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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:05 Mo 09.01.2017 | | Autor: | Selman |
| Aufgabe | | Seien f : V → W und g: W → Z zwei lineare Abbildungen zwischen drei K-Vektorraeumen V,W,Z. In welchem Verhaeltnis stehen kern(f) und kern(g◦ f)? In welchem Verhaeltnis stehen im(g) und im(g ◦ f)? Finden Sie gute Beispiele um Ihre Aussagen zu veranschaulichen. |
Ich habe den Teil mit dem kern nicht so gut verstanden, könnte mir jmd ein gutes Beispiel geben und anhand des Beispiels mir den Kern erklären. Komme an der Aufgabe seit mehr als einer Stunde nicht weiter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Mo 09.01.2017 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Seien f : V → W und g: W → Z zwei lineare Abbildungen
> zwischen drei K-Vektorraeumen V,W,Z. In welchem Verhaeltnis
> stehen kern(f) und kern(g◦ f)? In welchem Verhaeltnis
> stehen im(g) und im(g ◦ f)? Finden Sie gute Beispiele um
> Ihre Aussagen zu veranschaulichen.
> Ich habe den Teil mit dem kern nicht so gut verstanden,
Ist dir klar, was der Kern einer Abbildung ist? Das sind die Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.
Beispiel:
Du hast die Abbildung (nicht linear!!)
[mm] f:\red{\IR}\to\blue{\IR}
[/mm]
[mm] x\mapsto2x+6
[/mm]
Das bedeutet, du suchst die Werte, für die x aus der Menge [mm] \red{\IR} [/mm] auf den Nullvektor der Menge [mm] \blue{\IR} [/mm] abgebildet werden, dieser Nullvektor ist im [mm] \IR [/mm] ja einfach die Null. Das bedeutet, du suchst das [mm] $x\in\red{\IR}$,für [/mm] das gilt [mm] 2x+6=\underbrace{0}_{\vec{0}\in\blue{\IR}}
[/mm]
Hier siehst du also, dass [mm] \underbrace{x}_{\in\red{\IR}}=-3 [/mm] das einzige Element in Kern(f) ist.
> könnte mir jmd ein gutes Beispiel geben und anhand des
> Beispiels mir den Kern erklären. Komme an der Aufgabe seit
> mehr als einer Stunde nicht weiter.
In deinem Beispiel sind f und g ja lineare Abbildungen, also wird der Nullvektor von V durch f auf den Nullvektor von W abgebildet, und der Nullvektor von W durch g auf den Nullvektor von Z
Was passiert also mit dem Nullvektor von V bei der Verkettung [mm] $f\circ [/mm] g$?
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:32 Mo 09.01.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo M.Rex,
> In deinem Beispiel sind f und g ja lineare Abbildungen,
> also wird der Nullvektor von V durch f auf den Nullvektor
> von W abgebildet, und der Nullvektor von W durch g auf den
> Nullvektor von Z
Das ist, wie man so schön sagt, trivial.
> Was passiert also mit dem Nullvektor von V bei der
> Verkettung [mm]f\circ g[/mm]?
Kann es sein, dass du hier aus Versehen von injektiven Abbildungen ausgehst? Davon ist nirgends die Rede...
Gruß, Diophant
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Hallo,
> Seien f : V → W und g: W → Z zwei lineare Abbildungen
> zwischen drei K-Vektorraeumen V,W,Z. In welchem Verhaeltnis
> stehen kern(f) und kern(g◦ f)? In welchem Verhaeltnis
> stehen im(g) und im(g ◦ f)? Finden Sie gute Beispiele um
> Ihre Aussagen zu veranschaulichen.
> Ich habe den Teil mit dem kern nicht so gut verstanden,
> könnte mir jmd ein gutes Beispiel geben und anhand des
> Beispiels mir den Kern erklären. Komme an der Aufgabe seit
> mehr als einer Stunde nicht weiter.
Das ist für meinen Geschmack eine etwas schwammig formulierte Aufgabenstellung. Was mir spontan dazu einfällt wäre, den Dimensionssatz zu verwenden um
[mm] dim\ kern(g\circ{f})\ge{dim\ kern(f)} [/mm]
sowie
[mm] dim\ im(g\circ{f})\le{dim\ im(f)} [/mm]
zu zeigen.
Wie gesagt, das ist mir jetzt spontan eingefallen, es ist nicht sehr einfallsreich und vielleicht ganz an der Aufgabenstellung vorbei. Ich stelle deine Frage daher mal auf 'teilweise beantwortet' um.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Mo 09.01.2017 | | Autor: | fred97 |
1. Sei x [mm] \in [/mm] kern(f). Dann ist f(x)=0 und somit auch g(f(x))=0, also x [mm] \in [/mm] kern (g [mm] \circ [/mm] f).
Fazit: kern(f) [mm] \subseteq [/mm] kern (g [mm] \circ [/mm] f).
zeige nun Du an einem Beispiel, dass i.a. kern(f)eine echte Teilmenge von kern (g [mm] \circ [/mm] f) ist.
2. Sei y [mm] \in [/mm] Im( g [mm] \circ [/mm] f). Dann ex. ein x [mm] \in [/mm] V mit y=g(f(x)). Damit ist auch y [mm] \in [/mm] Im(g).
Fazit: (*) Im( g [mm] \circ [/mm] f) [mm] \subseteq [/mm] Im(g).
Zeige nun Du, dass die Inklusion in (*) i.a. echt ist.
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