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| Aufgabe | Sei g: V [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung.
Dann gilt:
g injektiv [mm] \gdw [/mm] Für jede linear unabhängige Teilmenge L von V ist f(L) linear unabhängig in W. |
Sei L= [mm] \summe_{i=1}^{r }\lambda_iv_i
[/mm]
Dann ist f(L) = [mm] f(\summe_{i=1}^{r}\lambda_iv_i) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{r}\lambda_if(v_i)
[/mm]
Ich muss ja nun zeigen, dass für [mm] \summe_{i=1}^{r}\lambda_if(v_i) [/mm] = 0 folgt, dass alle [mm] \lambda_i [/mm] = 0 sind.
Ich weiß jetzt nicht genau, wie ich einbringen soll, dass g injektiv ist.
Injektiv bedeutet ja, dass Kernf = 0 ist.
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> Sei g: V [mm]\to[/mm] W eine lineare Abbildung.
> Dann gilt:
> g injektiv [mm]\gdw[/mm] Für jede linear unabhängige Teilmenge L
> von V ist f(L) linear unabhängig in W.
> Sei L= [mm]\summe_{i=1}^{r }\lambda_iv_i[/mm]
> Dann ist f(L) =
> [mm]f(\summe_{i=1}^{r}\lambda_iv_i)[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{r}\lambda_if(v_i)[/mm]
> Ich muss ja nun zeigen, dass für
> [mm]\summe_{i=1}^{r}\lambda_if(v_i)[/mm] = 0 folgt, dass alle
> [mm]\lambda_i[/mm] = 0 sind.
> Ich weiß jetzt nicht genau, wie ich einbringen soll, dass
> g injektiv ist.
> Injektiv bedeutet ja, dass Kernf = 0 ist.
Hallo,
Du willst also gerade zeigen, daß
f injektiv ==> Für jede linear unabhängige Teilmenge L von V ist f(L) linear unabhängig in W.
(Schreib sowas ruhig auf. Es schafft Klarheit für Dich und andere.
Zum Beweis hast Du Dir eine beliebige linear unabhängige Menge von Vektoren [mm] \{v_i|i\in I\} [/mm] genommen,
und möchtest nun zeigen, daß [mm] \{f(v_i)|i\in I\} [/mm] ebenfalls linear unabhängig ist.
Hierzu betrachtest Du die Linearkombination
> [mm]\summe_{i=1}^{r}\lambda_if(v_i)[/mm] = 0 , und Du möchtest zeigen, daß alle [mm] \lambda_i=0 [/mm] sind.
Es ist
> 0= [mm]\summe_{i=1}^{r}\lambda_if(v_i)[/mm] =
> [mm] f(\summe_{i=1}^{r}\lambda_iv_i),
[/mm]
also ist [mm] \summe_{i=1}^{r}\lambda_iv_i \in [/mm] Kernf ==> ???
Oben schriebst Du ja schon, was Injektivität und der kern miteinander zu tun haben.
gruß v. Angela
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Danke für die schnelle Antwort,
also: da [mm] \summe_{i=1}^{r}\lambda_i v_i [/mm] Element Kernf folgt:
[mm] \summe_{i=1}^{r}\lambda_iv_i [/mm] = 0
und da [mm] \lambda_i v_i [/mm] linear unabhängig ist, folgt: [mm] \lambda_i [/mm] = 0
Richtig?
Rückrichtung:
Muss ich dafür zeigen, dass L linear unabhängig ist?
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> Danke für die schnelle Antwort,
>
> also: da [mm]\summe_{i=1}^{r}\lambda_i v_i[/mm] Element Kernf
> folgt:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{r}\lambda_iv_i[/mm] = 0
> und da [mm]\lambda_i v_i[/mm] linear unabhängig ist, folgt:
> [mm]\lambda_i[/mm] = 0
> Richtig?
Hallo,
ja, genau. So geht das.
>
> Rückrichtung:
> Muss ich dafür zeigen, dass L linear unabhängig ist?
Schreib Dir doch erstmal auf, was zu zeigen ist:
[g injektiv $ [mm] \gdw [/mm] $ Für jede linear unabhängige Teilmenge L von V ist f(L) linear unabhängig in W] ==> g injektiv .
Daß mit sämtlichen [mm] v_i [/mm] auch die [mm] f(v_i) [/mm] l.u. sind, ist Voraussetzung.
Zeigen mußt Du die Injektivität.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:11 Do 25.12.2008 | | Autor: | farnold |
Hallo, sitzte gerade an dem selben Beweis :)
> also: da $ [mm] \summe_{i=1}^{r}\lambda_i v_i [/mm] $ Element Kernf
ist nun nur die Linearkombination die den Nullvekotr abbildet [mm] \in [/mm] Ker(F) (sprich alle [mm] \lambda [/mm] sind 0 )oder ist jede beliebig Linearkombination : $ [mm] \summe_{i=1}^{r}\lambda_i v_i [/mm] $ [mm] \in [/mm] Ker(F)?
was sagt mir das nun aber über die Vektoren [mm] w_{i} [/mm] aus, warum sind deshalb die [mm] w_{i} [/mm] l.u.
