Lineare Abbildung MAtrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Mi 18.05.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo, ich hatte so eine Aufgabe. ICh habe es gelöst. Ich habe nur eine Frage.
Aufgabe: Sei a [mm] \in \IR^{3} [/mm] fest. Zeigen Sie dass die Abbildung linear ist, und finden Sie Ihre Matrix und bestimmen Sie den Rang dieser Matrix in Abhängigkeit von a.
f: b [mm] \to(a \times [/mm] b)
So ich habe gezeigt dass die Abbildung linear ist. Nur wie finde ich Ihre Matrix und den Rang diser MAtrix?
Ich habe da auch mal was überlegt. Ich bilde Die 3 Einheitsvektoren ab. a lasse ich stehen. Und Jeweils was raus kommt schreibe ich als Spalte in einer MAtrix. Ich habe es gerechnet. Stimmt das so?
Ich habe nach meine Methode das raus bekommen.
[mm] \pmat{ 0 & -a_{3} & a_{2} \\ a_{3} & 0 & -a_{1} \\- a_{2} & a_{1} & 0}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:17 Mi 18.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Neco!
> habe es gerechnet. Stimmt das so?
> Ich habe nach meine Methode das raus bekommen.
>
> [mm]\pmat{ 0 & -a_{3} & a_{2} \\ a_{3} & 0 & -a_{1} \\- a_{2} & a_{1} & 0}[/mm]
Perfekt! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Jetzt zum Rang:
Der Rang ist nur gleich $2$, da die drei Spaltenvektoren linear abhängig sind.
Es gilt nämlich:
[mm] $a_1 \cdot \pmat{ 0 \\ a_3 \\ -a_2} [/mm] + [mm] a_2 \cdot \pmat{ -a_3 \\ 0 \\ a_1} [/mm] + [mm] a_3 \cdot \pmat{ a_2 \\ -a_1 \\ 0} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0}$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mi 18.05.2005 | | Autor: | NECO |
Ich bekkomme linear unabhängig raus. Kannst du bitte noch mal gucken.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Mi 18.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Neco!
Ich habe noch einmal geschaut und bleibe bei meiner Meinung. 
Schließlich habe ich die drei Vektoren nicht-trivial zum Nullvektor linear kombiniert (und der Fall [mm] $a_1=a_2=a_3=0$ [/mm] ist sowieso klar; dann ist der Rang leich $0$).
Viele Grüße
Julius
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