1})+(x_{3} + y_{3})}[/mm]
> )
>
>
> = [mm]\vektor{x_{1}x_{2} +x_{1}y_{2} + y_{1}x_{2}+y_{1}y_{2} \\ x_{1}+y_{1} + x_{3} + y_{3}}[/mm]
>
> Entschuldigt, dass die Formatierung irgendwie unzureichend
> ist :(
>
> Die Mischterme würde ich nicht erhalten bei einfacher
> addition von den 2 Abbildungen und deshalb nicht linear.
> Ist das so korrekt
Hallo,
wenn Du damit das meinst, was ich mir in einer gutmütigen Phase drunter vorstelle, dann stimmt's.
Hier werden aber nicht zwei Abbildungen addiert!
Gruß v. Angela
|
|
|
|