Meine Gedanken:
0= $ [mm] \summe_{i=1}^{r}\lambda_if(v_i) [/mm] $ = $ [mm] f(\summe_{i=1}^{r}\lambda_iv_i), [/mm] $ = F(0) (da injektiv)
also F(0) = $ [mm] f(\summe_{i=1}^{r}\lambda_iv_i), [/mm] $ für alle Lambda = 0
aber warum müssen deshalb die [mm] w_{i} [/mm] auch l.u. sein?
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> > also: da [mm]\summe_{i=1}^{r}\lambda_i v_i[/mm] Element Kernf
>
> ist nun nur die Linearkombination die den Nullvekotr
> abbildet [mm]\in[/mm] Ker(F) (sprich alle [mm]\lambda[/mm] sind 0 )oder ist
> jede beliebig Linearkombination : [mm]\summe_{i=1}^{r}\lambda_i v_i[/mm]
> [mm]\in[/mm] Ker(F)?
Hallo,
mir ist im Moment nicht ganz klar, was Deine frage ist - obgleich ich sie sehe und lesen kann.
Ich denke, Du beziehst Dich auf Heurekas Beweis, und zwar auf die Rückrichtung.
Wie weit bist Du denn jetzt?
Vielleicht schreibst Du alles nochmal vernünftig auf, statt so punktuell einzusteigen.
Zu "alles" gehört zunanächst die zu zeigende Aussage.
Benenne auch genau, was Voraussetzung ist und was zu zeigen.
> was sagt mir das nun aber über die Vektoren [mm]w_{i}[/mm] aus,
> warum sind deshalb die [mm]w_{i}[/mm] l.u.
Weiß der Geier, was Du mit [mm] w_i [/mm] meinst.
> Meine Gedanken:
> 0= [mm]\summe_{i=1}^{r}\lambda_if(v_i)[/mm] =
> [mm]f(\summe_{i=1}^{r}\lambda_iv_i),[/mm] = F(0) (da injektiv)
Nein. Daß F(0) =0 ist hat nichts mit der Injektivität zu tun.
Wegen der Injektivität folgt aber, daß [mm] \summe_{i=1}^{r}\lambda_iv_i [/mm] =0 ist.
>
> also F(0) = [mm]f(\summe_{i=1}^{r}\lambda_iv_i),[/mm] für alle
> Lambda = 0
> aber warum müssen deshalb die [mm]w_{i}[/mm] auch l.u. sein?
Poste mal Deine komplette Aufgabe, formuliere, was für die beiden Richtungen jeweils zu zeigen ist, und präsentiere, wie weit Du bist.
In diesem etwas vollständigeren Machwerk kann man Deine Fragen dann besser beantworten. So ist mir wie erwähnt nicht ganz klar, welche Richungen hier gerade besprochen werden.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Do 25.12.2008 | | Autor: | farnold |
ich bin bei der Hinrichtung
>> Nein. Daß F(0) =0 ist hat nichts mit der Injektivität zu tun.
>>
>> Wegen der Injektivität folgt aber, daß $ [mm] \summe_{i=1}^{r}\lambda_iv_i [/mm] >> $ =0 ist.
ja genau da ist mein problem, warum folgt das aus der Injektivität?
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> ich bin bei der Hinrichtung
>
> >> Nein. Daß F(0) =0 ist hat nichts mit der Injektivität zu
> tun.
> >>
> >> Wegen der Injektivität folgt aber, daß
> [mm]\summe_{i=1}^{r}\lambda_iv_i >>[/mm] =0 ist.
>
> ja genau da ist mein problem, warum folgt das aus der
> Injektivität?
Hallo,
weil bei linearen Abbildungen f gilt
f injektiv <==> Kernf [mm] =\{0\}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Do 25.12.2008 | | Autor: | farnold |
Hallo,
nochmal zur "Hinrichung"
> $ [mm] \summe_{i=1}^{r}\lambda_if(v_i) [/mm] $ = 0 , und Du möchtest zeigen, daß alle $ [mm] \lambda_i=0 [/mm] $ sind.
Es ist
> 0= $ [mm] \summe_{i=1}^{r}\lambda_if(v_i) [/mm] $ =
> $ [mm] f(\summe_{i=1}^{r}\lambda_iv_i), [/mm] $
also ist $ [mm] \summe_{i=1}^{r}\lambda_iv_i \in [/mm] $ Kernf
folgt das, weil f ( [mm] \summe_{i=1}^{r}\lambda_iv_i [/mm] ) auf die 0 abgebildet wird? nun ist es ja so, das der Kern einer injektiven Abbildung 0 ist, das heißt nur die 0 wird auf die Null abgebildet ( F(0)=0 ) .
