Lineare Abbildung/zug.Matrix < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:33 Mo 13.06.2005 | | Autor: | papi84 |
Hallo :)
ich habe ein bisschen Schwierigkeiten mit den Matrizen....na ja, ich weiss, dass sie ziemlich leich sind , aber....sooo, ich habe die folgende aufgabe
Eine lin. Abb [mm] \alpha:R3->R3 [/mm] is gegeben durch:
[mm] \alpha [/mm] ( [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] )= [mm] \vektor{6 \\ 9 \\ 8}
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] ( [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -2} [/mm] ) [mm] =\vektor{1 \\ 4 \\ 7}
[/mm]
a)die Bilder von [mm] e1=\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] , [mm] e2=\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] e3=\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] sind zu ermitteln
b)wie lautet die zu [mm] \alpha [/mm] gehörende Matrix, wenn als Basis in Urbild- und Bildraum jeweils B={e1,e2,e3} gewählt wird
ich verstehe einfach nicht was ich machen muss, und die ganze Geschichte mit den Bildern ist mir was fremd :(
Bitte hilf mir!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
vielleicht helfen dir die hier aufgeführten Links weiter?
> Hallo :)
> ich habe ein bisschen Schwierigkeiten mit den
> Matrizen....na ja, ich weiss, dass sie ziemlich leich sind
> , aber....sooo, ich habe die folgende aufgabe
> Eine lin. Abb [mm]\alpha:R3->R3[/mm] is gegeben durch:
> [mm]\alpha[/mm] ( [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] )= [mm]\vektor{6 \\ 9 \\ 8}[/mm]
>
> [mm]\alpha[/mm] ( [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ -2}[/mm] ) [mm]=\vektor{1 \\ 4 \\ 7}[/mm]
>
> a)die Bilder von [mm]e1=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] , [mm]e2=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> und [mm]e3=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] sind zu ermitteln
>
Setz doch mal ein:
[mm] $\alpha [/mm] ( [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] )= [mm] \vektor{6 \\ 9 \\ 8} [/mm] = [mm] 6\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] +9 [mm] \vektor{0 \\1 \\ 0} +8\vektor{0 \\ 0 \\ 1}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Mo 13.06.2005 | | Autor: | papi84 |
$ [mm] \alpha [/mm] ( [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] )= [mm] \vektor{6 \\ 9 \\ 8} [/mm] = [mm] 6\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] +9 [mm] \vektor{0 \\1 \\ 0} +8\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] $
ist es wirklich so einfach die bilder zu ermitteln ??? uuund noch eine Frage: wie bekomme ich die zugehörende MAtrix ???????
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Mo 13.06.2005 | | Autor: | Jockal |
> [mm]\alpha ( \vektor{1 \\ 1 \\ 1} )= \vektor{6 \\ 9 \\ 8} = 6\vektor{1 \\ 0 \\ 0} +9 \vektor{0 \\1 \\ 0} +8\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> ist es wirklich so einfach die bilder zu ermitteln ???
Hallo !
"Bilder": wenn z.B. angegeben ist
[mm] \alpha [/mm] ( [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] )= [mm] \vektor{6 \\ 9 \\ 8}
[/mm]
dann sagt man dafür: "(6,9,8) ist das Bild von (1,1,1)"
Wenn Du also die Bilder der Einheitsvektoren ermitteln sollst, heißt das, Du musst herausfinden, was
[mm] \alpha [/mm] ( [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] )
ist (usw...).
Dazu musst Du die Linearität der Abbildung ausnutzen. Sprich: Du stellst die Einheitsvektoren e1,e2,e3 als Linearkombinationen der Vektoren dar, deren Bilder Du schon kennst (z.B. weil sie oben angegeben sind).
Dann kannst Du die Bilder der Einheitsvektoren ausrechnen.
Ich hoffe das war verständlich (?)
> uuund noch eine Frage: wie bekomme ich die zugehörende
> MAtrix ???????
Die Matrix einer linearen Abbildung ist nichts anderes als das:
Man schreibt die Bilder der Basisvektoren als Spalten nebeneinander.
Solltest Du jetzt also zum Beispiel als Bilder der Vektoren e1,e2,e3 die Vektoren
[mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 5} \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 5 \\ 7} [/mm]
erhalten (die habe ich frei erfunden ! Es ist nicht das Ergebnis deiner Aufgabe!),
so wäre die "Matrix der Abbildung":
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 5 \\ 5 & 0 & 7 }
[/mm]
Alle Klarheiten beseitigt ?
