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| Aufgabe | Es sei A [mm] \in [/mm] Km×n mit Rang(A) = r und L(A, b) der Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
Ax = b, sowie U = {Ax | x [mm] \in K^n}. [/mm] Zeigen Sie, dass die Menge
V = {L(A, b) | b [mm] \in [/mm] U} mit geeigneten Verknüpfungen einen zu [mm] K^r [/mm] isomorphen Vektorraum
bildet. Wie sehen die Verknüpfungen aus? |
Hallo. Ich steh bei dieser Aufgabe auf em Schlauch. Was ist hier mit Verknüpfungen gemeint? Könnte mir das vllt wer erklären anhand von einem Beispiel? wäre nett danke
mfg
ich habe die Frage in keinem anderen Forum gepostet.
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> Es sei A [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Km×n mit Rang(A) = r und L(A, b) der
> Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
> Ax = b, sowie U = {Ax | x [mm]\in K^n}.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Zeigen Sie, dass die
> Menge
> V = {L(A, b) | b [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U} mit geeigneten Verknüpfungen einen
> zu [mm]K^r[/mm] isomorphen Vektorraum
> bildet. Wie sehen die Verknüpfungen aus?
> Hallo. Ich steh bei dieser Aufgabe auf em Schlauch. Was
> ist hier mit Verknüpfungen gemeint? Könnte mir das vllt wer
> erklären anhand von einem Beispiel?
Hallo,
ich werde Dir zunächst ein bißchen helfen, die Aufgabe zu verstehen.
Es ist A eine mxn-Matrix über K mit RangA=r.
Also ist dimBildA=r und KernA=m-r.
Zu welchem Raum ist BildA isomorph?
KernA ist der Lösungsraum von Ax=0.
Ein weiterer Bestandteil der Aufgabe ist L(A,b), die Lösungsmenge des Gleichungssystems
Ax=b. Das ist ein inhomogenes Gleichungssystem, und Du wirst gelernt haben, daß die Lösungsmenge die Summe aus einer speziellen Lösung und der Lösung des homogenen Systems ist, also
[mm] L(A,b)=x_s [/mm] + L(A,0) mit [mm] Ax_s=b.
[/mm]
Was ist denn L(A,0) ? Es ist ein Vektorraum. Welcher denn?
Die Menge U enthält die Vektoren, die entstehen, wenn man A auf jedes Element von [mm] K^n [/mm] anwendet. Welche Menge ist das?
Nun zur Menge V.
Was ist da drin? Sämtliche Mengen L(A,b) für welche b im Bild von A ist. Also die Lösungsmengen der lösbaren Gleichungssysteme Ax=b.
Wie diese Mengen aussehen, haben wir bereits besprochen. L(A,b)=x + L(A,0).
Also ist [mm] V=\{ x+L(A,0) | x\in K^n\}.
[/mm]
Diese Menge kannst Du noch etwas anders schreiben. (Stichwort: Quotientenraum)
Wenn Du das alles verstanden hast, wende zu guter Letzt den Homomorphiesatz an.
Gruß v. Angela
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hey danke für deine Hilfe, hätte aber doch noch ein paar fragen:
Hallo,
ich werde Dir zunächst ein bißchen helfen, die Aufgabe zu verstehen.
Es ist A eine mxn-Matrix über K mit RangA=r.
Also ist dimBildA=r und KernA=m-r.
soweit ist es klar danke
Zu welchem Raum ist BildA isomorph?
ich würde sagen zu U? stimmt das? aber warum..
KernA ist der Lösungsraum von Ax=0
verstanden
Ein weiterer Bestandteil der Aufgabe ist L(A,b), die Lösungsmenge des Gleichungssystems
Ax=b. Das ist ein inhomogenes Gleichungssystem, und Du wirst gelernt haben, daß die Lösungsmenge die Summe aus einer speziellen Lösung und der Lösung des homogenen Systems ist, also
+ L(A,0) mit
jop weiß ich noch
Was ist denn L(A,0) ? Es ist ein Vektorraum. Welcher denn?
