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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Fr 13.03.2009 | | Autor: | sinitsa1 |
| Aufgabe | V bezeichnet den reellen Standardvektorraum [mm] \IR³ [/mm] und W den reellen Standardraum [mm] \IR².
[/mm]
1. Existiert eine lin.Abbildung f:V -> W mit der Eigenschaft
f (0,0,-2) = (-3,2)
f (-1,2,-2) = (-2,-3)
f (1,-2,-2) = (-2,5) ?
2. Existiert eine lin.Abbildung f:V -> W mit der Eigenschaft
f (-1,-1,2) = (-2,-1)
f (-1,1,1) = (-2,2)
f (-2,1,-1) = (-4,-1) ?
3. Geben Sie eine Verallgemeinerung Ihres Resultats an. |
Hallo für alle. Ich bin wieder da. Wer kann mir sagen von wo überhaupt ich muss hier anfangen? Ich habe schon in beide Fälle Matrizen geschrieben und festgestellt, das 1. Fall lin.abhängig, und 2. lin. unabhängig ist. Aber das bringt mir nichts. Was muss ich machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:06 Fr 13.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> V bezeichnet den reellen Standardvektorraum [mm]\IR³[/mm] und W den
> reellen Standardraum [mm]\IR².[/mm]
>
> 1. Existiert eine lin.Abbildung f:V -> W mit der
> Eigenschaft
> f (0,0,-2) = (-3,2)
> f (-1,2,-2) = (-2,-3)
> f (1,-2,-2) = (-2,5) ?
>
Wir nehmen mal an, eine solche lin. Abb. sei vorhanden.
Dann: f (-1,2,-2)+f (1,-2,-2) = f(0,0,-4) = 2 f(0,0,-2) = 2(-3,2) = (-6,4)
andererseits: f (-1,2,-2)+f (1,-2,-2) = (-2,-3) +(-2,5) = (-4,2)
Eine solche lin. Abb. ex also nicht !
> 2. Existiert eine lin.Abbildung f:V -> W mit der
> Eigenschaft
> f (-1,-1,2) = (-2,-1)
> f (-1,1,1) = (-2,2)
> f (-2,1,-1) = (-4,-1) ?
>
(-1,-1,2), (-1,1,1), (-2,1,-1) sind l.u. !!
Hilft das ??
FRED
> 3. Geben Sie eine Verallgemeinerung Ihres Resultats an.
> Hallo für alle. Ich bin wieder da. Wer kann mir sagen von
> wo überhaupt ich muss hier anfangen? Ich habe schon in
> beide Fälle Matrizen geschrieben und festgestellt, das 1.
> Fall lin.abhängig, und 2. lin. unabhängig ist. Aber das
> bringt mir nichts. Was muss ich machen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Fr 13.03.2009 | | Autor: | sinitsa1 |
Danke, Fred! Ich habe trotzdem Fragen. Z.b.
1. Warum nimmst du einfach
f (-1,2,-2)+f (1,-2,-2) und nicht z.B
f (0,0-2) + (-1,2,-2) ? Oder andere Kombinationen?
2. Das 2.Fall lin.un. ist weiß ich doch. Na und? Reicht das in die Klausur unabhängigkeit zu zeigen?
Danke noch mal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Fr 13.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> Danke, Fred! Ich habe trotzdem Fragen. Z.b.
>
> 1. Warum nimmst du einfach
> f (-1,2,-2)+f (1,-2,-2) und nicht z.B
> f (0,0-2) + (-1,2,-2) ? Oder andere Kombinationen?
Man sieht sofort, dass [mm] $(-1,2,-2)+(1,-2,-2)=2\cdot(0,0,-2)$ [/mm] ist - das ist die lineare Abhängigkeit. Eine potentielle lineare Abbildung muss dies respektieren, was in deinem Bespiel nicht erfüllt ist.
Preisfrage: Wie lautet die Antwort bei Aufgabe 1, wenn man stattdessen f(0,0,-2)=(-2,1) fordert?
> 2. Das 2.Fall lin.un. ist weiß ich doch. Na und? Reicht das
> in die Klausur unabhängigkeit zu zeigen?
Es sind drei linear unabhängige Vektoren im [mm] $\IR^3$, [/mm] also bilden sie eine Basis (warum?). Eine lineare Abbildung ist durch die Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt und umgekehrt!
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Fr 13.03.2009 | | Autor: | sinitsa1 |
OK, Robert, vielen dank. ABER..... 
Warum denn muss ich so komplizirten Weg nehmmen mit Adition usw, wen ich (im 1. Fall) kann durch die Matrizenumformung zeigen.,dass da ist keine Basis und folglich keine Lineare Abbildung möglich?
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> OK, Robert, vielen dank. ABER.....
>
> Warum denn muss ich so komplizirten Weg nehmmen mit Adition
> usw, wen ich (im 1. Fall) kann durch die Matrizenumformung
> zeigen.,dass da ist keine Basis und folglich keine Lineare
> Abbildung möglich?
Hallo,
mir ist nicht recht klar, was Du mit Matrizenumformung meinst...
Die Tatsache, daß die Vektoren, die man rechts einsetzt, keine Basis sind, hat ja für die Existenz solch eine Abbildung nichts weiter zu bedeuten.
Entscheidend ist, daß sich die zugewiesenen Funktionswerte nicht mit der geforderten Linearität vertragen.
Gruß v. Angela
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