Lineare Abbildung Kern & Bild < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Di 31.01.2006 | | Autor: | elfi123 |
| Aufgabe | | V sei ein K-Vektorraum,U,W [mm] \subset [/mm] V Untervektorräume. Es existiert genau dann eine lineare Abb. f:V [mm] \mapsto [/mm] V mit Bild(f)=U und Kern(f)=W, wenn dimV=dimU+dimW gilt. |
Hallo liebe Leute,
also, ich habe immer noch Probleme mit Kern, Bild und Dimension. Kann mir jemand kurz und auf den Punkt gebracht den Zusammenhang zwischen diesen Begriffen erklären??Das wäre wirklich ganz toll!!Und mit dieser Aufgabe bin ich total überfordert. :-(
Ich hoffe, mir kann jemand helfen.
Bedanke mich schon mal bei allen 
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Hallo!
Dimension ist die Anzahl der Basisvektoren. Eine Basis ist ein System von linear unabhängigen Vektoren aus V, die ein Erzeugendensystem bilden, d.h. man kann mit ihnen den ganzen Raum erzeugen.
Im [mm] \mathbb{R}^2 [/mm] ist die Dim. logischerweise 2, denn die (kanonische) Basis ist ja [mm] (1,0)^T [/mm] und [mm] (0,1)^T. [/mm] Diese Vektoren sind linear unabh. und man kann mit ihnen offensichtlich die ganze [mm] \mathbb{R}^2 [/mm] "Ebene" erzeugen.
Kern ist definiert durch [mm] \kern f:=\{a\in V:f(a)=0\}. [/mm] Also sind das alle Elemente aus V, die auf 0 abgebildet werden. Wenn die Abb. injektiv ist, ist das nur die 0 (offensichtlich). Der Kern kann aber auch ein ganzer Unterraum von V sein (bei dir ist es W).
Bild ist definiert durch [mm] \bild f:=\{b\in f(V)\}. [/mm] Also alle Elemente aus dem "Zielraum", die unter f dorthin abgebildet werden.
Die Formel in deiner Aufgabe [mm] \dim [/mm] V = [mm] \dim \ker(f) [/mm] + [mm] \dim \bild(f) [/mm] ist nützlich um gesuchte Angaben über die Dimension von V, Kern oder Bild zu errechnen.
Gruß Martin
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