Gruß,
Jockal
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Mo 13.06.2005 | | Autor: | papi84 |
Hallo :)
vielen Dank für die ausführliche Erklärung .....ich habe die Sache mit den zugehörenden Matrizen verstanden ....aaaber die ganze Bilder Geschichte ist mir noch sehr unklar. kannst du mal mit einem Beispiel das mir noch mal erklären?? z.B du hast die lin.Abb R2 ->R3
[mm] \alpha [/mm] ( [mm] \vektor{ 1 \\ 1} [/mm] ) = [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ -1} [/mm] und [mm] \alpha [/mm] ( [mm] \vektor{-1 \\ 2} [/mm] ) = [mm] \vektor{ 2 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
wie ermittle ich die bilder von [mm] \vektor{5 \\ 7} [/mm] und [mm] \vektor{-4 \\ 3}
[/mm]
du hast gesagt , dass ich die ´Vektoren mit den Bildern ,die ich schon kenne als Linearkombination rechnen musste ....aber ich verstehe was genau du meinst ????....kannst du mal mir mit dem obigen Beispiel erklären???? bitte...
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Hallo Papi84! (bist du denn auch schon Papi?  )
> ....aaaber die ganze Bilder Geschichte ist mir noch sehr
> unklar. kannst du mal mit einem Beispiel das mir noch mal
> erklären?? z.B du hast die lin.Abb R2 ->R3
> [mm]\alpha[/mm] ( [mm]\vektor{ 1 \\ 1}[/mm] ) = [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ -1}[/mm]
> und [mm]\alpha[/mm] ( [mm]\vektor{-1 \\ 2}[/mm] ) = [mm]\vektor{ 2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> wie ermittle ich die bilder von [mm]\vektor{5 \\ 7}[/mm] und
> [mm]\vektor{-4 \\ 3}[/mm]
> du hast gesagt , dass ich die ´Vektoren
> mit den Bildern ,die ich schon kenne als Linearkombination
> rechnen musste ....aber ich verstehe was genau du meinst
> ????....kannst du mal mir mit dem obigen Beispiel
> erklären???? bitte...
Deine Aufgabe oben hattest du schon genau richtig gelöst - sie ist wirklich so einfach! 
Du hast dort auch deinen Vektor (ich weiß gerade nicht mehr, welcher es war), also Linearkombination der Einheitsvektoren geschrieben, du hast nämlich quasi geschrieben:
dein Vektor = soundsoviel*1. Einheitsvektor+soundsoviel*2. Einheitsvektor+soundsoviel*3. Einheitsvektor
falls du meine absichtlich nichtmathematische Erklärung verstehst.
Die Sache war nur die, dass du die Bilder der Einheitsvektoren bestimmen solltest, und das geht immer so einfach. Bei diesem Beispiel hier musst du wahrscheinlich ein kleines LGS lösen, damit du siehst, welche Linearkombination gebraucht wird:
[mm] x_1-x_2=5
[/mm]
[mm] x_1+2x_2=7
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] ... [mm] \gdw x_1=\bruch{17}{3}, x_2=\bruch{2}{3} [/mm] (falls ich mich nicht verrechnet habe)
Dann ergibt sich:
[mm] \vektor{5\\7}=\bruch{17}{3}\vektor{1\\1}+\bruch{2}{3}\vektor{-1\\2}
[/mm]
und damit dann:
[mm] \alpha(\vektor{5\\7})=\alpha(\bruch{17}{3}\vektor{1\\1})+\alpha(\bruch{2}{3}\vektor{-1\\2})
[/mm]
da eine lineare Abbildung linear ist (), ist das dann das Gleiche wie:
[mm] \alpha(\vektor{5\\7})=\bruch{17}{3}\alpha(\vektor{1\\1})+\bruch{2}{3}\alpha(\vektor{-1\\2})
[/mm]
naja, und nun musst du nur noch einsetzen, was du schon gegeben hast. Alles klar? Probier die zweite doch mal alleine - erste ein LGS lösen um die Linearkombination herauszufinden und dann umformen und einsetzen.
Viele Grüße und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Di 14.06.2005 | | Autor: | papi84 |
> >z.B du hast die lin.Abb R2 ->R3
> > [mm]\alpha[/mm] ( [mm]\vektor{ 1 \\ 1}[/mm] ) = [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ -1}[/mm]
> > und [mm]\alpha[/mm] ( [mm]\vektor{-1 \\ 2}[/mm] ) = [mm]\vektor{ 2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> >
> > wie ermittle ich die bilder von [mm]\vektor{5 \\ 7}[/mm] und
> > [mm]\vektor{-4 \\ 3}[/mm]
> > du hast gesagt , dass ich die
> ´Vektoren
Soo, wenn ich richtig verstanden habe, dann....
x1-x2=-4
x1+2x2=3 => x1=-5/3 und x2=7/3
soo...
[mm] \alpha (\vektor{5 \\ 7}) [/mm] = -5/3* [mm] \alpha (\vektor{1 \\ 1}) [/mm] + 7/3*( [mm] \vektor{-1 \\ 2})
[/mm]
=> [mm] \alpha [/mm] ( [mm] \vektor{5 \\ 7}) [/mm] = [mm] \vektor{14/3 \\ 5/3 \\ 4} [/mm]
wenn das richtig ist ,dann habe ich es endlich verstanden :))> Hallo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:19 Di 14.06.2005 | | Autor: | papi84 |
vielen Dank an allen :) ich denke ich hab es verstanden
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
