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Forum "Lineare Abbildungen" - Lineare Abbildung
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Lineare Abbildung: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:08 Mo 12.12.2011
Autor: Omikron123

Aufgabe
Wir haben einen n-dimensionalen eukl. Rau, [mm] \phi:V->V [/mm] eine lin. Abbildung und [mm] B=(v_1,...,v_n) [/mm] eine geordnete Orthonormalbasis von V; zeige, dass die Matrix [mm] [\phi]_{B,B}=(a_{ik}) [/mm] gegeben ist durch [mm] a_{ik}=<\phi(v_k),v_i> [/mm]

Ich habe bei diesem Beispiel gerade überhaupt keinen Lösungsansatz. [mm] [\phi]_{B,B} [/mm] ist ja die Matrixdarstellung von [mm] \phi [/mm] bzgl. B: [mm] det\phi=det[\phi]_{B,B} [/mm]

        
Bezug
Lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:36 Mo 12.12.2011
Autor: fred97

Frage: wie sieht die i-te Spalte der gesuchten Matrix aus ?

Antwort: es gibt [mm] t_1^{(i)},...,t_n^{(i)} \in \IR [/mm] mit:

[mm] \phi(v_i)= t_1^{(i)}v_1+...+t_n^{(i)}v_n. [/mm]

Damit ist die i-te Spalte der gesuchten Matrix :

[mm] t_1^{(i)} [/mm]
.
.
.
[mm] t_n^{(i)} [/mm]

Weiter ist [mm] $<\phi(v_i),v_k>=t_k^{(i)} [/mm]

Hilft das ?

FRED



Bezug
                
Bezug
Lineare Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:45 Mo 12.12.2011
Autor: Omikron123

[mm] t_k^{i} [/mm] wäre der kte Eintrag in der i-ten Spalte?
2 Fragen: Wie folgerst du aus dem Wissen wie die i-te Spalte der ges. Matrix aussieht, dass [mm] <\phi(v_i),v_k>=t_k^{(i)}? [/mm]

Dann steht ja [mm] [\phi]_{B,B}=t_k^{i} [/mm] dort. Mir ist aber noch ein wenig unklar warum diese Beziehungs dann gelten sollte.

Bezug
                        
Bezug
Lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:51 Mo 12.12.2011
Autor: fred97


> [mm]t_k^{i}[/mm] wäre der kte Eintrag in der i-ten Spalte?
> 2 Fragen: Wie folgerst du aus dem Wissen wie die i-te
> Spalte der ges. Matrix aussieht, dass
> [mm]<\phi(v_i),v_k>=t_k^{(i)}?[/mm]

Mit

$ [mm] \phi(v_i)= t_1^{(i)}v_1+...+t_n^{(i)}v_n. [/mm] $

berechne [mm]<\phi(v_i),v_k>=t_k^{(i)}[/mm]

FRED

>
> Dann steht ja [mm][\phi]_{B,B}=t_k^{i}[/mm] dort. Mir ist aber noch
> ein wenig unklar warum diese Beziehungs dann gelten sollte.


Bezug
                                
Bezug
Lineare Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:59 Mo 12.12.2011
Autor: Omikron123

[mm] <\phi(v_i),v_k>==+...+=? [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:01 Mo 12.12.2011
Autor: fred97


>
> [mm]<\phi(v_i),v_k>==+...+=?[/mm]

Wenn Du nicht alle Vor. benutzt, kommst Du nie ans Ziel !!

$ [mm] B=(v_1,...,v_n) [/mm] $ eine geordnete Orthonormalbasis  !!!

FRED

>  


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