Nach Vorassetzung ist nun [mm] \summe_{i=1}^{r}\lambda_iv_i [/mm] linear unabhängig. d.h. alles [mm] \lambda [/mm] 's müssen 0 sein, um die 0 abbilden zu können.
Soweit so gut. jetzt habe ich gezeigt, das alle Lamda`s 0 sind aber warum habe ich damit auch gezeigt das alle [mm] w_{i} [/mm] linear unabhängig sind?
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> Hallo,
> nochmal zur "Hinrichung"
>
> > [mm]\summe_{i=1}^{r}\lambda_if(v_i)[/mm] = 0 , und Du möchtest
> zeigen, daß alle [mm]\lambda_i=0[/mm] sind.
>
> Es ist
>
> > 0= [mm]\summe_{i=1}^{r}\lambda_if(v_i)[/mm] =
>
> > [mm]f(\summe_{i=1}^{r}\lambda_iv_i),[/mm]
>
> also ist [mm]\summe_{i=1}^{r}\lambda_iv_i \in[/mm] Kernf
> folgt das, weil f ( [mm]\summe_{i=1}^{r}\lambda_iv_i[/mm] ) auf
> die 0 abgebildet wird?
Hallo,
ja, alles, was auf die 0 abgebildet wird, ist im Kern.
> nun ist es ja so, das der Kern einer
> injektiven Abbildung 0 ist, das heißt nur die 0 wird auf
> die Null abgebildet ( F(0)=0 ) .
Daß nur die 0 auf die Null abgebildet wird, ist richtig und richtig. F(0)=0 hingegen ist eine Selbstverständlichkeit bei linearen Abbildungen und hat nichts mit Injektivität zu tun.
> Nach Vorassetzung ist nun [mm]\summe_{i=1}^{r}\lambda_iv_i[/mm]
> linear unabhängig. d.h. alles [mm]\lambda[/mm] 's müssen 0 sein, um
> die 0 abbilden zu können.
Ja.
> Soweit so gut. jetzt habe ich gezeigt, das alle Lamda's 0
> sind aber warum habe ich damit auch gezeigt das alle [mm]w_{i}[/mm]
> linear unabhängig sind?
Was sollen die [mm] w_i [/mm] sein? In dieser Aufgabe/Aussage gibt's bisher keine.
Hier sist jetzt folgendes gezeigt worden: wenn f injektiv und die [mm] v_i [/mm] linear unabhängig, so sind auch die [mm] f(v_i) [/mm] linear unabhängig.
Gezeigt wurde das, indem gezeigt wurde, daß aus [mm] \summe\lambda_if(v_i)=0 [/mm] folgt, daß all [mm] \lambda_i=0 [/mm] sind.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Do 25.12.2008 | | Autor: | farnold |
> Was sollen die $ [mm] w_i [/mm] $ sein? In dieser Aufgabe/Aussage gibt's bisher keine.
oh da bin ich wohl zu sehr von meinem Skript augegangen mit den [mm] w_{i} [/mm] habe ich [mm] F(v_{i}) [/mm] gemeint
>Hier sist jetzt folgendes gezeigt worden: wenn f injektiv und die $ [mm] v_i [/mm] $ >linear unabhängig, so sind auch die $ [mm] f(v_i) [/mm] $ linear unabhängig.
>
>Gezeigt wurde das, indem gezeigt wurde, daß aus $ [mm] \summe\lambda_if(v_i)=0 [/mm] $ folgt, daß all $ [mm] \lambda_i=0 [/mm] $ sind.
wäre die Abbildung nun nicht injektiv, also der Kern würde mehr beinhalten als nur die 0, dann könnte man nicht darauf schließen, das die [mm] w_{i} [/mm] l.u. sind. ^^
Könnte man aber nicht auch sagen die Famielie [mm] w_{i} [/mm] ist linear abhängig
=> es gibt [mm] \lambda_{i} [/mm] != 0 => F ist nicht injektiv
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Do 25.12.2008 | | Autor: | SEcki |
> wäre die Abbildung nun nicht injektiv, also der Kern würde
> mehr beinhalten als nur die 0, dann könnte man nicht darauf
> schließen, das die [mm]w_{i}[/mm] l.u. sind. ^^
Ja, da ist es im Allgemeinen auch einfach falsch.
> Könnte man aber nicht auch sagen die Famielie [mm]w_{i}[/mm] ist
> linear abhängig
> => es gibt [mm]\lambda_{i}[/mm] != 0 => F ist nicht injektiv
Nein, auf gar keinen Fall. Mit der Argumentation wäre die Identität nicht mehr injektiv ...
SEcki
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