L(A,0) ist der Unterraum. hätte ich gesagt...
Die Menge U enthält die Vektoren, die entstehen, wenn man A auf jedes Element von anwendet. Welche Menge ist das?
versteh ich irgendwie nicht.. hat das was mit b zu tun? aus Ax=b?
Nun zur Menge V.
Was ist da drin? Sämtliche Mengen L(A,b) für welche b im Bild von A ist. Also die Lösungsmengen der lösbaren Gleichungssysteme Ax=b.
Wie diese Mengen aussehen, haben wir bereits besprochen. L(A,b)=x + L(A,0).
Also ist [mm] V=\{x+L(A,0)|x\inK^n\}
[/mm]
ist verständlich.
Diese Menge kannst Du noch etwas anders schreiben. (Stichwort: Quotientenraum)
Vom quotientenraum hab ich noch nie was gehört. hatten wir auch in der Vorlesung noch nicht. Kannst du mir erklären, was das ist? Vielleicht hatten wir es doch schon nur unter einer anderen Bezeichnung.
Der Homomorphiesatz lautet ja: [mm] V/Kern(f)\cong [/mm] Bild(f) nur wie soll ich die jetzt anwenden? hatten das Thema noch net so lange...steig da noch net so ganz durch was ich jetzt machen muss...
Welche Verknüpfungen sind gemeint? hoffe ma du kannst mir helfen
danke
mfg
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> Es ist A eine mxn-Matrix über K mit RangA=r.
>
> Also ist dimBildA=r und dimKernA=m-r.
>
> Zu welchem Raum ist BildA isomorph?
> ich würde sagen zu U? stimmt das? aber warum..
Hallo,
da Bild A ein r-dimensionaler Vektorraum ist, wollte ich eigentlich hören, daß Bild A isomorph zu [mm] K^r [/mm] ist.
Aber Du hast schon recht: es ist sogar Bild A =U, denn in U sind doch alle Vektoren versammelt, die entstehen, wenn man A auf sämtliche Elemente des [mm] K^n [/mm] anwendet.
>> Was ist denn L(A,0) ? Es ist ein Vektorraum. Welcher denn?
> L(A,0) ist der Unterraum. hätte ich gesagt...
Das wär ja nicht verkehrt, ein Unterraum vom [mm] K^n.
[/mm]
Aber ein bestimmter. L(A,0) ist doch der Lösungsraum von Ax=0. Wie nennt man den?
>> Die Menge U enthält die Vektoren, die entstehen, wenn man A
>> auf jedes Element von anwendet. Welche Menge ist das?
Dazu habe ich oben schon was gesagt.
>
> Nun zur Menge V.
>
> Was ist da drin? Sämtliche Mengen L(A,b) für welche b im
> Bild von A ist. Also die Lösungsmengen der lösbaren
> Gleichungssysteme Ax=b.
>
> Wie diese Mengen aussehen, haben wir bereits besprochen.
> L(A,b)=x + L(A,0).
>
> Also ist [mm]V=\{x+L(A,0)|x \in K^n\}[/mm]
> ist verständlich.
>
> Diese Menge kannst Du noch etwas anders schreiben.
> (Stichwort: Quotientenraum)
> Vom quotientenraum hab ich noch nie was gehört. hatten wir
> auch in der Vorlesung noch nicht.
Oh - sicher hieß es dann Faktorraum, Indizien in Deinem Post deuten daraufhin, daß es dran war, wie auch immer Ihr es benannt habt.
> Der Homomorphiesatz lautet ja: [mm]V/Kern(f)\cong[/mm] Bild(f) nur
> wie soll ich die jetzt anwenden?
Überlege Dir mal, daß [mm] V=K^n/KernA [/mm] gilt.
Schau Dich ein bißchen bei den Quotienten/Faktorräumen um.
Vielleicht nimmst Du auch mal ein Beispiel.
Mach das Ganze doch mal für irgendeine Matrix, z.B. für [mm] \pmat{ 1 & 2&3\\ 0 & 1 &1\\0 & 0 &0}.
[/mm]
So mache ich das immer, wenn ich noch nicht ganz durchblicke.
Es ist ja bei dieser Aufgabe nicht leicht auf den ersten Blick zu wissen, was in welchen Mengen ist.
Gruß v. Angela
hatten das Thema noch net
> so lange...steig da noch net so ganz durch was ich jetzt
> machen muss...
> Welche Verknüpfungen sind gemeint? hoffe ma du kannst mir
> helfen
> danke
>
> mfg
>
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Hey steh immer noch ein bisschen auf em schlauch...
DU hast ja gesagt.
Das wär ja nicht verkehrt, ein Unterraum vom [mm] K^n
[/mm]
Aber ein bestimmter. L(A,0) ist doch der Lösungsraum von Ax=0. Wie nennt man den? Hab keine Ahnung auf was du hinauswillst..vielleicht ist es soo einfach, dass ich einfach net drauf komme...
Oh - sicher hieß es dann Faktorraum, Indizien in Deinem Post deuten daraufhin, daß es dran war, wie auch immer Ihr es benannt habt.
jop war es
zum Homomorphismus nochmal. das auf den Faktorraum angewendet kann man dann schreiben, dass v+Kern(f) = f(v) ?und kann ich dann damit zeigen, dass ein ISomorphismus vorhanden ist? du hast ja noch gesagt, dass V= [mm] K^n/Kern(A). [/mm] kann ich das dann auf oben das anwenden? nur was nehm ich für [mm] K^n?kann [/mm] ich da auch ein beliebiges v nehmen? oder nicht? vielen dank schonmal
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Hallo,
warum funktioniert bei Dir die Zitierfunktion nicht?
Es ist ziemlich anstrengend und unübersichtlich, wenn man nicht entscheiden kann, was Zitat ist, und was von Dir kommt.
> DU hast ja gesagt.
> Das wär ja nicht verkehrt, ein Unterraum vom [mm]K^n[/mm]
>
> Aber ein bestimmter. L(A,0) ist doch der Lösungsraum von
> Ax=0. Wie nennt man den? Hab keine Ahnung auf was du
> hinauswillst..vielleicht ist es soo einfach, dass ich
> einfach net drauf komme...
Es ist der Kern von A.
> zum Homomorphismus nochmal. das auf den Faktorraum
> angewendet kann man dann schreiben, dass v+Kern(f) = f(v)
Ganz sicher kann man das so nicht schreiben.
Denn links hast Du eine Menge, und rechts einen einzelnen Vektor.
Ich habe Dir doch zuvor schon gesagt, daß [mm] V=K^n/KernA [/mm] ist.
Nun wende doch hierauf mal den Homomorphiesatz an. Wozu ist denn [mm] K^n/KernA [/mm] isomorph?
> ?und kann ich dann damit zeigen, dass ein ISomorphismus
> vorhanden ist? du hast ja noch gesagt, dass V= [mm]K^n/Kern(A).[/mm]
> kann ich das dann auf oben das anwenden? nur was nehm ich
> für [mm] K^n?
[/mm]
??? Für [mm] K^n [/mm] nimmst Du [mm] K^n. [/mm]
Ich fürchte, ich verstehe die Frage nicht richtig.
> kann[/mm] ich da auch ein beliebiges v nehmen?
???
Hast Du schonmal für die von mir vorgegebene Matrix die Mengen U, V, BildA, KernA mal aufgeschrieben?
Ich halte das für sehr sinnvoll.
Gruß v. Angela
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danke habs nach mehrmaligem tüfteln doch noch rausbekommen
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